2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合M＝{﹣1，1，2}，N＝{x∈R|x2＝x}，则M∪N＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，2}
2．（5分）若非零实数a，b满足|a|＞|b|，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＞0B．a2﹣b2＞0C．a3﹣b3＞0D．
3．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣2，3]，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．[﹣3，7]D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7]
4．（5分）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a
5．（5分）在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为y，则函数y＝f（t）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）“”是“函数f（x）是定义在R上的增函数”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，若f（x）≥a﹣2对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，2]
8．（5分）已知函数f（x）＝2x2﹣1，g（x）＝ax，x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）的最小值为，则实数a的值为（ ）
A．0B．±1C．D．±2
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（ ）
A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．
（多选）10．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．“2”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”
B．若命题“∃x∈R，x2+4x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是（4，+∞）
C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣2）
B．若不等式ax2+2x+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则a+c＝2
C．函数的最小值为6
D．函数的单调增区间为
（多选）12．（5分）定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）
A．方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解
B．方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解
C．方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解
D．方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，则实数m＝ ．
14．（5分）若关于x的不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 ．
16．（5分）已知函数f（x），若对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A．
（1）当a＝3时，求A∪B，A∩（∁RB）；
（2）若A∪（∁RB）＝R，求实数a的取值范围．
18．（12分）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
19．（12分）已知x＞0，y＞0，x+9y﹣xy＝m．
（1）若m＝0，求x+y的最小值；
（2）若m＝﹣16，求xy的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2+4．
（1）设，根据函数单调性的定义证明g（x）在区间[2，+∞）上单调递增；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＞（1﹣a）x2+2（a+1）x．
21．（12分）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前n（n∈N*）年的支出成本为（10n2﹣5n）万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．
（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22．（12分）已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且满足f（x）﹣g（x）＝21﹣x．
（1）求f（x），g（x）；
（2）若方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，求实数m的取值范围；
（3）若h（x）＝|[f（x）+g（x）]﹣1|，且方程[h（x）]2﹣（2k）h（x）+k＝0有三个解，求实数k的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合M＝{﹣1，1，2}，N＝{x∈R|x2＝x}，则M∪N＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，2}
【解答】解：集合M＝{﹣1，1，2}，N＝{x∈R|x2＝x}＝{0，1}，
则M∪N＝{﹣1，0，1，2}．
故选：C．
2．（5分）若非零实数a，b满足|a|＞|b|，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＞0B．a2﹣b2＞0C．a3﹣b3＞0D．
【解答】解：对于A，令a＝﹣2，b＝1，满足|a|＞|b|，但是a﹣b＜0，故A错误，
对于B，由|a|＞|b|可得，a2＞b2，所以a2﹣b2＞0，故B正确，
对于C，令a＝﹣2，b＝1，满足|a|＞|b|，但是a3﹣b3＜0，故B错误，
对于D，令a＝2，b＝﹣1，满足|a|＞|b|，但是，故D错误，
故选：B．
3．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣2，3]，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．[﹣3，7]D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7]
【解答】解：由题意得，，
解得，且x≠﹣1．
故选：B．
4．（5分）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：∵0＜0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，∴0＜c＜b＜1，
∵20.2＞20＝1，∴a＞1，
∴a＞b＞c，
故选：A．
5．（5分）在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为y，则函数y＝f（t）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，点A作AE垂直于OC，垂足为E，可证得四边形ABCE为长方形，再由，|AB|＝1，|OC|＝|BC|＝2，可得出三角形AOE为等直角三角形，
∴EC＝AB＝1，
∴AE＝BC＝2，OE＝1，
直线l：x＝t，直线左方的图形面积为S，
直线l运动到A点时，函数解析式为y＝t2，
当直线l运动由A点运动到B点时，函数解析式为S＝1+2（t﹣1），因此为一次函数，
因此符合S与t关系的大致图象只有C．
故选：C．
6．（5分）“”是“函数f（x）是定义在R上的增函数”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的增函数，
所以，解得a≤2，
因为（，2]⫋（，3]，所以“”是“a∈（，2]”的必要不充分条件．
故选：A．
7．（5分）y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，若f（x）≥a﹣2对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，2]
【解答】解：因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝0，
此时0≥a﹣2，解得a≤2，
当x＜0时，，
令x＞0时，则﹣x＜0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x），
当且仅当，即x时取等号，
因为f（x）≥a﹣2对一切x＞0成立，
则2a≥a﹣2，解得a≥﹣2．
综上所述，实数a的取值范围为[﹣2，2]．
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）＝2x2﹣1，g（x）＝ax，x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）的最小值为，则实数a的值为（ ）
A．0B．±1C．D．±2
【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣1，g（x）＝ax，x∈R，根据题意作出f（x）、g（x）图象如图所示：
如果a＞0，如图所示：
由图象可知：在交点A处取得最小值为，
故2x2﹣1，解得x＝±，
由图象可知x，
将点（，）代入g（x）＝ax得a，解得a＝1；
同理如果a＜0，则2x2﹣1，解得x＝±，
∴x，
将点（，）代入g（x）＝ax得a，解得a＝﹣1；
综上所述：a＝±1，
故选：B．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的为（ ）
A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．
【解答】解：对于A，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项A正确；
对于B，函数为奇函数，故选项B错误；
对于C，函数为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故选项C正确；
对于D，函数为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故选项D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．“2”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”
B．若命题“∃x∈R，x2+4x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是（4，+∞）
C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
【解答】解：对于A，命题“2”的否定是“∀x∈R，2x≤x2”，故正确；
对于B，因为命题“∃x∈R，x2+4x+m＝0”为假命题，即∀x∈R，x2+4x+m≠0为真，所以Δ＝16﹣4m＜0，解得m＞4，故正确；
对于C，由a＞c不能得出ab2＞cb2（b＝0时不成立），所以充分性不满足，但“ab2＞cb2”可得b≠0，进而可得a＞c，必要性满足，所以a＞c是ab2＞cb2的必要不充分条件，故错误；
对于D，由a＞1可得，但由不能得a＞1（如a＝﹣1，满足，但不满足a＞1），所以“a＞1”是“”的充分不必要条件，故正确．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣2）
B．若不等式ax2+2x+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，则a+c＝2
C．函数的最小值为6
D．函数的单调增区间为
【解答】解：对于A，因为y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1），所以函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，﹣1），故错误；
对于B，因为不等式ax2+2x+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，所以，解得，所以a+c＝2，故正确；
对于C，因为，令t，则t≥4，所以yt，由对勾函数的性质可得y＝t在[4，+∞）上单调递增，所以ymin＝4，故错误；
对于D，令t＝﹣x2﹣x+2，由﹣x2﹣x+2≥0可得：﹣2≤x≤1，所以f（x）的定义域为[﹣2，1]，所以当x∈[﹣2，]时，t单调递增，u单调递增；当x∈[，1]时，t单调递减，u单调递减；又因为y＝（）u为减函数，所以的单调增区间为[，1]，故正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）
A．方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解
B．方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解
C．方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解
D．方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解
【解答】解：对于A，∵g（x）∈[﹣a，a]，g（x）是单调减函数，∴方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，正确；
对于B，∵f（x）∈[﹣a，a]，∴方程g[f（x）]＝0有且仅有两个解，故不正确；
对于C，方程f[f（x）]＝0的解最多有八个解，因此不正确；
对于D，∵g（x）∈[﹣a，a]，∴方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解，正确．
综上可得：正确的是AD．
故选：AD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，则实数m＝ ．
【解答】解：∵集合A＝{1，m+2，2m2+m}，3∈A，
∴m+2＝3且2m2+m≠3，或m+2≠3且2m2+m＝3，
即或，解得m，
当m时，符合条件．
故答案为：．
14．（5分）若关于x的不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 [0，3） ．
【解答】解：当k＝0时，不等式显然成立，符合条件；
若k≠0，依据二次函数图像可知，k＞0且Δ＝k2＝4×2k0，
解得，0＜k＜3，
综上，0≤k＜3，
所以实数k的取值范围为[0，3）．
故答案为：[0，3）．
15．（5分）已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 6 ．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，
∴m﹣2＝1，m＝3，f（x）＝x3，故函数f（x）为奇函数，且在R上单调递增．
若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则f（k2+3）≤f（8k﹣9），∴k2+3≤8k﹣9，求得2≤k≤6，
实数k的最大值为6，
故答案为：6．
16．（5分）已知函数f（x），若对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围是 [0，4） ．
【解答】解：当x≥2时，f（x）x4，
当且仅当x，即x＝2时，等号成立，
∴y＝f（x）在[2，+∞）上的值域为[4，+∞），
当x＜2时，f（x）＝2|x﹣a|，
①当a≥2时，f（x）＝2a﹣x在（﹣∞，2）上单调递减，
要使对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x2）＝f（x1），
则2a﹣2＜4，即a＜4，
∴2≤a＜4，
②当a＜2时，f（x）＝2|x﹣a|在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，2）上单调递增，又f（a）＝1＜4，
要使对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x2）＝f（x1），
则2|2﹣a|≤4，即0≤a≤4，
又∵a＜2，
∴0≤a＜2，
综上所述，实数a的取值范围是[0，4）．
故答案为：[0，4）．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A．
（1）当a＝3时，求A∪B，A∩（∁RB）；
（2）若A∪（∁RB）＝R，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）B＝{x|﹣2＜x﹣1＜1}＝{x|﹣1＜x＜2}，a＝3时，A＝{x|1≤x≤5}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤5}，∁RB＝{x|x≤﹣1或x≥2}，A∩（∁RB）＝{x|2≤x≤5}；
（2）∵A∪（∁RB）＝R，
∴，解得0≤a≤1，
∴实数a的取值范围为[0，1]．
18．（12分）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【解答】解：（1）原式；
（2）由，
则7，
则a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2＝47，
则a3+a﹣3＝（a+a﹣1）（a2+a﹣2﹣1）＝322，
即．
19．（12分）已知x＞0，y＞0，x+9y﹣xy＝m．
（1）若m＝0，求x+y的最小值；
（2）若m＝﹣16，求xy的最小值．
【解答】解：（1）当m＝0时，x＞0，y＞0，x+9y﹣xy＝0．
即1，
x+y＝（x+y）（）＝1016，
当且仅当且1，即y＝4，x＝12时取等号，
此时x+y取得最小值16；
（2）若m＝﹣16，则x+9y﹣xy＝﹣16，
所以xy﹣16＝x+9y，当且仅当x＝9y且x+9y﹣xy＝﹣16，即y，x＝24时取等号，
解得xy≥64，
故xy的最小值为64．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2+4．
（1）设，根据函数单调性的定义证明g（x）在区间[2，+∞）上单调递增；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＞（1﹣a）x2+2（a+1）x．
【解答】解：（1）证明：g（x），对于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则g（x₁）﹣g（x₂）＝（x₁）﹣（），
由x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
得x₁﹣x₂＜0，x₁x₂﹣4＞0，
故g（x₁）﹣g（x₂）＜0，
所以g（x）在区间[2，+∞）上单调递增；
（2）不等式f（x）＞（1﹣a）x2+2（a+1）x，化简得不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0，
因为a＞0，故上式化简得，
当，即a＝1时，得x≠2；
当a＞1时，2，得x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）；
当a＜1时，2，得x∈（，+∞）∪（﹣∞，2）；
综上，a＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞）；
当a＜1时，不等式的解集为（，+∞）∪（﹣∞，2）；
21．（12分）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前n（n∈N*）年的支出成本为（10n2﹣5n）万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f（n）万元．
（1）写出f（n）关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【解答】解：（1）设f（n）为前n年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得f（n）＝95n﹣（10n2﹣5n）﹣90＝﹣10n2+100n﹣90＝﹣10（n﹣1）（n﹣9），
由f（n）＞0得1＜n＜9，
又n∈N*，所以该设备从第2年开始实现总盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额f（n）＝﹣10n2+100n﹣90＝﹣10（n﹣5）2+160，
当n＝5时，f（n）取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为160+20＝180万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为10（n）+100≤100﹣2040．
当且仅当n，即n＝3时，等号成立；
即n＝3时，平均盈利额最大，此时f（n）＝120，此时处理掉设备，总利润为120+60＝180万元；
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
22．（12分）已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且满足f（x）﹣g（x）＝21﹣x．
（1）求f（x），g（x）；
（2）若方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，求实数m的取值范围；
（3）若h（x）＝|[f（x）+g（x）]﹣1|，且方程[h（x）]2﹣（2k）h（x）+k＝0有三个解，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，
∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
且f（x）﹣g（x）＝21﹣x①，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝21+x，即f（x）+g（x）＝21+x②；
由①+②解得f（x）＝2x+2﹣x，
①﹣②解得g（x）＝2x﹣2﹣x；
（2）方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，
则m（2x+2﹣x）＝22x+2﹣2x﹣2+2m+9＝（2x+2﹣x）2+2m+5有解，
令t＝2x+2﹣x≥2，当且仅当x＝0时取等号，
∴mt＝t2+2m+5在[2，+∞）有解，
即m（t﹣2）＝t2+5，
当t＝2时，不成立，
当t＞2时，m（t﹣2）4≥24＝6+4＝10，
当且仅当t＝5时取等号，
故m的取值范围为[10，+∞）；
（3）h（x）＝|[f（x）+g（x）]﹣1|＝|2x﹣1|∈[0，+∞），
令h（x）＝a，则a∈[0，+∞），
函数h（x）的图象，如图所示为：
∵方程[h（x）]2﹣（2k）h（x）+k＝0有三个解，
∴a2﹣（2k）a+k＝0有两个根，且0＜a1＜1＜a2，或者a1＝0，0＜a2＜1，或者0＜a1＜1，a2＝1
当a1＝0，0＜a2＜1，有k＝0，a2a＝0，解得a2满足题意，
当0＜a1＜1，a2＝1时，有k，，解得a1，满足题意；
当0＜a1＜1＜a2时，令p（a）＝a2﹣（2k）a+k，则，
解得k，
综上可得，k的取值范围为{0}∪[，+∞）．
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