2022-2023学年山东省菏泽一中高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省菏泽一中高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设全集U是实数集R，M＝{x|x≥3}，N＝{x|2＜x＜5}都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x≤3}
2．（5分）已知狄利克雷函数D（x），则D（D（π））＝（ ）
A．0B．1C．πD．π2
3．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（2）＝（ ）
A．B．C．D．4
4．（5分）《墨子•经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故：有之必然，若见之成见也”．则“有之必然”表述的数学关系是（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数f（x+1）的定义域为[1，5]，则f（x﹣1）的定义域为（ ）
A．[﹣1，3]B．[0，4]C．[1，5]D．[3，7]
6．（5分）已知x＞0，y＞0，若x+y＝xy，则2x+y的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为t（n）（t0，N0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．16小时B．11小时C．9小时D．8小时
8．（5分）定义在R上的函数f（x），若f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（2）＝3，若函数y＝f（x）﹣x在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（x﹣1）＞x的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣2，+∞）C．（2，+∞）D．（3，+∞）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知I为全集，若A∪B＝A，则（ ）
A．A⊆BB．B⊆AC．∁IA⊆∁IBD．∁IB⊆∁IA
（多选）10．（5分）如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”，下列函数是“[0，1]交汇函数”的是（ ）
A．yB．yC．y＝1﹣x2D．y
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x≤0，x2﹣x≥0”的否定是“∀x＞0，x2﹣x＜0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件
C．“a＞b”是“”的充要条件
D．若b＞a＞0，m＞0，则
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2+2|x﹣a|（a∈R），下列说法正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）为偶函数
B．存在实数a，使得f（x）为奇函数
C．当﹣1＜a＜1时，f（x）取得最小值a2
D．方程f（x）﹣m＝0可能有三个实数根
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）不等式的解集是 ．
14．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有92%的学生喜欢足球或游泳，54%的学生喜欢足球，74%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ．
15．（5分）若“∃x0∈（2，+∞），x2﹣λx+1＜0”是假命题，则实数λ的取值范围是 ．
16．（5分）高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x∈[0，2），若，则x＝ ；不等式f（x）≤x的解集为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）对于问题“求函数y的最小值”，甲、乙两位同学分别提出了自己的思路．甲同学将此函数变形为yx2﹣（y+2）x+y＝0，接下来只需考虑变形后的这个关于x的方程有解；乙同学将此函数变形为y，然后考虑x的取值范围．请你选择并完善其中一种思路，写出过程解决问题．
18．（12分）已知集合U为实数集，M＝{x|x≤﹣5或x≥8}，N＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}．
（1）若a＝5，求（∁UM）⋂N；
（2）若M∩N＝N，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知p：“∀x∈R，都有意义”，q：“实数a满足{x|m≤x≤m+1}⊆{x|1≤x≤a}”．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若¬p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a2+1）x+a，a∈R．
（1）若f（x）＞0的解集为，求a的值；
（2）若a＞0，求不等式f（x）≤0的解集．
21．（12分）某公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的1.5倍与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？并求出此时的最大利润．（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
22．（12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）＝ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a＝1，b＝3时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y＝f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上，求b的最小值．
2022-2023学年山东省菏泽一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U是实数集R，M＝{x|x≥3}，N＝{x|2＜x＜5}都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x≤3}
【解答】解：由图可知阴影部分表示的为N∩（∁UM），
由M＝{x|x≥3}，得∁UM＝{x|x＜3}，
因为N＝{x|2＜x＜5}，
所以N∩（∁UM）＝{x|2＜x＜3}．
故选：C．
2．（5分）已知狄利克雷函数D（x），则D（D（π））＝（ ）
A．0B．1C．πD．π2
【解答】解：因为x∈∁RQ，
所以D（π）＝0，
所以D（D（π））＝D（0）＝1．
故选：B．
3．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点，则f（2）＝（ ）
A．B．C．D．4
【解答】解：设幂函数f（x）＝xn，
∴，∴，
∴．
故选：A．
4．（5分）《墨子•经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故：有之必然，若见之成见也”．则“有之必然”表述的数学关系是（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由题意可知“大故”必然有其原因，
有其原因必然会发生，
所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件．
故选：A．
5．（5分）已知函数f（x+1）的定义域为[1，5]，则f（x﹣1）的定义域为（ ）
A．[﹣1，3]B．[0，4]C．[1，5]D．[3，7]
【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[1，5]，即1≤x≤5，得2≤x+1≤6，
∴f（x）的定义域为[2，6]，
由2≤x﹣1≤6，得3≤x≤7，
∴f（x﹣1）的定义域为[3，7]．
故选：D．
6．（5分）已知x＞0，y＞0，若x+y＝xy，则2x+y的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，x＞0，y＞0，x+y＝xy，
∴，
∴，
当且仅当且x+y＝xy，即时等号成立．
故选：C．
7．（5分）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为t（n）（t0，N0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．16小时B．11小时C．9小时D．8小时
【解答】解：由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，N0＞16，
所以，解得t0＝64．
又，解得N0＝64，
所以，
故当n＝49时，，
故选：C．
8．（5分）定义在R上的函数f（x），若f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（2）＝3，若函数y＝f（x）﹣x在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（x﹣1）＞x的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣2，+∞）C．（2，+∞）D．（3，+∞）
【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣x（x∈R），
因为f（2）＝3，所以g（2）＝f（2）﹣2＝3﹣2＝1，
由f（x﹣1）＞x，得f（x﹣1）﹣（x﹣1）＞1，即g（x﹣1）＞g（2），
因为f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）的图象关于（0，0）对称，
所以f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），
因为g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣g（x），
所以g（x）为奇函数，
因为g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）在R上单调递增，
所以x﹣1＞2，得x＞3，
即不等式f（x﹣1）＞x的解集为（3，+∞）．
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知I为全集，若A∪B＝A，则（ ）
A．A⊆BB．B⊆AC．∁IA⊆∁IBD．∁IB⊆∁IA
【解答】解：根据题意，若A∪B＝A，则B⊆A，∁IA⊆∁IB，
故选：BC．
（多选）10．（5分）如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”，下列函数是“[0，1]交汇函数”的是（ ）
A．yB．yC．y＝1﹣x2D．y
【解答】解：A：函数的定义域及值域都为[0，+∞），不符合题意；
B，函数的定义域（﹣∞，1]，值域为[0，+∞），交集为[0，1]，符合题意；
C：函数定义域为R，值域为（﹣∞，1]，不符合题意；
D：函数定义域为[﹣1，1]，值域[0，1]，交集为[0，1]，符合题意．
故选：BD．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x≤0，x2﹣x≥0”的否定是“∀x＞0，x2﹣x＜0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件
C．“a＞b”是“”的充要条件
D．若b＞a＞0，m＞0，则
【解答】解：对于A，命题“∃x≤0，x2﹣x≥0”的否定是“∀x≤0，x2﹣x＜0”，所以A错误，
对于B，当ab2＞cb2时，b2＞0，a＞c，而当a＞c时，ab2≥cb2，
所以“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分不必要条件，所以B正确，
对于C，若a＝1，b＝﹣2，则，所以“a＞b”不是“”的充要条件，所以C错误，
对于D，因为b＞a＞0，m＞0，所以b﹣a＞0，a+m＞0，
所以，所以，所以D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2+2|x﹣a|（a∈R），下列说法正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）为偶函数
B．存在实数a，使得f（x）为奇函数
C．当﹣1＜a＜1时，f（x）取得最小值a2
D．方程f（x）﹣m＝0可能有三个实数根
【解答】解：函数f（x）＝x2+2|x﹣a|（a∈R），定义域为R，
当a＝0时，f（x）＝x2+2|x|，则f（﹣x）＝（﹣x）2+2|﹣x|＝x2+2|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，故A正确；
当a≠0时，f（a）＝a2，f（﹣a）＝a2+4|a|，则f（a）+f（﹣a）＝2a2+4|a|≠0，所以f（x）不可能为奇函数，故B错误；
，
当﹣1＜a＜1时，x≥a时，f（x）单调递增，所以f（x）的最小值为f（a）＝a2；
当x＜a时，f（x）单调递减，所以f（x）＞f（a）＝a2，所以f（x）的最小值为f（a）＝a2，故C正确；
若﹣1＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，a）上递减，在（a，+∞）上递增，方程f（x）﹣m＝0最多有2个根，
若a≤﹣1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，方程f（x）﹣m＝0最多有2个根，
若a≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增，方程f（x）﹣m＝0最多有2个根，
所以方程f（x）﹣m＝0不可能有三个实数根，D错误．
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）不等式的解集是 ．
【解答】解：原不等式等价于

等价于x（2x﹣1）＜0
解得
故答案为（）
14．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有92%的学生喜欢足球或游泳，54%的学生喜欢足球，74%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 36% ．
【解答】解：由题可得如下所示韦恩图：
既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是54%+74%﹣92%＝36%．
故答案为：36%．
15．（5分）若“∃x0∈（2，+∞），x2﹣λx+1＜0”是假命题，则实数λ的取值范围是 ．
【解答】解：因为“∃x0∈（2，+∞），x2﹣λx+1＜0”是假命题，
所以“∀x∈（2，+∞），x2﹣λx+1≥0”为真命题，
即在（2，+∞）上恒成立，
因为对勾函数在（2，+∞）上单调递增，则，
所以，即实数λ的取值范围是．
故答案为：．
16．（5分）高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x∈[0，2），若，则x＝ ；不等式f（x）≤x的解集为 ．
【解答】解：当x∈[0，1）时，[x]＝0，f（x）＝3|x﹣1|＝3（1﹣x），令，解得，满足题意；
当x∈[1，2）时，[x]＝1，f（x）＝|x﹣1|（3﹣1）＝2（x﹣1），令，解得，不合题意；
故若，则；
由以上分析可知，，
当x∈[0，1）时，令3（1﹣x）≤x，解得；当x∈[1，2）时，令2（x﹣1）≤x，解得1≤x＜2；
综上，不等式f（x）≤x的解集为．
故答案为：，．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）对于问题“求函数y的最小值”，甲、乙两位同学分别提出了自己的思路．甲同学将此函数变形为yx2﹣（y+2）x+y＝0，接下来只需考虑变形后的这个关于x的方程有解；乙同学将此函数变形为y，然后考虑x的取值范围．请你选择并完善其中一种思路，写出过程解决问题．
【解答】解法一、y转化为yx2﹣（y+2）x+y＝0（*）．
若y＝0，则x＝0；
若y≠0，则方程（*）有实数解⇔Δ≥0，
即有（y+2）2﹣4y2≥0，解得y≤2，且y≠0．
综上可得，函数的值域为[，2]，则函数的最小值为．
解法二、当x＝0时，y＝0；
当x≠0时，y，
当x＞0时，x2，当且仅当x＝1时，取得等号，则y∈（0，2]；
当x＜0时，x2，当且仅当x＝﹣1时，取得等号，则y∈[，0）．
综上可得，函数的值域为[，2]，则函数的最小值为．
18．（12分）已知集合U为实数集，M＝{x|x≤﹣5或x≥8}，N＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}．
（1）若a＝5，求（∁UM）⋂N；
（2）若M∩N＝N，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝5时，N＝{x|4≤x≤11}，且∁UM＝{x|﹣5＜x＜8}，
因此，（∁UM）∩N＝{x|4≤x＜8}；
（2）因为M∩N＝N，所以N⊆M．
当N＝∅时，a﹣1＞2a+1，即a＜﹣2时，此时N⊆M，满足题意；
当N≠∅时，即a≥﹣2时，要使N⊆M，则2a+1≤﹣5或a﹣1≥8，即a≤﹣3或a≥9，结合a≥﹣2，可得a≥9．
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[9，+∞）．
19．（12分）已知p：“∀x∈R，都有意义”，q：“实数a满足{x|m≤x≤m+1}⊆{x|1≤x≤a}”．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若¬p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）若p为真命题，ax2+ax+3≥0恒成立，
当a＝0时，满足题意；
当a≠0时，，解得0＜a≤12，
综上，0≤a≤12，
故p为真命题，实数a的取值范围为[0，12]．
（2）由（1）知，p：0≤a≤12，则¬p：a＜0或a＞12，
由题意q：，
因为¬p是q的必要不充分条件，所以m+1＞12，解得m＞11．
故m的取值范围是{m|m＞11}．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a2+1）x+a，a∈R．
（1）若f（x）＞0的解集为，求a的值；
（2）若a＞0，求不等式f（x）≤0的解集．
【解答】解：（1）因为f（x）＞0的解集为，
所以方程ax2﹣（a2+1）x+a＝0的两根为﹣2和，且a＜0．
所以，解得a＝﹣2或．
（2）因为a＞0，所以不等式f（x）≤0，可化为，
当0＜a＜1时，，解得，即不等式的解集为；
当a＞1时，，解得，即不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式即（x﹣1）2≤0，解得x＝1，即不等式的解集为{1}．
综上，0＜a＜1时，不等式的解集为，
a＞1时，不等式的解集为，
a＝1时，不等式的解集为{1}．
21．（12分）某公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的1.5倍与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？并求出此时的最大利润．（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
【解答】解：（1）由题意知，当年生产x（万件）时，年生产成本为：，
当销售x（万件）时，年销售收入为：，
由题意，，
即．
（2）由（1）知，
即
，
当且仅当，又t+1≥8即t＝7时，等号成立．
此时，ymax＝42．
所以该公司下一年促销费投入7万元时年利润最大，最大利润为42万元．
22．（12分）定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）＝ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）当a＝1，b＝3时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y＝f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上，求b的最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝x2+4x+2，由x2+4x+2＝x，解得x＝﹣2或x＝﹣1，所以所求的不动点为﹣1或﹣2．
（2）令ax2+（b+1）x+b﹣1＝x，则ax2+bx+b﹣1＝0①，
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以Δ＝b2﹣4a（b﹣1）＞0，
即b2﹣4ab+4a＞0恒成立，则Δ＝16a2﹣16a＜0，故0＜a＜1．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），，
又AB的中点在该直线上，所以，
∴，
而x1，x2应是方程①的两个根，所以，即，
∴，
∴当时，bmin＝﹣2．
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