福建省泉州市石狮市第一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份福建省泉州市石狮市第一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）16的平方根为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
2．（4分）在2，0，5，π3，327，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．（﹣x3）2＝x6C．xm•xn＝xmnD．x9÷x3＝x3
4．（4分）若一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，则m的值是（ ）
A．﹣7B．﹣4C．1D．16
5．（4分）计算(-13)2023×32022的值是（ ）
A．13B．-13C．19D．-19
6．（4分）已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，那么m﹣n＝（ ）
A．﹣11B．5C．1D．﹣1
7．（4分）若x2+（a﹣1）x+25是一个完全平方式，则a值为（ ）
A．﹣9B．﹣9或11C．9或﹣11D．11
8．（4分）已知a，b，c为△ABC的三边，且a2-2ab+b2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
9．（4分）《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为5的正方形的边长称为5“面”，关于27“面”的值说法正确的是（ ）
A．是4和5之间的实数B．是5和6之间的实数
C．是6和7之间的实数D．是7和8之间的实数
10．（4分）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(30)的值（ ）
A．109B．110C．111D．112
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）2-3的相反数是 ．
12．（4分）比较大小：﹣0.5 -5．
13．（4分）若1a+a=11，则1a2+a2的值是 ．
14．（4分）若2n+2n+2n+2n＝212，则n＝ ．
15．（4分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是 ．
16．（4分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x-2x）2016展开式中含x2014项的系数是 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：
（1）(-1)2022+327+|1-3|；
（2）（2x2y）3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）．
18．（8分）先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣1），其中a＝﹣2．
19．（8分）（1）已知（a+b）2＝5，ab＝10，求a2+b2的值．
（2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值．
20．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
21．（8分）（1）若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值．
（2）若3×9x×27x＝321，求x的值．
22．（10分）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 ．
（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．
（3）计算：(1-122)(1-132)(1-142)⋯(1-1992)(1-11002)．
23．（10分）先阅读材料，再解答下列问题：
材料：分解因式（x+y）2+2（x+y）+1．
解：令x+y＝A，
则（x+y）2+2（x+y）+1
＝A2+2A+1
＝（A+1）2，
故（x+y）2+2（x+y）+1＝（x+y+1）2．
上诉阶梯过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）分解因式：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
24．（13分）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣10x+ ＝（x﹣ ）2；
（2）将x2﹣8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣8x+2的最小值；
（3）若M＝4a2+9a+3，N＝3a2+11a﹣1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
25．（13分）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）=pq．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）=23．
（1）求F（18）的值；
（2）如果一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；
（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．
2023-2024学年福建省泉州市石狮一中八年级（上）第一次月考数学试卷
（参考答案）
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）16的平方根为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：D．
2．（4分）在2，0，5，π3，327，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：327=3，
在2，0，5，π3，327，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，无理数有5，π3，0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次加1），共3个．
故选：C．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．（﹣x3）2＝x6C．xm•xn＝xmnD．x9÷x3＝x3
【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故本选项错误，不符合题意；
B、（﹣x3）2＝x6，故本选项正确，符合题意；
C、xm•xn＝xm+n，故本选项错误，不符合题意；
D、x9÷x3＝x6，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．（4分）若一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，则m的值是（ ）
A．﹣7B．﹣4C．1D．16
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，
∴3m+1+2m﹣6＝0，
∴m＝1；
故选：C．
5．（4分）计算(-13)2023×32022的值是（ ）
A．13B．-13C．19D．-19
【解答】解：(-13)2023×32022
＝（-13）×（-13）2022×32022
＝（-13）×（-13×3）2022
＝（-13）×（﹣1）2022
＝（-13）×1
=-13．
故选：B．
6．（4分）已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，那么m﹣n＝（ ）
A．﹣11B．5C．1D．﹣1
【解答】解：∵3x2y3•（﹣2xy2）＝mx3yn，
∴﹣6x3y5＝mx3yn．
∴m＝﹣6，n＝5．
∴m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11．
故选：A．
7．（4分）若x2+（a﹣1）x+25是一个完全平方式，则a值为（ ）
A．﹣9B．﹣9或11C．9或﹣11D．11
【解答】解：x2+（a﹣1）x+25＝x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，则（a﹣1）x＝±2•x•5，
解得：a＝﹣9或11．
故选：B．
8．（4分）已知a，b，c为△ABC的三边，且a2-2ab+b2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：根据题意得，a2﹣2ab+b2＝0，b﹣c＝0，
解得a＝b，b＝c，
所以，a＝b＝c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
9．（4分）《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为5的正方形的边长称为5“面”，关于27“面”的值说法正确的是（ ）
A．是4和5之间的实数B．是5和6之间的实数
C．是6和7之间的实数D．是7和8之间的实数
【解答】解：∵25＜27＜36，
∴5＜27＜6，
∴27“面”是5和6之间的实数，
故选：B．
10．（4分）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(30)的值（ ）
A．109B．110C．111D．112
【解答】解：f（1）＝1，
f（2）＝1，
f（3）＝2，
f（4）＝2，
f（5）＝2，
f（6）＝2，
f（7）＝3，
f（8）＝3，
f（9）＝3，
f（10）＝3，
f（11）＝3，
f（12）＝3，
f（13）＝4，
f（14）＝4，
f（15）＝4，
f（16）＝4，
f（17）＝4，
f（18）＝4，
f（19）＝4，
f（20）＝4，
f（21）＝5，
f（22）＝5，
f（23）＝5，
f（24）＝5，
f（25）＝5，
f（26）＝5，
f（27）＝5，
f（28）＝5，
f（29）＝6，
f（30）＝6，
∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(30)=2×1+2×4+3×6+4×8+5×8+6×2＝2+8+18+32+40+12＝112．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）2-3的相反数是 3-2 ．
【解答】解：2-3的相反数是3-2．
故答案为：3-2．
12．（4分）比较大小：﹣0.5 ＞ -5．
【解答】解：∵5＞0.5，
∴-5＜-0.5，
故答案为：＞．
13．（4分）若1a+a=11，则1a2+a2的值是 119 ．
【解答】解：∵1a+a=11，
∴（1a+a）2＝112，
∴1a2+a2+2＝121，
∴1a2+a2=119．
故答案为：119．
14．（4分）若2n+2n+2n+2n＝212，则n＝ 10 ．
【解答】解：∵2n+2n+2n+2n＝212，
∴4×2n＝212，
则22×2n＝212，
得：2n+2＝212，
故有n+2＝12，
解得：n＝10．
故答案为：10．
15．（4分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是 ﹣3 ．
【解答】解：（x﹣2）（x2﹣mx+1）
＝x3﹣mx2+x﹣2x2+2mx﹣2
＝x3+（﹣m﹣2）x2+（1+2m）x﹣2，
∵展开式中不含x的二次项，
∴﹣m﹣2＝0，
解得：m＝﹣2，
∴1+2m＝1﹣4＝﹣3，
即化简后的一次项系数为：﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（4分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x-2x）2016展开式中含x2014项的系数是 ﹣4032 ．
【解答】解：（x-2x）2016展开式中含x2014项的系数，
由（x-2x）2016＝x2016﹣2016•x2015•（2x）+…
可知，展开式中第二项为﹣2016•x2015•（2x）＝﹣4032x2014，
∴（x-2x）2016展开式中含x2014项的系数是﹣4032，
故答案为﹣4032．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：
（1）(-1)2022+327+|1-3|；
（2）（2x2y）3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）．
【解答】解：（1）原式＝1+3+3-1
＝3+3；
（2）原式＝8x6y3•（5xy2）÷（﹣10x2y4）
＝40x7y5÷（﹣10x2y4）
＝﹣4x5y．
18．（8分）先化简，再求值：2（a+1）（a﹣1）﹣a（2a﹣1），其中a＝﹣2．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）﹣（2a2﹣a）
＝2a2﹣2﹣2a2+a
＝a﹣2，
当a＝﹣2时，原式＝﹣2﹣2＝﹣4．
19．（8分）（1）已知（a+b）2＝5，ab＝10，求a2+b2的值．
（2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，
∴a2+2ab+b2＝5，
∵ab＝10，
∴a2+b2＝5﹣2×10＝﹣15；
（2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，
∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4，
即4ab＝4，
则ab＝1．
20．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是13的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
21．（8分）（1）若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值．
（2）若3×9x×27x＝321，求x的值．
【解答】解：（1）当am＝2，an＝5，
a3m+2n＝a3m•a2n
＝（am）3•（an）2
＝23×52
＝8×25
＝200．
（2）3×9x×27x＝3×32x×33x＝31+5x，
31+5x＝321，
1+5x＝21，
x＝4．
22．（10分）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．
（3）计算：(1-122)(1-132)(1-142)⋯(1-1992)(1-11002)．
【解答】解：（1）上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）9x2﹣16y2＝30
∴（3x+4y）（3x﹣4y）＝30
∵3x+4y＝6
∴3x﹣4y＝5
（3）原式=(1-12)(1+12)(1-13)(1+13)(1-14)(1+14)⋅⋅⋅(1-199)(1+199)(1-1100)(1+1100)
=12×32×23×43×34×54×⋅⋅⋅×9899×10099×99100×101100
=12×101100
=101200
23．（10分）先阅读材料，再解答下列问题：
材料：分解因式（x+y）2+2（x+y）+1．
解：令x+y＝A，
则（x+y）2+2（x+y）+1
＝A2+2A+1
＝（A+1）2，
故（x+y）2+2（x+y）+1＝（x+y+1）2．
上诉阶梯过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）分解因式：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （1+x﹣y）2 ；
（2）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【解答】（1）解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（1+x﹣y）2；
故答案为：（1+x﹣y）2；
（2）解：令A＝a+b，
则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
∴（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2；
（3）证明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
24．（13分）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣10x+ 25 ＝（x﹣ 5 ）2；
（2）将x2﹣8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣8x+2的最小值；
（3）若M＝4a2+9a+3，N＝3a2+11a﹣1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，
故答案为：25；5；
（2）x2﹣8x+2＝x2﹣8x+16﹣14＝（x﹣4）2﹣14，
当x＝4时，x2﹣8x+2取最小值﹣14；
（3）M＞N，理由如下：
∵M﹣N＝（4a2+9a+3）﹣（3a2+11a﹣1）
＝4a2+9a+3﹣3a2﹣11a+1
＝a2﹣2a+4
＝（a﹣1）2+3＞0，
∴M＞N．
25．（13分）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）=pq．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）=23．
（1）求F（18）的值；
（2）如果一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；
（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．
【解答】解：（1）∵18＝1×18＝2×9＝3×6，
∴3×6是18最佳分解，…（2分）
∴F（18）=36=12； …（3分）
（2）m＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x），…（4分）
n＝（10y+x）+（10x+y）＝11（x+y），…（5分）
∴mn＝9（y﹣x）×11（x+y）＝99（y﹣x）（x+y），
∴99（y﹣x）（x+y）＝4752，即（y﹣x）（x+y）＝48，…（6分）
∵1≤x≤y≤9，x、y为自然数，
∴y﹣x＜x+y，
∴y-x=1x+y=48或y-x=2x+y=24或y-x=3x+y=16或y-x=4x+y=12或y-x=6x+y=8，
解得：x=23.5y=24.5（不合题意），x=13y=11（不合题意），x=6.5y=9.5（不合题意），x=4y=8，x=1y=7，
∴最美数为48和17．…（8分）
（3）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，
∴F（48）=68=34，
∵17＝1×17，
∴F（17）=117，
∴F（t）的最大值为34．…（10分）