浙江省浙南名校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、若集合,,则( )
A.B.C.D.
2、若直线经过第一、二、三象限,则有( )
A.,B.,C.,D.,
3、已知直线与直线平行,则它们之间的距离为( )
A.B.C.D.
4、如图,某四边形ABCD的直观图是正方形,且,则原四边形ABCD的周长等于( )
A.2B.C.4D.
5、在三棱锥中,PA、AB、AC两两垂直,,,则三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
6、已知圆,直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则满足条件的直线l有______条( )
A.1B.2C.3D.4
7、已知椭圆,点A,B是长轴的两个端点,若椭圆上存在点P,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、已知,从点射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为( )
A.B.6C.D.
二、多项选择题
9、已知a,b为空间中不同的两条直线,,为空间中不同的两个平面,下列命题错误的是( )
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,则a和b异面直线
D.若,,且,则
10、有一组样本数据,,···,其中是最小值,是最大值,则( )
A.,,,,,的平均数等于,,···,的平均数
B.,,,,,的中位数等于,,···,的中位数
C. ,,,,,的标准差不小于,,···,的标准差
D.,,,,,的极差不大于,,···,的极差
11、如图,在正方体中,,点M,N分别在棱AB和上运动（不含端点）,若,则下列命题正确的是( )
A.B.平面
C.线段BN长度的最大值为1D.三棱锥体积不变
12、已知直线, ,,.则( )
A.存在实数,使B.存在实数,使
C.对任意实数,都有D.存在点到四条直线距离相等
三、填空题
13、复数,则z的实部为_________.
14、已知点P是圆上动点,.若线段PA的中垂线交CP于点N,则点N的轨迹方程为_____________.
15、已知圆,圆,若圆平分圆的周长,则__________.
四、双空题
16、如图,正四面体ABCD的体积为,E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点,则________,多面体体积为__________.
五、解答题
17、平行六面体中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱,且,M为BD中点,P为中点,设,,.
（1）用向量,,表示向量；
（2）求线段PM的长度．
18、已知的三边长互不相等,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中,.
（1）求证是直角三角形；
（2）求的取值范围.
19、已知,,的平分线方程为.
（1）求AB所在直线方程；
（2）求AC所在直线方程.
20、已知椭圆的左､右焦点分别为,,离心率,过的直线l交椭圆C于A,B两点.的内切圆的半径为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程.
21、如图,在三棱锥中,,, ,,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,,点F在AC上,．
（1）证明：平面BCP；
（2）求平面ADO与平面ACO夹角的余弦值．
22、如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,设P是第一象限内上一点,,的延长线分别交于点,.
（1）求的周长；
（2）设,分别为,的内切圆半径,求的最大值.
参考答案
1、答案：D
解析：,其中,所以恒成立,
即,那么.
故选：D.
2、答案：A
解析：因为直线经过第一、二、三象限,
所以直线的斜率,在y轴上的截距.
故选：A.
3、答案：C
解析：由可得,
由平行线间距离公式可得：它们之间的距离为,
故选：C.
4、答案：D
解析：因为,所以直观图中正方形的边长为,
结合直观图的特征,可得原图如下,
因为直观图中,且与y轴平行,所以原图中且BC与y轴平行,
因为,所以；
由直观图的性质可知,原图中四边形ABCD为平行四边形,
所以ABCD的周长等于.
故选：D.
5、答案：C
解析：如图,将三棱锥补成长方体,
三棱锥的外接球就是长方体的外接球,所以,
则三棱锥外接球的表面积.
故选：C
6、答案：C
解析：由圆,则圆心,半径,
若截距为0,设,则,此时；
若截距不为0,设,则,此时；
综上,共有3条件满足条件的直线l.
故选：C.
7、答案：A
解析：如图：
当P在上顶点时,最大,此时,
则,
所以,
即,,
所以,
则,
所以椭圆的离心率的取值范围是,
故选：A.
8、答案：C
解析：直线AB的方程为,设点关于的对称点为,
则,得,即
点关于x轴的对称点为,
由题意可知,如图,点,都在光线CD上,并且利用对称性可知,,,
所以光线经过的路程.
故选：C.
9、答案：ABC
解析：对于A,由,,则或,故A错误；
对于B,由,,,则或a与b异面,故B错误；
对于C,由,,则无法确定直线a与b的位置关系,
平行、相交、异面都有可能,故C错误；
对于D,由,,则a与b一定不相交；
假设a与b异面,由,,则,,,
由a与b异面,则c,d与b相交,但这与平行公理矛盾,故D正确.
故选：ABC.
10、答案：BD
解析：A中,取,,···,为 1,2,2,2,2,2,2,11,,,,,,的平均数为2,,,···,的平均数为3,故A错误；
B中,,,,,,的中位数等于6个数据从小到大排列后最中间2个数的平均数,,,···,的中位数为8个数据从小到大排列后最中间2个数的平均数,两者相等,故B正确；
C中,取,,···,为1,2,2,2,2,2,2,11,,,,,,的标准差为0,,,···,的标准差为,故C错误；
D中,极差为样本数据的最大值减去最小值,所以,,,,,的极差不大于,,···,的极差,故D正确,
故选：BD.
11、答案：AD
解析：如图,建立空间直角坐标系,,,设,,且a,,
,,,得,
,所以,故,故A正确；
,,,
所以MN与MC不垂直,则MN不垂直与平面,故B错误；
,,,
所以时,的最大值为,故C错误；
,故D正确.
故选：AD.
12、答案：ACD
解析：当时,,,故选项A正确；
,所以与不平行,故选项B错误；
恒成立,,故选项C正确；
坐标原点到四条直线距离均为1,故选项D正确.
故选：ACD.
13、答案：-1
解析：因为,
所以z实部为-1.
故答案为：-1.
14、答案：
解析：由题意,可作图如下：
因为N为线段AP中垂线上一点,所以,则,
显然CP为圆的半径,则,
则动点N的轨迹为以定点A,C为焦点的椭圆,其中,,
解得,故其轨迹方程为.
故答案为：.
15、答案：4
解析：圆的标准方程为,圆心为,半径为,
将两圆方程作差可得,
因为圆平分圆的周长,则这两圆相交,且相交弦所在直线的方程为,
由题意可知,直线过圆心,
所以,,解得.
故答案为：4.
16、答案：①.2②
解析：设正四面体的棱长为a,如图,
点D在底面ABC的射影为等边三角形ABC的中心,连接OD,OB,则,
所以,
三棱锥的体积,解得：,
则；
如图,连接EB,EG,多面体体积,
点E到平面ABGH和平面BFG的距离相等,都是,
四边形ABGH的面积为,三角形BFG的面积为,
所以.
故答案为：2；
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为M为BD中点,P为中点, ,,,
所以
（2）因为平行六面体中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱,且,
所以,,,
所以
所以,即线段PM长为.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由,根据正弦定理,则,
即,
因为,所以或,又的三边长互不相等,
即且,所以为直角三角形.
（2）由,且为直角三角形,故,
仅当时等号成立,又,所以,
又,故的取值范围是.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）,
直线AB的方程为,,
AB所在直线方程：.
（2）由解得,设,
依题意,的平分线为直线CD,
由正弦定理得,,
由于,由此整理得,则,
设,则,
整理得,解得或（舍去）,
则,,
直线AC的方程为,.
20、答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意得,,又,则,所以,
所以椭圆方程为
（2）依题意可知直线l与x轴不平行,
故可设直线l的方程为,此时由于在椭圆内部,
所以直线l与椭圆必有两个交点A,B,设,
由,消去x并化简得,
则,,
所以
设的内切圆的半径为r,则,
因为的周长为
,
又因为,
因为,
即,则解得或（舍去）,则,
所以直线l的方程为或.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设,则
,
,
则,
解得
则F为AC的中点,由E,F分别为PA,PC的中点,
于是,又平面BCP,平面BCP,
所以平面BCP．
（2）过点O作交AC于点H,设,
由,得,且,
由(1)可知,则,
所以,
因此,
所以
所以为二面角的平面角
因为D,E分别为PB,PA的中点
所以G为的重心
即有,又,
所以,
解得,同理得,
因为,
所以,则,
从而,,
在中,,,
于是
所以平面ADO与平面ACO夹角的余弦值为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）,为椭圆的两焦点,且P,为椭圆上的点,
由椭圆定义得,
由题意,得,即的周长为.
（2）易知,,设,,,
由条件知,,,
直线的方程为：,
将其代入椭圆方程并整理可得,
则,得,,
故．
当时,直线的方程为：,
将其代入椭圆方程并整理可得,
同理,可得,
因为,
所以
,
当且仅当,时,等号成立.
若轴时,易知,,,
此时,
综上,的最大值为.