安徽省十校联考2024届高三上学期第一次教学质量检测（10月）数学试卷(含答案)

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一、选择题
1、已知函数，则的定义域为( )
A.B.
C.D.
2、已知等比数列满足，，则数列前8项的和为( )
A.254B.256C.510D.512
3、将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向左平移个单位长度，得到的图象﹐则的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
4、已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
5、已知函数，则( )
A.B.C.D.
6、函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7、数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”，若，则( )
A.175B.176C.177D.178
8、已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列代数式的值为的是( )
A.
B.
C.
D.
10、已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数k可能为( )
A.22B.23C.24D.25
11、已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，当时，，则( )
A.是周期为3的周期函数
B.
C当时，
D.
12、三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、________.
14、已知，，且为第二象限角，则________.
15、已知函数及其导函数的定义域均为R，且，若，则不等式的解集为________.
16、已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是________.
四、解答题
17、已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的值域.
18、在等差数列中，，，数列的前n项和为，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
19、已知函数是定义域为R的偶函数.
（1）求a的值；
（2）若，求函数的最小值.
20、在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
21、已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
22、已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当时，，分别为函数的极大值点和极小值点，且，求t的取值范围．
参考答案
1、答案：A
解析：对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为.
故选：A.
2、答案：C
解析：设等比数列公比为q，则，，，
则题意得，解得，
则.
故选：C.
3、答案：D
解析：将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），
得到的图象，则，
再将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
则.
故选：D.
4、答案：A
解析：令，则二次函数的图象开口向上，
对称轴为直线，因为外层函数为R上的减函数，
函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
5、答案：D
解析：设，
即，则，
.
故选：D.
6、答案：B
解析：的定义域为R，
又，
故为奇函数，其函数图象关于原点对称，故CD错误；
当时，，且，则；
当时，，且，则.
故当，，故排除A.
故选：B.
7、答案：B
解析：由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由，，得，
所以，，，，
将这n个式子左右两边分别相加可得：
，所以，
所以
.
故选：B.
8、答案：A
解析：因为恒成立，则，
所以，，，则，，
当时，，
因为，则，
因为在区间上恰有3个零点，则，
即，，解得，，
假设不存在，则或，解得或，
因为存在，则，因为，则.
所以，，可得.
故选：A.
9、答案：BCD
解析：对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，
.
故选：BCD.
10、答案：BC
解析：因为当且仅当时，取得最大值，
所以，公差，且，，
所以，，
，故时，，
当时，，则满足的最大的正整数为；
当时，，则满足的最大的正整数为，
故满足的最大的正整数k可能为与.
故选：BC.
11、答案：ABD
解析：对于A选项，因为定义在R上的函数满足，
则，故是周期为3的周期函数，A对；
对于B选项，因为函数为奇函数，则，
在等式中，令可得，
又因为当时，，
则，解得，
故当时，，
所以，，B对；
对于C选项，当时，，，
因为，则函数的图象关于点对称，
所以当时，
，C错；
对于D选项，由C选项，可知，，则，
且，所以，，
因为，故，D对.
故选：ABD.
12、答案：ABD
解析：对于A选项，令，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，，即，A对；
对于B选项，令，其中，
则，令，则，
所以，函数在上为增函数，
则，故函数在上为增函数，
所以，，即，B对；
对于C选项，因为，则，
所以，，C错；
对于D选项，令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
令，其中，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，函数在上单调递增，
又因为，所以，，即，
所以，，即，故，D对.
故选：ABD.
13、答案：
解析：
.
故答案为：.
14、答案：或
解析：因为，，且为第二象限角，
则，解得或，
因为，
整理可得，即，解得（舍）或，
所以，，，
所以，，
因此，.
故答案为：.
15、答案：.
解析：由函数及其导函数的定义域均为R，且，
令，可得，且，
因为，可得，所以在R上单调递减，
不等式，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16、答案：
解析：当时，，又，解得，
由①，则当时，②，
两式①②相减得，，
即，又，则，
所以数列是以3为首项，2的公差的等差数列，
故，
则，
令，
，
又，
则数列是递增数列，且，；
数列是递减数列，，，
若恒成立，
且恒成立，
所以，且，解得.
故答案为：.
17、答案：（1）最小正周期为π，单调递减区间为，
（2）
解析：（1）因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由，，可得，，
所以，函数的单调递减区间为，.
（2）当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
18、答案：（1），
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
则，解得，
所以，，
数列的前n项和为，且，
当时，则有，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列是首项为1，公比为3的等比数列，则.
（2）因为，则①，
可得②，
①-②得
，
故.
19、答案：（1）3
（2）
解析：（1），
则，
因为是定义域为R的偶函数，
则，
即对任意恒成立，则.
（2）由（1）知，，
则
，
令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
则原函数化为：，，
①当即时，
在上单调递增，
则，即；
②当，即时，
在单调递减，在单调递增，
则；
即，
综上所述，.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，
设插入的这n个数分别为、、、，
由等比数列的性质可得，
所以，，所以，
易知，所以，则.
（2）
，
所以.
21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，该函数的定义域为，，
所以，，，曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）证明：要证，即证，
先证明，令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，则，即，
接下来证明，令，其中，则.
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，即，
所以，，即，故原不等式得证.
22、答案：（1）单调增区间为和，单调减区间为
（2）
解析：（1）当时，则，，
令，则，
设，则，
，，，
所以当和时，即和，，单调递增，
当时，即，，单调递减，
综上所述，单调增区间为和，单调减区间为.
（2），
令，得，
，，当和时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，令，
则对于恒成立，
所以，所以，
即，设，，
，令，则，
①当时，，所以，在单调递增，
所以，即，符合题意；
②当时，，设的两根为，，且，
则，故，
所以当时，，单调递减，
所以当时，，即，不合题意，
综上所述，，即，所以.