广东省华南师大附中2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省华南师大附中2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版），共8页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔成签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直求出直线斜率，再由点斜式即可求出方程.
【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
则所求直线方程为，即.
故选：C.
2. 若直线平分圆的面积，则的值为（ ）
A. B.
C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由直线过圆心计算.
【详解】根据题意，圆的方程为，其圆心为．
因为直线平分圆的面积，
所以圆心在直线上，
则有，解得．
故选：C．
3. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距离和两圆半径的关系，即可知圆的位置关系.
【详解】由题设，，，
∴，；，，
∴，故两圆相切.
故选：C
4. 如果两条直线与平行，那么a等于（ ）
A. 1B. C. 2D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行的充要条件即可求出．
【详解】因为，显然以及时不满足题意，
所以，解得．
故选：B．
5. 圆C：被直线截得的最短弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于直线过定点，所以由圆的性质可知当直线与弦垂直时，弦长最短，从而利用弦、弦心距和半径的关系可求得答案
【详解】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，
故选：B．
6. 点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的切线性质，结合已知有和圆心的距离恒为，设即可写出的轨迹方程.
【详解】∵，
∴点和圆心的距离恒为，又圆心，设，
∴由两点间的距离公式，得.
故选：B
7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得的关系，再由离心率公式可求解.
【详解】解：过作于点，设，
因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，
由双曲线的定义可得，所以，
同理可得，所以，即，
所以，因此，
在直角三角形中，，
所以，所以，则.
故选：A.
【点睛】方法点睛：
（1）求双曲线的离心率时，常将双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
8. 已知抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线及抛物线的准线相交，交点从上到下依次为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求得直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长.
【详解】作垂直于准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，，，，即，
所以直线的斜率，设直线方程为，，， 与抛物线方程联立，
，得，
所以焦点弦长.
故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 如果，，那么直线经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.
【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，
因为，，故，
故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，
故选：ACD.
10. 已知曲线（ ）
A. 若，，则是两条直线
B. 若，则圆，其半径为
C. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
D. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】
由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解.
【详解】对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；
对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；
对于C，若，则，
所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；
对于D，若，则为双曲线，
且其渐近线为，故D正确.
故选：AD.
11. 已知曲线，则下列结论正确的有（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于
C. 曲线C不是封闭图形
D. 曲线C与圆有4个公共点
【答案】ACD
【解析】
【分析】判断当在曲线上时，也满足，A正确，当时，， B错误，C正确，联立方程求解得到D正确，得到答案.
【详解】当在曲线上时，也满足，故A正确；
当时，，故曲线不是封闭图形，B错误，C正确.
联立方程，解得或或或，D正确.
故选：ACD.
12. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点M，下列判断正确的是（ ）
A. 可能是等腰直角三角形B. 不可能是等边三角形
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】如图所示，垂直准线于，得到A错误B正确，根据三角形相似结合双曲线性质得到C正确D错误，得到答案.
【详解】如图所示，垂直准线于，准线交轴于显然不是直角，因为，所以不可能为直角，A错误；
，故不可能是等边三角形，B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：BC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13. 抛物线的准线方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．
【详解】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：．
故答案为．
【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．
14. 已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可．
【详解】解：双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，
所以双曲线的渐近线的倾斜角为和，
所以，所以，
所以双曲线的离心率为：.
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线渐近线方程和离心率，是基本知识的考查．
15. 已知是直线上一动点，，是圆的两条切线，A，B是切点，若四边形的最小面积是，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由圆的方程求出圆的半径，而由圆的性质知：，当直线垂直于直线时，四边形的面积最小，即可求出切线长，从而得到是圆心到直线的距离，即可得到的值．
【详解】圆的圆心，半径，
由圆的性质知：，因为，是切线长，
而，所以当直线垂直于直线时，
四边形的面积最小，此时，
圆心到直线的距离就是的最小值，即，而，
故答案为：．
16. 圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点历时秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点历时秒.若与的离心率之比为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义，结合已知条件即可求出.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
在图2左图中，由椭圆定义可得 ①
由双曲线定义可得 ②
①-②得，
所以的周长为.
在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，
即直线过点，所以的周长为，
又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为，
所以，又两次所用时间分别为，，
而光线速度相同，所以.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，满分48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．
17. 在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）求角C的大小
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的值．
（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长．
【详解】（Ⅰ）由正弦定理，得
，
在中，因为，所以
故，
又因为0＜C＜，所以．
（Ⅱ）由已知，得.
又，所以.
由已知及余弦定理，得，
所以，从而.即
又，所以的周长为.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．
18. 已知抛物线上的点到焦点F的距离为6．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程．
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．
【小问1详解】
由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：，可得，
∴.
【小问2详解】
由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程，
有，整理得，则，又P是线段的中点，
∴，即，故.
19. 在边长为2的菱形中，，点E是边的中点（如图1），将△沿折起到△的位置，连接，得到四棱锥（如图2）．
（1）证明：平面；
（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质有，再应用线面垂直的判定即可证结论.
（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求直线的方向向量、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示，求线面角的正弦值.
【小问1详解】
由题设，为菱形，E是的中点且，
∴，即，又，
∴面.
【小问2详解】
由，结合（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，
∴，
若是面的一个法向量，则，令，则，
∴，故直线与平面所成角的正弦值为.
20. 如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆和组成，其中，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）．
（1）求a，b；
（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为，求该网箱所占水域面积的最大值．
【答案】（1），
（2）平方米.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆方程及参数关系，结合题图即可知a，b的值.
（2）令分别是矩形水箱在第一、二象限的顶点，由（1）所得椭圆方程可得，根据矩形面积公式及基本不等式得，即可求最大值，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由题设，及椭圆方程可知：，
由图知：，
∴，.
【小问2详解】
由（1）知：两个半椭圆和，
令分别是矩形水箱在第一、二象限的顶点，
∴，可得，
∴网箱所占水域面积，当且仅当时等号成立.
∴网箱所占水域面积的最大值为平方米.
21. 已知双曲线过点，焦距为，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）.
（2）存在，直线为或.
【解析】
【分析】（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程；
（2）由题设有，设直线为，，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程.
【小问1详解】
由题设，，又在双曲线上，
∴，可得，
∴双曲线C的方程为.
【小问2详解】
由（1）知：，
直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意；
设直线为，，
联立双曲线方程可得：，
由题设，
∴，，则.
要使△构成以为顶角的等腰三角形，则，
∴的中点坐标为，
∴，可得或，
当时，，不合题意，所以，直线l：，
∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】(1)由椭圆离心率结合化简方程，设，由最大值4即可作答；
(2)设直线AB斜率k，写出直线AB方程，联立直线AB与椭圆C方程组，消去y得关于x的一元二次方程，用判别式和求出k的范围，再借助及点P在椭圆上建立起t与k的关系而得解.
【详解】（1）椭圆C的半焦距c，，即，
则椭圆方程为，即，设，
则，
当时，有最大值，即，解得， ，
故椭圆方程是；
（2）设，，，直线AB的方程为，
由，整理得，
则，解得，，，
因且，则，
于是有，化简，得，则，即，
所以，
由得，则，，
而点P在椭圆上，即，化简得，
从而有，而，
于是得，解得或，
故实数t的取值范围为或.