河南省郑州市十校2021-2022学年高二上学期期中联考数学（理）试题（解析版）

这是一份河南省郑州市十校2021-2022学年高二上学期期中联考数学（理）试题（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把不等式化为，求出解集即可．
【详解】解：不等式可化为，
解得，
所以不等式的解集为（4，3）．
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
2. 在数列{}中，，n∈N*，则的值为（ ）
A. 49B. 50C. 89D. 99
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】解：∵，（），
∴数列{}是等差数列，
则．
故选A．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 已知，则函数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求出函数的最小值.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值是.
故选：A.
4. 已知数列{}是等差数列，，则其前13项的和是（ ）
A. 45B. 56C. 65D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的等差中项得a7=6，再由求和公式和性质可得S13=13a7即可.
【详解】∵在等差数列{an}中，a5+a7+a9=18，∴a5+a7+a9=3a7=18，
解得a7=6，
∴该数列的前13项之和：
S13=×（a1+a13）=13a7=13×6=78．
故选D．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和，利用等差数列的性质和的公式是解题的关键，属于基础题．
5. 关于x的不等式的解集是（2，+∞），则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式ax﹣b＜0解集知a＜0且=2，代入关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）<0中求解即可．
【详解】∵关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），
∴a＜0，且=2，则b=2a；
∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）<0，
可化为（ax+2a）（x﹣3）<0，因为a<0,即（x+2）（x﹣3）>0，
解得x>3或x<-2，∴所求不等式的解集
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次不等式解集，利用一元一次不等式的解集得到a与b的等式是关键，注意一元二次不等式的开口方向，属于基础题.
6. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当 时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.
7. 若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对二次项系数分类讨论，借助“三个”二次关系布列不等式组即可.
【详解】解：当时，对任意实数都成立，；
当时，不等式对任意实数都成立，
，
∴，
综上，的取值范围为．
故选：．
8. △ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则csC=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝，又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴csC＝＝.
9. 中，内角所对的边分别为.若则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知求出，即得解.
【详解】因为
所以，
所以，
所以的面积.
故选：C
10. 设，，若是与的等比中项，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比中项的性质，列方程，求得，然后利用基本不等式求得最大值.
【详解】由于是与的等比中项，故，故.故选B.
【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查利用基本不等式求最大值的方法.属于基础题.
11. 已知数列{}的前n项和为，，（），则（ ）
A. 32B. 64C. 128D. 256
【答案】B
【解析】
【分析】由已知数列递推式构造等比数列{1}，求其通项公式得到，再由求解．
【详解】由，得，又，∴，即，
且，即数列{1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
则，则.
∴．
故选B．
【点睛】本题考查数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，属于中档题．
12. 设表示不超过的最大整数，如，．已知数列满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求出通项公式，进而化简利用裂项相消法求解数列的和即可.
【详解】解：解：由，得，
因为，所以
则.
所以
.
故选：A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先画出可行域，由，得，画出直线，向上平移过点时，取得最小值，将点坐标代入可得结果
【详解】解：变量，满足所表示的可行域如图所示，
由，得，画出直线，向上平移过点时，取得最小值，
对于，当时，，所以点的坐标为，
所以的最小值为，
故答案为：
14. 设内角所对的边分别为，若，则角=__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.
【详解】，则，，故.
根据余弦定理：，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.
15. 已知数列前项和为，且满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据与的关系式把已知条件中的转化为的形式，从而可求出是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的的通项公式即可求出数列的通项公式，从而可求出的值.
【详解】因为时，，
所以， 即，
所以，即，
又时，，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
即，所以.
故答案为：.
16. 已知，为正实数，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用结合基本不等式求解即可
【详解】由题则则
则
当且仅当即等号成立
故答案为
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．
【答案】(1);(2).
【解析】
【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用．、
（1）设公差为，由已知得
解得,
（2），
等比数列的公比
利用公式得到和．
18. 已知，，分别是的角，，所对的边，且，.
（1）若的面积等于，求，；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得到方程组，解得即可；
（2）利用二倍角公式及两角和差的正弦公式得到，再分与两种情况讨论，当，即可得到，利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出，，即可得到，从而得解；
【小问1详解】
解：∵，由余弦定理得，
∵的面积和等于，∴，∴，
联立；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
当时，；
当时，，由正弦定理得，联立，解得，，∴，即，
又∵，∴，
综上所述，或；
19. 1.已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）当时，求的最小值及相应x的值．
【答案】（1）
（2），此时
【解析】
【分析】（1）分式不等式转化为一元二次不等式进行求解；（2）先换元，再利用基本不等式进行求解的最小值及相应x的值
【小问1详解】
，即
不等式的解集为
【小问2详解】
当时，令（），
则，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
，此时.
20. 设数列是等比数列，数列是等差数列，若，.
（1）若，数列中的最大项是第项，求的值
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出，的关系式，求解出与的通项公式，表示出的通项公式，利用进行判断
（2）采用错位相减法进行求解即可
【详解】解析：
（1）设公差为，公比为
则，
所以，；
，
当时，，于是；
当时，，于是；
综上所述：，
于，
（2）错位相减求和法
，，
【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确
21. 在中，已知且.
（1）试确定的形状；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）直角三角形；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理化简整理得到即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将表示成，接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.
【详解】解：（1）由正弦定理得：，
所以①
因为，
所以
所以，②
把②代入①得
所以是直角三角形
（2）由（1）知，所以
所以.
根据正弦定理得
因为，所以
即的取值范围是.
22. （1）已知函数为常数)，求不等式的解集；
（2）是否存在实数，对任意的恒成立，若存在求出实数的取值范围，若不存在，试说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）不存在，见解析.
【解析】
【分析】（1）不等式化为，讨论①、②和③时，求出对应不等式的解集；
（2）利用判别式法即可得到结果.
【详解】解：（1）不等式化为，即，
①时，不等式变为，解得；
②时，不等式变为，
若，则，解得或，
若，则，解得，
若，则，解得或；
③时，不等式变为，解得；
综上所述，不等式的解集为：
时，；时，，，；
时，，，；
时，，，；
时，，；
（2）∵对任意的恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，
即恒成立，
当，即或时，不等式显然不恒成立，
当时， ，
解得： ，此时无解，
故不存在实数，对任意的恒成立.