江西省南昌市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（理）试题

这是一份江西省南昌市重点高中2021-2022学年高二上学期期中考试 数学（理）试题，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某企业有职工150人，中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ）
A．5，10，15B．5，9，16C．3，10，17D．3，9，18
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.7 ，P(B)=0.15，，P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.35B．0.65C．0.7D．0.3
3．如图，根据程序框图，当输入10时，输出的是（ ）
A．12B．19C．14.1D．
4．已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．12B．24C．36D．72
6．设实数，满足，则目标函数的最大值是（ ）
A．2B．C．D．5
7．下列说法正确的是（ ）
A．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，记事件为“恰有个白球”，事件为恰有个白球”，则与互斥
B．甲､乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
C．随机试验的频率与概率相等
D．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，则与对立
8．由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（ ）
A．15B．12C．10D．5
9．已知事件A，B，且则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
10．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
12．如图，在矩形ABCD中，，，在矩形ABCD中随机取一点，则点与，的距离都不小于2的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．（用数字作答）
14．已知，的取值如下表所示：
若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为____________.
15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
16．裴波那契数列（Fibnaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______
三、解答题
17．一个袋子中装有大小和形状相同的红球、白球和蓝球，其中有2个红球，3个白球，n个蓝球．
（1）若从中任取一个小球为红球的概率为，求n的值；
（2）若从中任取一个小球为白球或蓝球的概率为，求从中任取一个小球不是蓝球的概率．
18．已知，求：
（1）的值；
（2）及的值；
19．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；
乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．
（1）用茎叶图表示两小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更稳定；
（2）现从这20名学生中随机抽取1人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A，“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分记为事件B，求，．
20．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，大冶市人民政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.
21．如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）
（1）由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
（3）求出图中总计有多少个矩形？
22．2020元旦联欢晚会上,,两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：班在一个纸盒中装有1个红球,1个黄球,1个白球,这些球除颜色外完全相同,记事件：同学们有放回地每次摸出1个球,重复次,次摸球中既有红球,也有黄球,还有白球；班在一个纸盒中装有1个蓝球,1个黑球,这些球除颜色外完全相同,记事件：同学们有放回地每次摸出1个球,重复次,次摸球中既有蓝球,也有黑球,事件发生的概率为,事件发生的概率为．
（1）求概率,及,；
（2）已知,其中,为常数,求．
2
3
4
5
2.2
5.5
6.5
参考答案
1．D
【分析】
由分层抽样的定义结合抽样比即求.
【详解】
由分层抽样的定义结合抽样比可知：
中高级职称应抽取：人；
中级职称应抽取：人；
一般职员应抽取：人；
即各职称人数分别为3，9，18.
故选：D.
2．D
【分析】
根据对立事件的概率公式计算．
【详解】
由题意事件“抽到的不是一等品”的概率为．
故选：D．
3．C
【分析】
执行程序框图即可求出结果.
【详解】
由图可知：
该程序的作用是计算分段函数的函数值．
当当输入10时，输出的是：．
故选：C．
4．A
【分析】
由题意可得，即可求解.
【详解】
由题意可得：，解得：，
故选：A.
5．C
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①将4名教师分成3组，②将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①将4名教师分成3组，有种分组方法，
②将分好的三组全排列，对应3种题型，有种情况，
则有种不同的分派方法；
故选C．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6．A
【分析】
根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，将目标z与直线的截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得最大值.
【详解】
根据实数，满足的条件作出可行域，如图.
将目标函数化为.
则表示直线在轴上的截距的相反数.
要求的最大值，即求直线在轴上的截距最小值.
如图当直线过点时，在轴上的截距最小值.
由，解得
所以的最大值为
故选：A
7．A
【分析】
直接利用互斥事件和对立事件，频率和概率的关系的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，记事件为“恰有1个白球”，事件为恰有2个白球”，则与互斥，故正确；
对于：甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，并不是说比赛5场，甲胜3场，故错误；
对于：随机试验可以用频率估计概率，并不是说频率和概率相等，故错误；
对于：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则与不对立，故错误．
故选：．
8．D
【分析】
首先根据题意分成一位偶数，二位偶数和三位偶数三类，再利用分类加法原理求解即可.
【详解】
分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；
第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个；
第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个．
由分类加法计数原理知共有偶数5个．
故选：D
9．B
【分析】
结合条件概率公式，由，再由得到，进而求出答案.
【详解】
由题意，，易知,
所以，
所以.
故选：B.
10．C
【分析】
本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】
由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
若任取个数中有个阳数，则，
若任取个数中有个阳数，则，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C.
【点睛】
本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.
11．C
【分析】
第一步：根据相邻的面均不同色，涂三棱锥P-ABC的三个侧面， 第二步：涂三棱柱ABC-的三个侧面，然后利用分步计数原理求解.
【详解】
第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面，
因为要求相邻的面均不同色，
所以共有种不同的涂法，
第二步：涂三棱柱ABC-的三个侧面，
先涂侧面有种涂法，再涂和只有1种涂法，
所以涂三棱柱的三个侧面共有种涂法，
所以对几何体的表面不同的涂色方案共有种涂法，
故选：C
12．A
【分析】
利用几何概型的求法即得.
【详解】
如图设圆弧交点为E，过E作EF⊥AB于F，
在△AEF中，AE=BE=2，，可求得∠EAF=，则
．
所以点与A，的距离都不小于2的概率为．
故选：A．
13．336
【分析】
根据排列定义及公式即可求解．
【详解】
从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为，故共有336种不同的选派方案．
故答案为：336
14．3.8
【分析】
利用线性回归分析方程经过样本中心点，直接带入即可求解.
【详解】
因为，，所以，解得.
故答案为：3.8.
15．15
【分析】
根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.
【详解】
用X表示中奖票数，
P(X≥1)＝，
所以，解得n≥15.
故答案为：15.
16．
【分析】
列举出数列{an}的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．
【详解】
解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，
∴数列{an}的前40项为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，
10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，
2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，
其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．
∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．
故答案为：
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据概率公式列式可求出结果；
（2）根据任取一个小球为白球或蓝球的概率为求出，再根据对立事件的概率公式计算可得结果.
【详解】
（1）设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为A，B，C，它们是互斥事件，
由已知得，，解得
（2），
由对立事件的概率计算公式知，
，解得，
，
从中任取一个小球不是蓝球的概率
18．（1）-1；（2）1093，-1094.
【分析】
(1)将代入等式计算即可；
(2)利用赋值法可得
和，两式加减计算即可.
【详解】
详解：令.
（1）；
（2）由赋值法可得，
所以，，
；
19．（1）茎叶图见解析，甲组成绩更稳定；（2），.
【分析】
（1）用茎叶图表示出两小组的成绩，进而可观察出稳定性；
（2）确定样本点总数，事件B包含的样本点数量，利用条件概率的概率公式求解即可.
【详解】
（1）甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如下：
由茎叶图可以看出甲组成绩较集中，即甲组成绩更稳定．
（2）从这20名学生中随机抽取1人，样本点总数为20，事件B包含的样本点有9个，
故，
事件AB包含的样本点有5个，故，
所以．
20．（1），；（2）（万）；（3）5.8．
【分析】
（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值；
（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；
（3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值．
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可得
，
又，则，；
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：
（万）；
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，
月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，
，解得，
即标准为5.8吨．
21．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；
（2）设出直线上其它格点为、、，按照、、、分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；
（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.
【详解】
（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；
（2）设点、、的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着，共有条最近路线；
②沿着，共有条最近路线；
③沿着，共有条最近路线；
④沿着，共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在上，共有个矩形；
②矩形的一条边在上，共有个矩形；
故图中共有个矩形.
【点睛】
本题考查了计数原理的应用，考查了转化化归思想与分类讨论思想，关键是合理分类、分步、转化题目条件，属于中档题.
22．（1）；；；
（2）
【分析】
(1)根据排列组合的方法,分别计算中所有的基本事件总数以及满足条件的事件数求解,.再根据对立事件的概率公式以及分步计数原理求解,即可.
(2)根据(1)中的计算分别求得,再代入即可求得,再根据对立事件的概率公式求解得,代入再利用累加法求解即可.
【详解】
解：（1）班3次摸球共有种不同的可能,其中集齐红球,黄球,白球有种,故；
班4次摸球共有种不同的可能,次后集齐红球,黄球,白球,即某种颜色出现两次其余各出现一次,可能性为种,故；
班摸球3次共有种不同的可能,其中不能集齐黑球,蓝球有2种,故；
班摸球4次共有种不同的可能,其中不能集齐黑球,蓝球有2种,即全是黑球或全是蓝球,故；
（2）记,,根据（1）的计算,不难整理得下表：
由于的对立事件总是2种情形,即全是黑球或全是蓝球,故．
令,即
解得或（舍去,因为）,
故,
即,
,
……
,
累加可得．
当时,适合上式,∴．
【点睛】
本题主要考查了排列组合在概率计算中的运用,同时也考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,需要根据题意确定数列前几项的关系,进而推出递推公式利用累加法求解.属于难题.1
2
3
4
5
…
0
0
…
0
…