四川省成都市新都一中2022-2023学年高二上学期数学期中模拟02

这是一份四川省成都市新都一中2022-2023学年高二上学期数学期中模拟02，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．倾斜角为120°的直线经过点和，则（ ）
A．B．C．3D．
2．已知不等式组，表示的平面区域不包含点则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列方程表示同一曲线的一组是（ ）.
A． ， B．，
C．， D．，
4．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若两个平面都垂直于同一平面，则这两个平面平行
D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
6．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知点P在直线上，过点P的两条直线与圆分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
10．圆上到直线的距离为1的点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．若实数满足，则
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
二、填空题
13．已知椭圆的两个焦点，，点P在椭圆上，且，则__．
14．已知均为正实数，且，若恒成立，则m的取值范围为___________．
15．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，那么这个多面体叫做正多面体.正四面体相邻两个面所成的二面角的余弦值为______
16．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则点的轨迹方程是_________
三、解答题
17．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.
(1)求直线的一般式方程；
(2)在下列两个条件中任选一个，求直线的一般式方程.
①角A的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
18．如图，在四棱锥中，面ABCD是平行四边形，，，O为AC的中点，平面ABCD，，M为PD的中点.
(1)证明：平面平面PAC；
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值；
(3)求绕PO旋转一周而成的几何体的体积.
19．已知圆C方程：
(1)若原点在圆外，求实数的范围；
(2)圆C与直线相交于M、N两点，且，求的值．
20．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，
(1)若M，N分别是PD，AB中点，求证：平面PBC；
(2)已知，， ，若，求二面角的余弦值．
21．某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过立方米，总重量不能低于千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋（不一定都是整袋）时，可获得最大利润？
22．已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求直线l的斜率
货物
每袋体积（单位：立方米）
每袋重量（单位：百千克）
每袋利润（单位：百元）
甲
乙
四川省成都市新都一中2022-2023学年上期高二数学期中模拟02
参考答案
1．B
【详解】倾斜角为120°的直线经过点和
，解之得，故选：B
2．B
【详解】因为不等式组，表示的平面区域不包含点，
所以或，解得：.故选：B
3．A
【详解】对于A选项，曲线和都表示双曲线，为同一曲线，A正确；
对于B选项，曲线中，而曲线中，所以两曲线为不同曲线，B错误；
对于C选项，曲线中，而曲线中，所以两曲线为不同曲线，C错误；
对于D选项，曲线中，而曲线中，所以两曲线为不同曲线，D错误；
故选：A.
4．C
【详解】由题知：，，，
，设，则，，
则椭圆，直线：.
所以，解得，，
则.
因为，所以.故选：C
5．D
【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错;
一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错;
若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以相交，故C错;
若，∵，则且，使得
同理可得：且，使得，∴
，，则
又∵，
∴，则，故D正确.故选：D.
6．C
【详解】由椭圆可得，
所以，，所以，
所以在中，，
因为，且，
所以，
设的坐标为，且，
所以， 所以点P到y轴的距离为，故选：C
7．B
【详解】设点，圆，其圆心为，因为、是圆的切线，则有，，
则点、在以为直径的圆上，又由，，则以为直径的圆的方程为：，即，联立可得
，即直线的方程为.
又在上，故，
所以圆心O到直线AB的距离，
故当，取最大值 .故选：B
8．D
【详解】如图，设的中心为，连接，的延长线交球面于点D，连SD，
显然CD是外接圆的直径，则，而平面ABC，则平面ABC，
因正边长为3，则，，又，
而，解得，
在中，球O的直径，球O的半径，
所以三棱锥的外接球的体积为.故选：D
9．C
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，可知定点，
又
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为2.故选：C.
10．C
【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为2.
因为圆心到直线的距离，如图所示.
所以圆上的点到直线的距离为1的点有A、B、C共3个.如图：故选：C．
11．C
【详解】当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点.
易得过、两点的直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得，所以，进而可得，点的横坐标为3.故选：C.
12．B
【详解】对A，由解得或，故A错误；
对B，由于，对两边同除，得到，故B正确；
对C，由于，利用基本不等式知，故C错误；
对D，①当时，不等式为，恒成立；②当时，若要使不等式恒成立，则，解得，所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，故D错误；故选：B
13．
【详解】由椭圆知，椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
由椭圆对称性不妨令焦点，因点P在椭圆C上，且，
设，，则由，解得
即有，所以的值为.
14．
【详解】因为恒成立，故只需求出若的最小值，
因为，且均为正实数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
所以.故答案为：
15．
【详解】如图，四面体为正四面体，设正四面体的棱长为，
故作面，则为底面三角形中心，
连接，并延长交AB于E，连接PE，则，
所以为二面角的平面角，，，
在中，
即正四面体相邻两个面所成的二面角的余弦值为.
16．
【详解】由可知，所以该直线过定点，
由可得，所以该直线过定点，
因为,
所以直线与垂直，
所以，即点的轨迹是以为直径的圆，
所以点的轨迹方程是，
即.
17．(1)边上的高所在的直线方程为，斜率为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理得.
（2）若选①，角A的平分线所在直线方程为，
，故.
设是点关于直线的对称点，
则，解得，即，
由于是直线上的点，
所以，
所以直线的方程为，
整理得直线的一般式方程为.
若选②，边上的中线所在的直线方程为，
，故.
设，则的中点在直线上，
即，整理得，
在直线，即，
，即，
所以，
所以直线的方程为，
整理得直线的一般式方程为.
18．(1)由，，得，
而平面ABCD，平面，故，
又平面，平面，，
平面，又平面，
平面平面，
（2）找中点，连接，由题意得，
则平面，即为直线AM与平面ABCD所成角，
，，
则，
（3）由题意得，，
则所求几何体的体积为
19．(1)∵方程表示圆，
∴，即，解得，
又∵原点在圆外，∴，
综上，．
（2）∵方程，
∴，则圆心，半径
圆心到直线的距离，
∵圆与直线相交于M、N两点，且，，
∴，解得．
20．(1)取CD中点E，连接ME，NE，
∵M，N分别是PD，AB的中点，
∴MEPC，
又∵平面PBC，平面PBC，
∴ME平面PBC，
同理NE平面PBC，
又∵，平面MNE，
∴平面MNE平面PBC，
∵平面MNE，
∴MN平面PBC，
（2）因为，所以，
其中，，
由余弦定理得：
，
，
∵底面是直角梯形，，
∴，
∵，平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又∵平面，
∴平面平面，
设P到平面ABCD的距离为h，则，，
过点作于点，
∵平面平面，平面PAB，平面平面，
∴平面ABCD，∴，
，
由勾股定理得：，∵，
与重合，连接AC，
∵AC=CD=，AD=2，
∴，∴AC⊥CD，
又∵，，平面，
∴平面，
∴二面角的平面角为，
∴二面角的余弦值为.
21．【详解】设一个大集装箱托运甲种货物袋，乙种货物袋，获得利润为（百元），
则目标函数为，
依题意得，关于、的约束条件为，即，
作出上述不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．
由目标函数，可得，
当直线的纵截距最大时，
对应的目标函数也会取得最大值．
联立，解得，可得点，
画直线，平行移动到直线的位置，
当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，
即（百元），
答：在一个大集装箱内装甲种货物袋，乙种货物袋时，可获得最大利润，最大利润为元.
22．(1)因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设直线，，，
联立方程，整理得，
即，
，，
即，
，
即，
整理得，所以或，
若，则直线过点，不合题意，
所以直线的斜率为