四川省成都市新都一中2022-2023学年高二上学期数学期中模拟01

这是一份四川省成都市新都一中2022-2023学年高二上学期数学期中模拟01，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．空间直角坐标系中，若轴上一点到轴上一点的距离为，且的中点到平面的距离为，则点的坐标为．
A．B．
C．D．
2．已知x＞1，则的最小值为（ ）
A．16B．8C．4D．2
3．设a，b为两条直线，、为两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，，则
4．已知三棱锥中，面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥的体积为.过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．
C．D．
5．圆关于直线对称，记点，坐标系的原点为，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
6．已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
7．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则错误的是（ ）
A．点的坐标为B．点P的轨迹方程
C．D．的最大值为
10．一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知点满足，点是圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（ ）
A．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁
B．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
C．卫星向径的取值范围是
D．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
二、填空题
13．已知直线过点，且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为__________.
14．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是___________.
①直线平面，
②三棱锥的体积为定值，
③异面直线与所成角的取值范围是
15．已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________.
16．方程为的曲线，给出下列四个结论：
①关于轴对称；
②关于坐标原点对称；
③关于轴对称；
④；
以上结论正确的是__________．
三、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若直线与直线垂直，求的直线方程；
(2)设直线的斜率，且l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求的直线方程．
18．在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点M，N分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
19．在平面直角坐标系中，圆C经过三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若经过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程．
20．如图，在棱长为a的正方体中，点P为线段上的一个动点，连接．
(1)求证：∥平面；
(2)求点P到平面的距离；
(3)求二面角的余弦值．
21．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料400吨，B种原料460吨，C种原料500吨，在此基础上生产甲乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用，表示生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用，列出满足生产条件的数学关系式；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）长轴长为4，且椭圆C的离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标轴原点，以PQ为直径的圆过坐标轴原点，求直线l的方程．
原料
肥料
甲
4
8
3
乙
5
5
10
四川省成都市新都一中2022－2023学年上期高二数学期中模拟01
参考答案
1．D
【详解】设，，因为，所以；又因为中点即到平面的距离为，所以；则，所以，所以，所以的坐标为：.
故选D.
2．B
【详解】当时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，故选：．
3．D
【详解】由、为两条直线，、为两个平面，
在A中，若，，则可能存在的情况，故A错误；
在B中，若，，则可能存在的情况，故B错误；
在C中，若，，则可能存在的情况，故C错误；
在D中，若，，，，则，故D正确.故选：D
4．D
【详解】解：由题可知中，，，
所以
又面，三棱锥的体积为
所以
则
因为面，所以
又，且面
所以面，又面
则，已知，面
所以面，又面，则，
又，面
所以面
则三棱锥的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示：
则该长方体的外接球即三棱锥的外接球，设外接球半径为
故，所以
三棱锥外接球的体积为：.故选：D.
5．B
【详解】由题意，，
即圆圆心为，半径，
圆关于直线对称，
即圆心在直线上，
故，即，
故，
当时，的最小值为.故选：B
6．A
【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为
把点代入求出，即直线方程为
（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为，
把点代入求出，即直线方程为
综上，直线方程为或，故选：A
7．B
【详解】由，，则令，解得，故直线过定点，由，则圆心，半径，
当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，
故直线为，则.故选：B.
8．A
【详解】由，则，由，则，
将代入方程，则，，不妨设，
直线的斜率，则直线方程为，
令，则，即，故的中点为，
由直线过的中点，则，即，
，，.故选：A.
9．B
【详解】由动直线，得，所以定点，故A正确；
由动直线，可得，
由和，满足
所以，可得，
所以，故C正确；
设，则，
即点P的轨迹方程为，而与，不重合，则，故B错误；
因为，设，为锐角，则，，
所以，
所以当时，取最大值，故D正确．
故选：B．
10．C
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，化简得，解得，
故反射光线过点与点
则反射光线所在直线的方程为，故选：C
11．B
【详解】画出可行域，如图所示，其中，，点N为与圆的交点（靠近A的交点），点M与点A重合时，取得最小值，此时，连接OB并延长，交圆于点，且点B与M重合时，取得最大值，
此时，故的取值范围是.故选：B
12．D
【详解】卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆轨道越扁，故A正确；
因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B正确；
由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，故C正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故D不正确，故选：D．
13．
【详解】由于直线过点且斜率为1，
则直线，
圆上恰有3个点到的距离为1，
圆心到直线的距离等于半径减去1，
圆心到直线的距离为，解得，
因为，故答案为：.
14．①②④
【详解】对于①，连接，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，所以①正确，
对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为点在线段上运动，所以点到平面距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以②正确，
对于③，连接，因为∥，所以异面直线与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，所以当点位于点或点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，此时与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以③错误，答案为：①②
15．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为5，
设动圆圆心为，半径为，
则，，
于是，
动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，
，，，
的轨迹方程为，
故答案为：
16．①④
【详解】对①，用代替，可得方程，
所以方程表示的曲线关于轴对称，①正确；
对②，用代替，用代替，可得方程，
与原方程不同，所以方程表示的曲线不关于坐标原点对称，②错误；
对③，用代替，可得方程，
与原方程不同，所以方程表示的曲线不关于轴对称，③错误；
对④，方程可化为，
可得，解得，
由，即，
所以，④正确.
故答案为：①④.
17．(1)解:若直线与直线垂直,则可设直线的方程为
又直线经过点，所以，得
则的直线方程为：
（2）解：设直线的斜率，则直线
直线与两坐标轴交点分别为,、0,，
则面积为，
又
当且仅当时，等号成立，
故面积最小值为4，此时直线方程为：.
18．(1)因为点M，N分别是的中点，所以，
因为四边形为正方形，所以，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面底面，平面底面，，底面，
所以平面，又平面，所以，
因为，所以是等边三角形，
因为点M是的中点，所以，
因为，平面，所以平面；
（3）取的中点，连接，
在等边中，点是的中点，所以，，
因为平面底面，平面底面，底面，
所以平面，
由底面为正方形可得，，
所以，
所以
19．(1)设圆C方程为，经过三点，
所以，解得，
所以圆C方程为.
（2）圆C方程化为，所以圆C的圆心为，半径为5．
因为，设MN中点为E，则且，从而．
即到直线l的距离为，且经过点．
当直线l与x轴垂直时，直线l为，点到直线l的距离为，满足题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l为，即．
所以，解得，此时直线l为．
因此，满足题意的直线l的方程为和.
20．(1)证明：连接，可得∥，∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面，
因为平面，所以∥平面．
（2）由（1）得平面∥平面，平面，
所以∥平面，
因为点P为线段上的一个动点，
所以点P到平面的距离等于到平面的距离，
设到平面的距离为，
则 ，，
所以．
（3）连接AD1，与A1D相交于E
在正方体AC1中，有A1D⊥AD1，E为垂足
连接C1E，由C1D1⊥面A1D1DA
结合三垂线定理，有C1E⊥A1D
取B1C的中点F，连接EF，在矩形A1B1CD中，EF∥A1B1，则EF⊥A1D
于是，∠C1EF就是二面角P－A1D－C1的平面角
在正方体AC1中，EF＝C1D1＝a，D1E＝C1F＝a，于是C1E＝a
所以
即二面角P－A1D－C1的余弦值为．
21．(1) 由题意，，满足生产条件的数学关系式为：
(2)设利润为万元，则目标函数为，
由(1)中结论可作出相应的可行域，如图：
考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行线，其中为直线在轴上的截距，当取得最大值是，取得最大值，
又因为，满足(1)中不等式组，故当直线过可行域上的点时，截距取得最大值，即最大，
由方程组，得点的坐标为，
所以，
故当生产甲肥料车皮，乙肥料车皮时，利润最大，且最大利润为万元.
22．(1)因为长轴长为4，所以a＝2，
又因为椭圆C的离心率为，所以，
∴b2＝a2－c2，b2＝2，
所以椭圆C的方程为：．
（2）设P（x1y1），Q（x2，y2），l的方程为y＝x＋m，
由x2＋2y2＝4且y＝x＋m得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，
令＝（4m）2－4⋅3⋅（2m2－4）＞0，（1）
∴，
∴，
由题意知OP⊥OQ，
故x1x2＋y1y2＝0，
，
解得或，验证知满足（1），
所以直线的方程为：或．