长郡中学高二数学上学期期中模拟卷（二）

这是一份长郡中学高二数学上学期期中模拟卷（二），共8页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线斜率，．
2.圆的圆心的坐标为（ ）
A.B. C.D.
【答案】C
3.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线的，所以渐近线方程为.
4.,若共面,则实数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由于共面,故，故，解得，故选B.
5.直线的截距式方程为（ ）
A.B.C. D.
【答案】A
【解析】，故选A
6.如图，在直三棱柱中，,,分别是棱的中点，则异面直线所成角的大小为（ ）
A．B.C.D.
【答案】B
【解析】延长至，使得,则，
所以四边形为平行四
边形，那么,所以是异面直线所成角，
由已知条件可求得
,,,
所以，
所以，故选B.
7.已知圆C：，直线，则圆C上与直线距离为的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆心到直线的距离，圆半径为，故共有四个点，选D.
8.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子做小球放入实验，要求小球能与杯底接触，他能放入小球的最大半径是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】
【解析】作杯子的截面得一抛物线，建立平面直角坐标系，求出抛物线方程为，设球心为,球半径为是抛物线上任一点，则，而小球与杯底接触，则取最小值时，由此得的范围，从而可得的最大值.
作杯子的截面得一拋物线，如图，建立平面直角坐标系，则点在抛物线上，
设抛物线方程为，则，抛物线方程为，
设球心为，球半径为是抛物线上任一点，
则，小球与杯底接触，则上式在时取得最小值，
当，即时，，
所以
故选:B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线，和平面，若，，则直线与平面的位置关系可能是（ ）
A．B．与相交C．D．
【答案】AC
10.已知，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】根据向量平行，由向量共线定理建立方程组求解即可.
,,
即，解得或
所以或2，故选:BD
11．圆与圆有且仅有两条公切线，实数的值可以取（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
【解析】圆；与圆恰有两条公切线，
则两圆相交；
由圆心，半径，圆，半径，
则，
若两圆相交，则满足，
即，
所以，化简得，
解得；
所以实数的值可以取为1,2．
故选：AB．
12．如图，已知抛物线，从直线上一点向抛物线引两条切线，切点分别为．直线过线段的中点，则点到直线的距离可以为（ ）
A．1B．C． D．
【答案】BCD
【解析】设，，，切线方程为，又，联立整理可得，则，，设其两根为，，
则，．此时，解得，，，
，，
则点到直线的距离，故选BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 空间两点，的中点坐标为 ．
【答案】
【解析】两点，的中点坐标为，即．
14.直线，之间距离为，则实数 .
【答案】或
【解析】，则两平行线距离为或
15.在平面直角坐标系内，点，集合，任意的点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】平面直角坐标系内，点，集合，集合条直线：
当垂直于直线时，则
当不垂直于直线时，可以趋于无穷大.综上，的取值范围是，故答案为：.
16.如图，在棱长为的正方体中，，分别为 棱，的中点，若点，，分别为线段，，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
如图，取的中点，易得，即，易知,在上取一点，使得,则，故，过作于，与交于,此时，，三点共线,∴的最小值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知点，，，向量．
（1）若，求实数的值；
（2）求向量在向量上上的投影向量.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
即，得.
（2），，向量在向量上上的投影向量
.
18.（12分）已知直线，圆.
（1） = 1 \* rman i)当实数变化时，求直线经过的定点的坐标；
= 2 \* rman ii）若直线与圆相切于点，求的长；
（2）若直线与圆相交于、两点，且为钝角三角形，求的取值范围.
【答案】（1） = 1 \* rman i)， = 2 \* rman ii）；（2）.
【解析】（1） = 1 \* rman i)由，令得；
= 2 \* rman ii）∵，，∴，半径，
所以.
（2）设圆心到直线的距离为，则由为钝角三角形知：，
所以，解得：或，
即的取值范围是
19．（12分）如图，三棱锥中，，，为正三角形．
（1）证明：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）设为中点，连结，，
∵，为正三角形，∴，，
又∵，∴平面，
∵平面，∴
（2）由（1）知就是二面角的平面角，
作交延长线于点，
∵平面平面且交线为，又平面，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，，∴平面，
设，则在中，，，∴，
所以二面角的余弦值为．
20.(本题满分12分)如图，四棱台中，底面为正方形，平面，
且，，．
（1）证明：；
（2）若直线与所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）如图，
延长侧棱交于点,连结交于点,连结,由条件可知,分别为与的中点,
∴,又∵平面，平面,∴平面.
（2）如图建立空间直角坐标系,则,，，，设,则,则,设平面的一个法向量，
则，即，令,则,
设直线与平面所成角为，则
,即，解得:,或,
所以，或.
21.（本题12分）如图，点是抛物线（）上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点．
（Ⅰ）当的坐标为时，求点的坐标；
（Ⅱ）已知点，若为线段的中点，
求△面积的最大值．
（第21题图）
B
A
P
M
y
x
O
【解析】（ = 1 \* ROMAN I）因为点在抛物线上，故有，所以，
从而抛物线的方程为．求得直线的方程为，代入，
得，解得（舍去），或，
所以，点的坐标为．
（ = 2 \* ROMAN II）设点A的坐标为，由为线段的中点，得点的坐标为，
又点在抛物线上，所以，即．
的面积
．
所以，当，即或2时，的面积取得最大值，最大值为2．
22.如图，已知椭圆的标准方程为，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点.
（1）若与共线.
(i)求椭圆的离心率；
(ii)设为椭圆上任意一点，且，当时，求证：．
(II)已知椭圆的面积，当时，△的面积为，求的最小值.
(第22题)图）
【解析】
(I)设，，直线方程为，
联立直线与椭圆方程得
，
∵与共线
则，得，
(i)
(ii)设，由得，
代入椭圆方程得
整理得
有(i)得（1），（2）
（3）
将（1）（2）（3）代入(*)得，
令
则
(iii)即
(II)到直线的距离， ，
设，
原式=，即的最小值为