长郡中学高二数学上学期期中模拟卷（一）

这是一份长郡中学高二数学上学期期中模拟卷（一），共8页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图1,在空间四边形中,,点为的中点,点在线段 上,且,则（ ）
A. B.C.D.
【答案】D
【解析】∵为的中点,点在线段上,且,且,
∴
, 故选 D.
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线的斜率等于，设它的倾斜角等于，则，且，所以，故选：B．
3.已知直线与直线相互垂直,则实数的值是（ ）
A.0B.1C.D.
【答案】A
【解析】因为直线与直线相互垂直,所以,解得,
即实数的值是0,故选A.
4．倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为倾斜角为，所以直线的斜率为，
又在轴上的截距为，
所以所求直线的方程为，即．
故选：B．
5.一束光线,从点出发,经轴反射到圆上的最短路径的长度是（ ）
A.B.C.D.
【答案】
【解析】如图1,由圆的方程可得圆心坐标,半径,设点关于轴对称点,连接交轴于点,交圆于点,则为所求的最短距离,证明如下;任取轴上一点,则,当且仅当三点共线时取等号,
所以,故选.
6．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】两条㫒面直线的方向向量分别是，，，，，又两条异面直线所成的角为，
则，故选C．
7.已知的圆心是坐标原点,且被直线截得的弦长为6,则的方程为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】的圆心是坐标原点,且被直线截得的弦长为6,设的方程为,则弦心距为,解得,可得图的标准方程为,故选C.
8．已知双曲线的焦点为，，点在上，且关于原点的对称点为，，四边形的面积为6，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原点分别为和的中点，
四边形为平行四边形，
又，四边形为矩形，
四边形的面积为6，，
又，，
，解得，
，
故双曲线的方程为．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，，，四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为，且，利用平面向量基本定理可知：点不在平面内，向量，，能构成一个空间基底；
对于B，因为，利用取面向量基本定理可知：向量，，共面，不能构成一个空间基底；
对于C，由，，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法可知： 是以点为顶点的对角线，向量，，能构成一个空间基底；
对于D，由，根据平面向量的基本定理可知：向量，，共面，不能构成空间的一个基底，故选AC．
10. 已知直线和圆，则（ ）
A．直线恒过定点
B．存在使得直线与直线垂直
C．直线与圆相交
D．若，直线被圆截得的弦长为
【答案】BCD
【解析】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；
当时，直线与直线垂直，故B正确；
因为定点在圆内部，所以直线与圆相交，故C正确；
当时，直线化为，即，
圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，故D正确．
故选BCD．
11.已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】到距离相等，则或过线段的中点，
当时，，
过线段的中点时，，故选AB.
12.如图2，为椭圆上的动点，过作的切线交圆于，，过点，作的切线交于点，则（ ）
A.的最大值为B.的最大值为
C.的轨迹方程是D.的轨迹方程是
【答案】AD
【解析】设，则，即，过，作切线交于，则，所以，，即，，因为点为柞圆上的动点，所以，可得点的轨迹方程为，故C错误，D正确；
因为，，所以，因为，所以，所以，即的最大值为，故A正确，B错误，故选AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点，且，则的值为 .
【答案】或
【解析】，解得或.
14.已知圆，其中，如果圆C与圆相外切，则的值为 .
【答案】
【解析】圆，其圆心，半径为，所以由题设知：，解得：.
15. 已知圆，其中，如果圆与圆相外切，则的值为
【答案】
【解析】圆，即，
因为圆与圆相外切，所以圆心距，解得
故的值为
16．如图3所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，若，，，，（1） ；（2）点到平面的距离为 ．
【答案】；
【解析】如图2，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，，，，，．
（1）设，由，得，∴，∴，，∴．
（2）设为平面的法向量，由得，取，则，又，∴到平面的距离．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知点关于轴的对称点为,关于原点的对称点为.
（1）求中过,边上中点的直线方程;
（2）求的面积.
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）∵点关于轴的对称点为,∴，
又∵点关于原点的对称点为,∴，
∴的中点坐标是，的中点坐标为，
过，的直线方程是,整理得.
（2）由题意知,，，
∴的面积.
18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆过点，，且圆心在直线上；圆．
（1）求圆的标准方程，并判断圆与圆的位置关系；
（2）直线上是否存在点，使得过点，使得过点分别作圆与圆的切线，切点分别为（不重合），满足？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），外切；（2）
【解析】（1）由题意知，圆的圆心也在直线上，
联立解得，
，半径为，圆的标准方程为，
又，而，
圆与圆相外切．
（2），，直线的方程为，
设直线上是存在点B满足题意，设，由可知，，
即，所以，
即，整理得，解得或，
或，
当时，点为圆与圆的公切点，此时重合，不符合题意．
存在点，满足．
19.(本小题满分12分)
如图4，是圆柱的母线，正△是该圆柱的下底面的内接三角形，D，E，F分别为，，的中点，是的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：如图4，连接，
∵，分别为，的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵D，E分别为，的中点，∴，
∴平面，平面，∴平面，
又，平面，且，
∴平面平面，而平面，
∴平面
（2）以为坐标原点，分别以，所在直线为、轴建立空间直角坐标系，
∵△是正三角形，且，不妨设，
∴，，，.
，，.
设平面的一个法向量为，
则取，则
设直线与平面所成角为，
则
直线与平面所成角的正弦值为.
20．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，是上一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的右顶点为，与轴平行的直线与交于，两点，求证：以为直径的圆过点．
【答案】（1）（2）证明略
【解析】（1）由已知设双曲线的方程为：，
由已知得，且，解得：，
∴双曲线的方程为．
（2）设直线的方程为：，
与联立解得：或，
不妨设，
由（1）知点，
∴，的斜率分别为：，
∴，
所以，
故以为直径的圆过点．
21.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，
，底面，且.
（1）证明：平面平面；（2）若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）证明：如图，因为平面，平面，所以，由题设知，
，，由此得平面，又平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，由于，设，则，，，，
，，则，，，
设平面的一个法向量为，有，令，得，，
所以；设平面的一个法向量为，有，令，得，，所以，设平面与平面的夹角为，
有，所以平面与平面的夹角的余弦值为.
22.已知椭圆，其长轴为8，离心率为，过椭圆上一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴的交点分别为E，Q.
（1）求椭圆得方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）依题意，得，，
，，.
所以椭圆方程为.
（2）设椭圆上点P的坐标为，切点坐标为，，
因为直线AP，BP为圆O的两切线，圆O方程为，
∵，∴.
得到:,即,
同理可得,
所以点同时满足直线方程,
即直线AB方程为:,
令 , 得 点坐标为 ,
令,得点坐标为,
所以,
因为在椭圆上,,
即最小值为2,当时取得.