初中数学沪科版九年级上册22.1 比例线段当堂达标检测题

这是一份初中数学沪科版九年级上册22.1 比例线段当堂达标检测题，文件包含专题241全册综合测试卷沪科版原卷版docx、专题241全册综合测试卷沪科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc32093" 【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】 PAGEREF _Tc32093 \h 1
\l "_Tc15854" 【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】 PAGEREF _Tc15854 \h 4
\l "_Tc4481" 【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】 PAGEREF _Tc4481 \h 7
\l "_Tc18401" 【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】 PAGEREF _Tc18401 \h 9
\l "_Tc32423" 【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】 PAGEREF _Tc32423 \h 13
\l "_Tc17690" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 PAGEREF _Tc17690 \h 15
\l "_Tc2079" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】 PAGEREF _Tc2079 \h 21
\l "_Tc14310" 【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 PAGEREF _Tc14310 \h 24
\l "_Tc19009" 【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】 PAGEREF _Tc19009 \h 28
\l "_Tc18832" 【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】 PAGEREF _Tc18832 \h 33
【知识点 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】
【例1】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．ADDB=AEACB．ADDB=BFFCC．ADDB=FCBFD．ADDB=FCBC
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过ADDB=AEEC，AEEC=BFFC，逐项判断，得出结论．
【详解】∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC.
∵EF//AB，
∴AEEC=BFFC，
∴ADDB=AEEC=BFFC，
∴ADDB=BFFC.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．
【变式1-1】（2023春·湖南娄底·九年级统考期中）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）．
A．ABEF = ADDFB．DFAD = BCCEC．ADAF = BEBCD．ADDF = BCCE
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF = BCCE，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
【变式1-2】（2023春·湖南娄底·九年级校联考期末）如图，已知AB ∥ CD ∥ EF，AC:AE=3:5，那么下列结论正确的是（ ）
A．BD:DF=2:3B．AB:CD=2:3
C．CD:EF=3:5D．DF:BF=2:5
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵AC:AE=3:5，
∵AC:EC=3:2,CE:EA=2:5
∵AB ∥ CD ∥ EF，，
∴BD:DF=AC:EC=3:2，故A错误；
DF:BF=CE:EA=2:5，故D正确；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
【变式1-3】（2023春·山西晋城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG//BC，交AC于点G，过点E作EH//AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A．ADDB=DGBCB．GFEC=HCGHC．FHAD=GHAGD．HEAB=ECBE
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：∵DG//BC，
∴ADAB=DGBC，故A选项错误；
∵DG//BC，
∴GFEC=GHHC，故B选项错误；
∵EH//AB，
∴FHAD=GHAG，故C选项正确；
∵EH//AB，
∴HEAB=ECBC，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．
【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】
【例2】（2023春·河北保定·九年级统考期末）如图，点A，B在格点上，若BC=23，则AC的长为（ ）
A．1B．43C．2D．3
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例可得ACBC=AEDE=2，然后代入数据计算即可．
【详解】解：如图，
由题意，知CE∥BD ，AEAD=2 ，
∴ACBC=AEDE=2 ，
又BC=23，
∴AC=43 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，求出ACBC=2，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·广西百色·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则AEAC的值为（ ）
A．23B．32C．34D．2
【答案】A
【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】∵AD=6，DB=3，
∴AB=AD+DB=9，
∵DE∥BC，
∴AEAC=ADAB=69=23；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
【变式2-2】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）已知线段a、b、c，若求作线段x，使a∶b＝c∶x，则以下作图正确的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例，逐项分析即可
【详解】A.根据平行线分线段成比例，可得a:b=x:c，故该选项不符合题意；
B.根据平行线分线段成比例，可得a:x=b:c，故该选项不符合题意；
C.根据平行线分线段成比例，可得a:c=x:b，故该选项不符合题意；
D.根据平行线分线段成比例，可得a:c=b:x，即a:b=c:x，故该选项符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
【答案】（1）见详解；（2）203．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF∥CD得到AF：FD=AE：EC，由DE∥BC得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解；
（2）根据比例的性质得到AD=20，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF．
【详解】解：（1）证明：∵EF∥CD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DE∥BC，
∴AE：EC=AD：DB，
∴AF：FD＝AD：DB；
（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，
∴AD=AB×23=30×23=20，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD=2:1，
∴DF=AD×13=20×13=203
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题关键．
【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】
【例3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）如图 ，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于 ．
【答案】34
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF,
∵AG=4,GD=2,DF=8,
∴BCCE=ADDF=AG+GDDF=4+28=34,
故答案为：34.
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解此题的关键．
【变式3-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图：AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=16，那么CE的长为（ ）

A．4B．12C．163D．6
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF=31，
∴CE=14BC=4．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
【变式3-2】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，则DEDF的值为（ ）

A．47B．37C．74D．43
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到ABBC=DEEF=43，根据合比性质即得．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴ ABBC=DEEF=43，
∴ DEDF=47．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质．
【变式3-3】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期中）已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，直线l4与l5相交于点O，且AB=32，BC=50，EF=8，EO=2．
(1)求DE的长；
(2)求OB的长．
【答案】(1)245
(2)524
【分析】（1）由l1∥l2∥l3，推出DEEF=ABCB，即可求解；
（2）由BE∥AD，推出OBAB=OEDE，即可求解．
【详解】（1）解：∵l1∥l2∥l3，
∴DEEF=ABCB，
∴DE8=3250，
∴DE=245；
（2）解：∵BE∥AD，
∴OBAB=OEDE，
∴OB32=2245，
∴OB=524．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】
【例4】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则EFFB的值为（ ）
A．25B．38C．37D．35
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=3，又FD=2，
∴BC=AD=AF+FD=5，
∵AD∥BC，
∴EFBE=AFBC=35，
∴EFFB=38，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【变式4-1】（2023春·上海静安·九年级校考期中）已知ax=bc，求作x，那么下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可．
【详解】∵ax=bc，
∴ab=cx或ac=bx．
A．作出的为ab=a+xb+c，故不符合题意；
B．该情况无法作图，故不符合题意；
C．作出的为ab=cx，故符合题意；
D．作出的为ax=cb，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【答案】C
【分析】根据l1∥l2，可得△AFG∽△BFD，进而得出AGBD＝AFBF＝25，AEEC＝AGCD，求出AG＝25BD，CD＝15BD，再求出AGCD即可．
【详解】解：∵l1∥l2，
∴△AFG∽△BFD
∴AGBD＝AFBF，
∵AF：BF＝2：5，
∴AGBD＝25，
即AG＝25BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝15BD，
∴AGCD＝25BD15BD＝21，
∵l1∥l2，
∴△AGE∽△CDE，
∴AEEC＝AGCD＝21，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，两式相加即可得出结论．
【详解】解：∵AC//EF，
∴ EFAC=BFBC，
∵EF//DB，
∴ EFBD=CFBC，
∴ EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，即rp+rq=1，
∴ 1p+1q=1r．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．
【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】
【例5】（2023春·全国·九年级期末）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（ ）
A．CEACB．BFBDC．BFFDD．ABCD
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到BFBD=AEAC.
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴BFFD=AEEC，
∴BFBD=AEAC；
故选择：B.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·河北保定·九年级校考期末）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝152，则BD的值是 ．
【答案】3
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴ACAE=BDBF，即44+6=BD152，
解得：BD=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，AB:EB=3:1，DF=8，则FC= ．

【答案】4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
【详解】解：∵AB:EB=3:1
∴AE:EB=2:1
∵AD∥BC∥EF，AE:EB=2:1，DF=8，
∴ DFFC=AEBE=2，
∴FC=4,
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质．
【变式5-3】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，D，B，E，C，F．已知直线a∥b∥c，AB=2，BC=3，则DEDF的值为（ ）

A．23B．32C．25D．35
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴ABAC=DEDF，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=AB+BC=5，
∴DEDF=25，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握：两条直线被第一组平行线所截的线段成比例．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2023·四川南充·校联考三模）如图， DE是△ABC的中位线， F是CE的中点，射线DF与BE交于点O，与BC的延长线交于点G．下列结论：①OB=2OE；②OD=OF； ③DEBG=CFAF；④S△ADE=12S四边形OBCF，正确的有 ．(填序号．)
【答案】②③
【分析】由题意可知，DE=12BC,DE//BC,DE=GC，根据平行截线求相关线段的长或比值可判断①；由题意得出OG=3OD与FD=FG联立可得2OF=2OD，由此可判断②；由平行截线求相关线段的长或比值及等量代换可判断③；连接BF．设S△ODE=1，根据面积可判断④．
【详解】解：∵ DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC,DE=12BC
∴∠EDF=∠CGF
∵ F是CE的中点，
∴EF=CF
又∵∠EFD=∠CFG
∴△DEF≅△GCF
∴DE=CG,DF=FG
①∵DE//BC
∴ OEOB=DEGB=13，
∴OB=3OE．
∴①错误
②∵DE//BG
∴ODOG=13
∴ OG=3OD
又∵FD=FG，
∴由两式相减，得OF=2OD-OF
∴2OF=2OD．
∴OF=OD．
∴②正确
③∵DE//BG,DE=12BC,DE=CG
∴ DEBG=13
∵AE=CE,CF=EF
∴CFAF=13
∴DEBG=CFAF
∴③正确
④连接BF．设S△ODE=1，可得其他三角形面积如图
∴S△ADE=47S四边形OBCF，∴④错误
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【答案】B
【详解】∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵M是DE的中
∴DM=ME=14BC，
∴MNNC=DMBC=14，
∴MNMC=13
【变式6-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7
【答案】B
【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝12PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，
∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AG＝PG，
∵M是DE的中点，
∴DM＝ME＝12DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，
∴NMAG＝DNAD＝12，
∴NM＝12AG＝12PG，
∵DM＝ME，
∴S△DMN：S四边形MFCE＝12DM⋅NHEM⋅PG＝12DM⋅NH2DM⋅NM＝1：4．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．
【变式6-3】（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务．
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想 B．转化思想 C．分类思想 D．整体思想
(3)请你换一种思路求AFCF的值，直接写出辅助线的作法即可．
【答案】(1)见解析
(2)B
(3)见解析
【分析】（1）通过过点D作DH∥BF交AC于点H．根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，根据平行线分线段成比例即可得到FHCH=BDCD与AEAD=AFAH，根据AE:AD=1:5即可得到AF:FH=1:4，进一步即可求出答案；Ｄ
（2）由上述解题过程即可得到求AFCF的值转化为了求AFFH与FHCH的值，通过转化即可求出答案，即可判断出答案；
（3）通过过点D作DM∥AC交BE于点M，根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，进一步得到BDBC=12，根据平行线分线段成比例即可得到DMCM=BDBC与AEED=AFDM，根据AEAD=15，即可得到AEED=14，进一步即可求出答案．
【详解】（1）∴AEAD=AFAH，
∵AE:AD=1:5，
∴AF:AH=1:5，
∴AF:FH=1:4，
∵FH=CH，
∴AFCF=18
（2）上述解题过程主要用的数学思想是转化思想
故选B
（3）解：如图，过点D作DM∥AC交BF于点M．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC=12BC，
∴BDBC=12，
∵DM∥AC，
∴DMCF=BDBC=12，
∵AF∥DM，
∴AEDE=AFDM，
∵AEAD=15，
∴AEED=14，
∴AFDM=14，
∴AFCF=18

【点睛】本题考查利用辅助平行线求线段的比，作出辅助线，利用平行线分线段成比例进行转化是解题关键．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】
【例7】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP．若AB=6cm，求PN的长．

【答案】PN=2cm
【分析】证明BD=DC，结合DN∥CM，可得BN=NP，AP=PN，从而可得答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵DN∥CM，
∴BNPN=BDDC=1，
∴BN=NP，
∵点M是线段AD的中点，DN∥CM，
∴APPN=AMMD=1，
∴AP=PN，
∴PN=13AB，
∵AB=6cm，
∴PN=13AB=13×6=2cm．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，熟记平行线分线段成比例并灵活运用是解本题的关键．
【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，在△ABC和△ACG中，D、E、F分别在线段AB、AC、AG上，连接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，ADAB=13,AF=3，求AG的长．

【答案】9
【分析】由DE∥BC,EF∥CG可得ADAB=AEAC,AFAG=AEAC,从而可得ADAB=AEAC,再由ADAB=13,AF=3可得结果．
【详解】解:∵DE∥BC,EF∥CG,
∴ADAB=AEAC,AFAG=AEAC,
∴ADAB=AFAG,
∵ADAB=13,AF=3
∴AG=9
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
【变式7-2】（2023春·陕西商洛·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，若BE=4则EG的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【分析】由AF=2DF可以假设DF=k，得到AF=2k，AD=3k（k是正整数），根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，然后根据平行线分线段成比例来求解．
【详解】解：∵AF=2DF，
∴设DF=k，
则AF=2k，AD=3k（k是正整数）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，
∴AEEC=AFBC=2k3k=23，
∴BEEG=AEEC=23．
∵BE=4，
∴4EG=23，
∴EG=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．理解相关知识是解答关键．
【变式7-3】（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知AEED=32，BG=4．
(1)求CG的长；
(2)若CD=2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【答案】(1)6
(2)245
【分析】（1）由EF∥BD，推出AFFB=AEED=32，由FG//AC，推出BGCG=BFAF=23，可得结论．
（2）由EF∥BD，推出EFBD=AFAB，可得结论．
【详解】（1）∵EF∥BD，
∴AFFB=AEED=32，
∵FG∥AC，
∴BGCG=BFAF=23，
∵BG=4，
∴CG=32BG=32×4=6．
（2）∵CD=2，CG=6，
∴DG=CG-CD=4，
∵BG=4，
∴BD=BG+DG=8，
∵AFBF=32，
∴AFAB=35，
∵EF∥BD，
∴EFBD=AFAB，
∴EF8=35，
∴EF=245．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键．
【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
【例8】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD∥AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．8C．9D．12
【答案】C
【分析】连接CG并延长交AB于E，如图，利用三角形重心性质得到CG＝2EG，则利用平行线分线段成比例得到CDBD=CGEG=2，再根据三角形面积公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，则S△BCG＝3，接着求出S△BEG＝32，从而得到S△BCE＝92，然后利用CE为中线得到S△ABC．
【详解】解：连接CG并延长交AB于E，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG＝2EG，
∵DG∥AB，
∴CDBD=CGEG=2，
∴S△GDC＝2S△BDG＝2，
∴S△BCG＝1+2＝3，
而EG＝12CG，
∴S△BEG＝12S△BCG＝32，
∴S△BCE＝32+3＝92，
∵CE为中线，
∴S△ABC＝2S△BCE＝2×92＝9．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．
【变式8-1】（2023·上海浦东新·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF//BC，分别交AB、AC于点E、F，若AC=18，则AF= ．
【答案】12
【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：AFAC=AGAD=2DG3DG=23，根据AC=18，求出AF即可解决问题．
【详解】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，
∴AFAC=AGAD=2DG3DG=23，
∵AC=18，
∴AF=12．
故答案为12．
【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么GFBC的值是 ．
【答案】13
【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴AGGD=21，
∵GF∥BC，
∴GFDC=AGAD＝23，
∵DC＝12BC，
∴GFBC=13，
故答案为：13
【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系．
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（ ）
A．2B．2．5C．3D．4
【答案】A
【分析】连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，由题意易得ED∥BC，ED=12BC，PQ∥ED，PQ=13ED，进而可求解．
【详解】解：连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，如图所示：
∵G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，
∴AE=BE，AD=DC，
∴ED∥BC，ED=12BC，
又∵P,Q分别是△BCE和△BCD的重心，
∴EPPF=DQQF=2，
∴PQ∥ED，PQ=13ED，
∴PQ=13×12BC=16BC，
∵BC=12
∴PQ=2
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键．
【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】
【例9】（2023春·河南郑州·九年级统考期中）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是 ．
【答案】6:5
【分析】作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图所示，作FN∥AD，交AB与N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=32a，
∴FM=52a，
∵AE∥FM，
∴AGGF=AEFM=3a52a=65，
故答案为：6:5．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB//CD，AD,BC交于点O，则AODO=BOCO．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC，求AC的长．
【答案】3
【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到BDDC＝ADDE，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可．
【详解】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，
则BDDC＝ADDE，又BD＝2DC，
∴ADDE=2
∵AD＝2，
∴DE＝1，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，
∴∠ACE＝∠E＝75°，
∴AC＝AE＝AD + DE =3．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，恰当作辅助线，正确运用定理找准对应关系，列出比例式求值是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·陕西西安·九年级校考期末）如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ．
【答案】8:5
【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到DFCE=BDBC=25，则CE=52DF，由DF∥AE得到DFAE=DGAG=DFAE=14，则AE=4DF，然后计算AEEC的值．
【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴DFCE=BDBC，
而BD：DC=2：3，
∴DFCE=25，则CE=52DF，
∵DF∥AE，
∴DFAE=DGAG，
∵AG：GD=4：1，
∴DFAE=14，则AE=4DF，
∴AEEC=4DF52DF=85．
故答案为85．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
【变式9-3】（2023春·广东深圳·九年级深圳市南山外国语学校校联考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=14AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是 ．
【答案】34
【分析】过点P作PE//AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB=PE，再证△PCE≌△PDB，可得BD=CE，再利用平行线分线段成比例得PAAB=CEBC，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．
【详解】如图：过点P作PE//AC交DC延长线于点E，
∵AB=AC∴∠B=∠ACB
∵AC//PE∴∠ACB=∠E∴∠B=∠E∴PB=PE∵PC=PD∴∠PDC=∠PCD∴∠BPD=∠EPC
∴在△PCE和△PDB中
PC=PD∠EPC=∠BPDPE=PB
∴△PCE≌△PDB
∴BD=CE
∵AC//PE∴PAAB=CEBC
∵PA=14AB
∴CEBC=14
∴BDBC=14
∴CDBC=34
故答案为：34．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式．
【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】
【例10】（2023春·四川达州·九年级校考期末）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则BFEF的值是（ ）
A．2-1B．2+2C．2+1D．2
【答案】C
【详解】解：作FG⊥AB于点G，
由AE∥FG，得BFEF=BGGA，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ACB的平分线，
∴FG=CF，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
BF=BFFG=CF
∴Rt△BGF≌Rt△BCF，
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=2BC，
∴BFEF=BGGA=BC2BC-BC=12-1=2+1．
故选：C．
【点睛】考点：1、平行线分线段成比例，2、全等三角形及角平分线
【变式10-1】（2023春·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．
(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；
(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
【答案】(1)∠BAE=∠CAD，BE+MD=BM，理由见解析
(2)NE=ND，理由见解析
【分析】（1）证明△AEB≌△ADC，得到CD=BE，即可得到结论BE+MD=BM；
（2）过点E作EH⊥AB，交BC于点H，可证BE=BH，再证MN∥EH，得到DNNE=DMMH=1，即可得到NE=ND．
【详解】（1）解：由旋转得，AD=AE,∠DAE=∠BAC=α，
∴∠DAC=∠BAE=α-∠DAB，
又∵AB=AC，
∴△AEB≌△ADC，
∴CD=BE，
∵CD+MD=BM，
∴BE+MD=BM；
（2）NE=ND，理由如下：
过点E作EH⊥AB，交BC于点H，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABE=∠ABC，
∵EH⊥AB，
∴∠BEH=∠BHE，
∴BE=BH，
∴CD=BH，
∴MD=MH，
∵MN⊥AB，EH⊥AB，
∴MN∥EH，
∴DNNE=DMMH=1，
∴NE=ND．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作EH⊥AB证明三角形全等是解题的关键．
【变式10-2】（2023春·山西太原·九年级统考期中）已知△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交CD于点F．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若AC=BC=1，则CF的长为 ．
B．如图2，若AC=4,BC=3，则DF的长为 ．
【答案】见解析
【分析】选择A题，过点F作FG⊥AC，垂足为G，设FG=FD=CG=x，利用△AFD≌△AFG，得到AD=AG，计算即可．
选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，设CE=EM=x，利用勾股定理，求得AB，根据三角形的面积求得CD，继而求得AD，根据DF∥EM，计算即可．
【详解】选择A题，
如图1，过点F作FG⊥AC，垂足为G，
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，AC=BC=1，
∴∠FCG=∠GFC=45°，AB=2，AD=DB=22，
∴CG=FG，
∵AE平分∠BAC，
∴FG=FD，
设FG=FD=CG=x，
∵AF=AF，
∴△AFD≌△AFG，
∴AD=AG，
∵AC=BC=1，
∴AG=1-x，
∴22=1-x，
解得x=1-22，
∴CF=2x=2-1，
故答案为：2-1．
选择B题，过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=32+42=5，
∴12×3×4=12×5×CD，
解得CD=125，
∴AD=42-(125)2=42-(125)2=165，
∵AE平分∠BAC，
∴EC=EM，
∵AE=AE，
∴△AEC≌△AEM，
∴AC=AM=4，MB=AB-AM=5-4=1,
设CE=EM=y，
则EB=3-y，
在直角三角形EMB中，
(3-y)2=1+y2，
解得y=43，
∵DF∥EM，
∴DFEM=ADAM，
∴DF43=1654，
解得DF=1615，
故答案为：1615．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·上海·九年级校考期中）如图，梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90∘,tanC=43,AB=BC，点E在边CD上，把△BCE绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果EF//BC，那么DE:CE的值是 ．
【答案】34
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转的性质可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，设EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行线分线段成比例可求DE：CE的值．
【详解】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
∵旋转，
∴BF＝BE，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°，
∵EF∥BC
∴∠BEF＝∠EBC＝45°
∵EH⊥BC
∴∠EBC＝∠BEH＝45°，
∴BH＝EH，
∵tanC=43=EHHC，
∴设EH＝4a，HC＝3a，
∴BH＝4a，
∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC
∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB＝DG＝7a，
∵EH∥DG
∴ECCD=EHDG=47，
∴DECE=34，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE:AD=1:5，BE的延长线交AC于点F．
求AFCF的值．
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作DH∥BF交AC于点H．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC．
∵DH∥BF，
∴FHCH=BDCD，
∴CH=FH．
∵EF∥DH，
…