专题14.5 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

这是一份专题14.5 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），共5页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4246" 【典型例题】 PAGEREF _Tc4246 \h 1
\l "_Tc6908" 【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】 PAGEREF _Tc6908 \h 1
\l "_Tc11039" 【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 PAGEREF _Tc11039 \h 2
\l "_Tc18915" 【类型三 十字相乘法因式分解】 PAGEREF _Tc18915 \h 4
\l "_Tc10362" 【类型四 分组分解法因式分解】 PAGEREF _Tc10362 \h 9
\l "_Tc8895" 【类型五 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc8895 \h 14
\l "_Tc24002" 【过关检测】 PAGEREF _Tc24002 \h 17
【典型例题】
【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】
例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式：．
【答案】
【分析】提公因式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：．
【答案】
【分析】分别运用提公因式，公式法进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的相关知识．灵活运用提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．解题时注意，分解一定要彻底，这是易错点．
2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式：．
【答案】
【分析】先变形，再提取公因式，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】
例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式：
(1)；(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用平方差公式分解即可．
（2）先提取公因式，后套用公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式，提取公因式，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的基本步骤和方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查因式分解，能够综合运用提取公因式法和公式法是解题的关键．
2．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解：
(1)；(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【类型三 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．
第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；
第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为；②的系数为；
③的系数为；④的系数为．
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
问题：
(1)分解因式：；
①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；
(2)分解因式：．
①完善横线上的数字；

②分解因式：________．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①见解析；②
【分析】（1）（2）①根据“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数填写横线上的数；②根据所填数字，仿照材料分解即可．
【详解】（1）解：① ；
②；
（2）① ；
②．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是读懂材料，理解十字相乘法的计算方法．
【变式训练】
1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解
例如：求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解；
（2）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∴
（2）解：如图，
∴．
【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步骤是解题的关键．
2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：，
例如：分解因式，，，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于，
得到，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)先分解因式，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)，45
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．
【详解】（1）解：；
（2）
当时，原式．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．
第一步：二次项；
第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．
即．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；
(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．
【答案】(1)
(2)图见解析，，，，16
【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；
（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．
【详解】（1）解：，常数项，
，
，
故答案为：；
（2）解：，常数项，
画“十字图”如下：

，，，16．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．
4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：（1）；（2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据进行解答即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．
【类型四 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式．
解：添加两项．
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式；
(3)分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因；
（2）根据例题用拆项补项法分解因；
（3）根据例题用拆项补项法分解因；
【详解】（1）解：
；
（2）
（3）
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：．
【答案】(1)）；
(2)；
(3)．
【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
=；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
2．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1） （2）
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）
分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．
解：
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．
解：
探究2：分解因式：（2）
分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．
解：
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
【拓展提升】：
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式后再利用平方差公式继续分解；
（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；
（3）把15分解成，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．
【类型五 因式分解的应用】
例题：（2023秋·广东深圳·九年级校考开学考试）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．中华游C．爱我中华D．美我中华
【答案】C
【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．
【详解】解：原式
由条件可知，可表示为“爱我中华”，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．
【变式训练】
1．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）已知正方形的边长为b，正方形的边长为．如图1，点H与点A重合，点E在边上，点G在边上，记阴影部分的面积为；如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在和上，记阴影部分面积为和． 若，，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】先表示出和的面积，进而求出a和b的值，再根据表示边长为的正方形的面积，即可求解；
【详解】∵的面积等于正方形面积-正方形面积，是边长为的正方形的面积，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
解，得，，
∵S3表示边长为的正方形的面积，
∴；
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，掌握割补法求图形面积的方法是解决（1）的关键；解（2）的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
2．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，
【答案】(1)
(2)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．
【详解】（1）
；
（2）是等腰三角形．理由如下：
，
，
，，是的三边，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．
3．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题：

(1)写出图2中所表示的数学等式：___________．
(2)利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知，，求的值．
(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为．
【答案】(1)=
(2)45
(3)见解析
【分析】（1）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于边长为的正方形即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，将原式变形，进而求出答案；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为，宽为的矩形面积；
【详解】（1）由拼图面积可得：；
（2），，
；
（3）如图所示，所拼出的几何图形的面积为：

【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题，利用因式分解解决证明问题，利用因式分解简化计算问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·重庆·八年级重庆市南坪中学校校联考期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解．
【详解】解：、不是因式分解，不符合题意；
、不是因式分解，不符合题意；
、等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
、是因式分解，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键，尤其需要主要的是选项中是积的关系，但不是整式，不属于因式分解．
2．（2023春·湖南株洲·七年级校考期中）分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
故选：D
【点睛】此题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的有关方法．
3．（2023秋·八年级课时练习）已知a，b，c是的三边长，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】由因式分解，可知，可得，因而可判断的形状．
【详解】解析：∵，
∴，
∴．
∵a，b，c是的三边长，
∴，∴，
∴，
即的是等腰三角形．
【点睛】题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
4．（2023秋·八年级课时练习）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，一，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱一中C．我爱一中D．一中数学
【答案】C
【分析】根据提公因式和平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴这几个字分别为：中，爱，我，一，即我爱一中．
故选C．
【点睛】本题考查因式分解．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
二、填空题
5．（2023秋·云南红河·八年级统考期末）因式分解：=．
【答案】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是综合运用提公因式法和公式法．
6．（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考开学考试）分解因式：．
【答案】
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2023秋·九年级课时练习）若实数，满足，则的值为．
【答案】或1
【分析】将看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：或，
故答案为：或1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，将x＋y看作一个整体是解本题的关键．
8．（2023秋·八年级课时练习）已知的三边长a，b，c满足，则的形状为．
【答案】等腰三角形
【分析】将进行因式分解，转化为，进而得到，即可得出结论．
【详解】解析：∵，
∴，
∴．
∵a，b，c是的三边长，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用，正确的进行因式分解，是解题的关键．
三、解答题
9．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）利用十字相乘法进行因式分解；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，，，
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法是解题的关键．
10．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式
．
（3）原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
11．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：
(1)（添项）；
(2)（拆项）；
(3)（换元）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）原式
．
（2）方法一：原式
．
方法二：原式
．
（3）设，
则原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
12．（2023秋·八年级课时练习）用十字相乘法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
（3）原式
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
13．（2023秋·八年级课时练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
．
像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
阅读以上材料，解决下列问题．
(1)分解因式：．
(2)当a为何值时，二次三项式取得最小值．
【答案】(1)
(2)时，二次三项式取得最小值，最小值为1
【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法求最值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）∵，
又，
∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为1．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握配方法，是解题的关键．
14．（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分组，提公因式分解；
（2）分组，分别运用平方差公式，提公因式法分解；
（3）运用整式乘法法则变形，再运用平方差公式展开，进一步化简．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题考查分组分解法，提公因式法，公式法因式分解；根据代数式具体情况合理分组是解题的关键．
15．（2023秋·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由得，；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子分解因式．
分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给材料信息即可求解；
（2）先将看作一个整体进行因式分解，随后再对每一个因式进一步分解即可；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：原式
（3）解：若可分解为两个一次因式的积
则整数p的所有可能值是
故答案为：．
【点睛】本题以材料题为背景，考查了十字相乘法．掌握相关分解方法及原理是解题关键．
16．（2023春·江西九江·八年级校考期中）某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式
．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰三角形；理由见解析
【分析】（1）将和一组，和一组，分别提取公因式，再提取公因式即完成因式分解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（3）先对进行因式分解，得到，根据三角形的任意两边之和大于第三边得到，从而得到，从而证得是等腰三角形．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：是等腰三角形；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，即，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式、完全平方公式等方法．