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专题15.1 分式的定义及基本性质之十五大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8445" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8445 \h 1
\l "_Tc23250" 【考点一 分式的判别】 PAGEREF _Tc23250 \h 1
\l "_Tc21250" 【考点二 分式有意义的条件】 PAGEREF _Tc21250 \h 3
\l "_Tc11346" 【考点三 分式无意义的条件】 PAGEREF _Tc11346 \h 3
\l "_Tc498" 【考点四 分式值为零的条件】 PAGEREF _Tc498 \h 4
\l "_Tc9939" 【考点五 分式的值】 PAGEREF _Tc9939 \h 5
\l "_Tc10143" 【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 PAGEREF _Tc10143 \h 7
\l "_Tc29921" 【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc29921 \h 8
\l "_Tc1118" 【考点八 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc1118 \h 9
\l "_Tc32137" 【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc32137 \h 11
\l "_Tc13011" 【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 PAGEREF _Tc13011 \h 12
\l "_Tc10631" 【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc10631 \h 14
\l "_Tc22241" 【考点十二 最简分式】 PAGEREF _Tc22241 \h 16
\l "_Tc23267" 【考点十三 约分】 PAGEREF _Tc23267 \h 17
\l "_Tc10590" 【考点十四 最简公分母】 PAGEREF _Tc10590 \h 19
\l "_Tc29276" 【考点十五 通分】 PAGEREF _Tc29276 \h 20
\l "_Tc28226" 【过关检测】 PAGEREF _Tc28226 \h 22
【典型例题】
【考点一 分式的判别】
例题:(2023秋·河北石家庄·八年级校考阶段练习)下列各式中:,分式的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】根据分式的定义即可答题.
【详解】解:由分式的定义判断,仅有,属于分式,其余各项均不满足分式的定义,所以分式的个数为2个,故B正确.
故选:B.
【点睛】本题主要考查分式的定义:形如(A、表示整式,不为0且含有字母)的式子叫做分式,判断分式的关键是分母中必须含有字母;易错点是是作为具体数值的数字而不作字母,如是整式.
【变式训练】
1.(2023秋·湖南永州·八年级统考阶段练习)下列各式:,,,,,,中,是分式的共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】A
【分析】根据分式的定义:分母中含有字母,进行判断即可.
【详解】解:,,,,,中,是分式的是,,共2个;
故选:A.
【点睛】本题考查分式的判断.熟练掌握分式的定义,是解题的关键.
2.(2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第九中学校考阶段练习)在式子,,,,,,中,分式的个数是( )
A.5B.4C.3D.2
【答案】B
【分析】根据分式的概念“一般地,如果A,B 表示两个整式,并且B中含有字母,那么叫做分式”进行判断即可得.
【详解】解:,,,是分式,有4个,
故选:B.
【点睛】本题考查了分式,解题的关键是掌握分式的概念.
【考点二 分式有意义的条件】
例题:(2023·河南南阳·统考三模)若代数式有意义,则实数x的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可.
【详解】解:依题意得:.
故答案是:.
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键.
【变式训练】
1.(2023·云南昆明·昆明八中校考三模)要使分式有意义,则的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件:分母不为零,即可完成求解.
【详解】∵分式有意义,
∴,解得.
故答案是:.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件,掌握这一条件是解题的关键.
2.(2023·云南楚雄·统考二模)要使分式有意义,则的取值范围为____.
【答案】
【分析】根据分式有意义,分母不等于0列不等式求解即可.
【详解】解:由题意得,,
解得:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念:(1)分式无意义⇔分母为零;(2)分式有意义⇔分母不为零;(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.
【考点三 分式无意义的条件】
例题:(2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模)当x__________时,分式无意义.
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件进行计算即可.
【详解】解:∵分式无意义,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查分式无意义的条件,熟练掌握分式中的分母为0时,分式无意义是解题的关键.
【变式训练】
1.(2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末)当满足条件___________时,分式没有意义.
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解.
【详解】解:由分式没有意义,可得,解得:,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件,熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键.
2.(2023·山东临沂·统考一模)要使分式无意义,则x的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可.
【详解】解:∵分式无意义,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件,熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键.
【考点四 分式值为零的条件】
例题:(2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模)若分式的值为0,则x的值为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零,据此求出x的值即可.
【详解】解:∵分式的值为0,
∴且,
解得:.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件,解答此题的关键是要明确:分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零,注意:“分母不为零”这个条件不能少.
【变式训练】
1.(2023春·广东佛山·八年级校考期中)若分式的值为零,则x的值为( )
A.B.0C.3D.
【答案】D
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案.
【详解】解:由题意可知:
解得:,
故选:D.
【点睛】本题考查分式的值,解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件.
2.(2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习)若分式的值为0,则的取值是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】分式的值为零,分子等于零且分母不等于零,据此解答.
【详解】解:依题意得:且,
解得:,
故选B.
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
【考点五 分式的值】
例题:(2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习)若,则分式__.
【答案】2
【分析】将分式变形为,再把代入计算即可.
【详解】解:,
将代入分式得:
原式
故答案为:2.
【点睛】本题考查了分式的求值,熟练掌握分式的加减法和具备整体代入思想是解题的关键.
【变式训练】
1.(2023春·全国·八年级专题练习)当a=1时,分式的值是______.
【答案】2
【分析】直接把a的值代入计算即可.
【详解】解:当a=1时,
.
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查了分式求值问题,在解题时要根据题意代入计算即可.
2.(2023春·七年级单元测试)已知,则分式的值为______.
【答案】6
【分析】根据求得,然后代入求值即可得解.
【详解】解:∵,
∴,
∴;
故答案为:6.
【点睛】本题考查分式求值,确定a与b的数量关系,掌握分式的约分是解题的关键.
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】
例题:(2023春·江苏·八年级专题练习)若分式的值大于零,则x的取值范围是 ______.
【答案】且
【分析】由已知可得分子x+2>0,再由分式的分母不等于零,得到x﹣1≠0,进而求出x的取值.
【详解】解:∵分式的值大于零,
∴x+2>0,
∴x>﹣2,
∵x﹣1≠0,
∴x≠1,
故答案为x>﹣2且x≠1.
【点睛】本题考查分式的值;熟练掌握分式求值的特点,特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键.
【变式训练】
1.(2023春·江苏·八年级专题练习)若分式的值为负数,x的取值范围是_________.
【答案】且
【分析】由结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得:,再解不等式组从而可得答案.
【详解】解:
由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得:
由①得:
由②得:
所以: x的取值范围是且
故答案为:且
【点睛】本题考查的是分式的值为负数,利用两数相除同号得正,异号得负确定分子或分母的符号是解本题的关键.
2.(2023春·全国·八年级专题练习)已知分式的值是正数,那么的取值范围是_____.
【答案】x>-4且x≠0
【分析】若的值是正数,只有在分子分母同号下才能成立,即x+4>0,且x≠0,因而能求出x的取值范围.
【详解】解:∵>0,
∴x+4>0,x≠0,
∴x>-4且x≠0.
故答案为:x>-4且x≠0.
【点睛】本题考查分式值的正负性问题,若对于分式(b≠0)>0时,说明分子分母同号;分式(b≠0)<0时,分子分母异号,注意此题中的x≠0.
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题:(2023春·七年级单元测试)若表示一个负整数,则整数________.
【答案】或或
【分析】由表示一个负整数,m为整数,可得或或,进而可得答案.
【详解】解:因为表示一个负整数,m为整数,
所以或或,
所以或或;
故答案为:或或.
【点睛】本题考查了分式为整数时相关参数的求解,正确理解题意,得出是4的负约数是解题关键.
【变式训练】
1.(2023春·山西忻州·八年级统考期中)如果m为整数,那么使分式的值为整数的m的值为_______.(写出两个即可)
【答案】0或1(答案不唯一)
【分析】分式,讨论就可以了,即是2的约数即可完成.
【详解】解:∵,
若原分式的值为整数,那么
由得,;
由得,;
由得,;
由得,;
∴或或0或1,
故答案为:0或1(答案不唯一)
【点睛】本题主要考查分式的值,熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键.
2.(2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试)已知的值为正整数,则整数m的值为_________________________.
【答案】7或9
【分析】根据分式的性质即可求出答案.
【详解】解:∵的值为正整数,
∴或3,
∴整数的值为7或9,
故答案为:7或9.
【点睛】本题主要考查分式的值为正整数,分母中的整数字母取值的问题,按照数的整除特点来解题是解答此题的关键.
【考点八 判断分式变形是否正确】
例题:(2023·广东茂名·统考一模)下列等式中正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质,分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数,分式的值不变,逐个判断即可解答.
【详解】解:,故A正确;
与不一定相等,故B错误;
与不一定相等,故C错误;
当时,,故D错误,
故选:A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质,熟知该性质是解题的关键.
【变式训练】
1.(2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试)下列变形正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可.
【详解】解:A、,故本选项变形错误;
B、,故本选项变形正确;
C、,故本选项变形错误;
D、,故本选项变形错误;
故选:B.
【点睛】本题考查了分式的约分,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
2.(2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习)下列变形中,错误的是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】根据分式的性质,逐项分析判断即可求解.
【详解】解:A. ,故该选项正确,符合题意;
B. ,故该选项正确,符合题意;
C. ,故该选项正确,符合题意;
D. ,故该选项不正确,不符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了分式的性质,熟练掌握分式的性质是解题的关键.
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题:(2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习)如果把中x,y的值都扩大2倍,那么这个分式的值( )
A.不变B.缩小到原来的C.扩大4倍D.扩大2倍
【答案】D
【分析】先用代替分式中的x、y进行计算,再比较大小即可.
【详解】解:用代替分式中的x、y得
.
那么这个分式的值扩大2倍.
故选:D.
【点睛】本题考查了分式的基本性质,解题的关键是注意分式的基本性质的使用,以及整体代入.
【变式训练】
1.(2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习)当,时,若、都扩大为原来的10倍,则分式的值( )
A.缩小到原来的B.扩大到原来的10倍
C.缩小到原来的D.扩大到原来的100倍
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质(无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数,分式的值不变)解答.
【详解】解:根据题意,得:
,
即分式的值缩小到原来的,
故选:A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质.解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数,解此类题首先把字母变化后的值代入式子中,然后约分,再与原式比较,最终得出结论.
2.(2023春·江苏宿迁·八年级统考期中)若把分式中的和都扩大2倍,那么分式的值( )
A.不变B.扩大2倍C.缩小为原来值D.缩小为原来值的
【答案】A
【分析】根据题意,分式中的x和y都扩大2倍,则,即可解答.
【详解】解:由题意,分式中的x和y都扩大2倍,
∴,
∴分式的值不变,
故选:A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】
例题:(2023春·浙江·七年级专题练习)不改变分式的值,把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数.
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号,分式的值不变进行变形即可.
【详解】(1)解:原式=;
(2)原式= .
【点睛】本题考查了分式的基本性质,解题的关键是熟练分式的变号法则.
【变式训练】
1.(2023秋·八年级课时练习)不改变分式的值,使下列分式的分子、分母中都不含“”:
(1);(2)(3)(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)利用分式的基本性质解答,即可求解;
(2)利用分式的基本性质解答,即可求解;
(3)利用分式的基本性质解答,即可求解;
(4)利用分式的基本性质解答,即可求解.
【详解】(1)解:
(2)解:
(3)解:
(4)解:
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
2.(2023秋·八年级课时练习)不改变分式的值,使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列,并使分子、分母的最高次项的系数都是正数.
(1);(2)(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用分式的基本性质解答,即可求解;
(2)利用分式的基本性质解答,即可求解;
(3)利用分式的基本性质解答,即可求解.
【详解】(1)解:;
(2)解:;
(3)解:.
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题:(2023秋·八年级单元测试)不改变分式的值,使得分式的分子和分母的各项系数都是整数.
(1)_________;(2)__________;(3)________.
【答案】
【分析】(1)利用分式的基本性质解答,即可求解;
(2)利用分式的基本性质解答,即可求解;
(3)利用分式的基本性质解答,即可求解.
【详解】解:(1);
故答案为:
(2);
故答案为:
(3)
故答案为:
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
【变式训练】
1.(2023春·江苏·八年级期中)不改变分式的值,把分式的分子、分母各项系数都化为整数,得_____.
【答案】
【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数,将分式的分子和分母同乘以10即可.
【详解】
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的基本性质,分式的基本性质是分式约分和通分的依据,熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键.
2.(2023春·全国·八年级专题练习)不改变分式的值,若把其分子与分母中的各项系数都化成整数,其结果为______.
【答案】
【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数,分式的值不变”,分子和分母同时乘以10,即可获得答案.
【详解】解:分式,
分子、分母同时乘以10,
则有原式.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了分式的性质,理解并掌握分式的性质是解题关键.
【考点十二 最简分式】
例题:(2023春·山东济南·八年级统考期中)下列分式是最简分式的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据最简分式的概念:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫最简分式,逐一判断即可.
【详解】解:A、,不是最简分式,不符合题意;
B、,是最简分式,符合题意;
C、,不是最简分式,不符合题意;
D、,不是最简分式,不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题主要考查最简分式的概念,理解最简分式的概念是解题关键.
【变式训练】
1.(2023春·浙江·七年级专题练习)下列等式成立的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】将各选项进行化简判断即可.
【详解】解:A、,故不符合题意;
B、,故不符合题意;
C、,故符合题意;
D、,故不符合题意,
故选:C.
【点睛】题目主要考查分式的化简,熟练掌握运算法则是解题关键.
2.(2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试)下列分式是最简分式的个数为( )
①;②;③;④
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义进行判断即可.
【详解】解:①是最简分式;
②是最简分式;
③,不是最简分式;
④,不是最简分式;
综上分析可知,最简分式有2个,故B正确.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义,解题的关键是熟练掌握最简分式定义,分子、分母中没有公因式的分式是最简分式.
【考点十三 约分】
例题:(2023秋·八年级课时练习)约分:(1)_____________;(2)_____________.
【答案】
【分析】先把分子分母因式分解,然后约分即可求解.
【详解】解:(1);
故答案为:;
(2).
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式的约分化简,首先把分式的分子和分母分解因式,约分化简即可求解.
【变式训练】
1.(2023秋·八年级课时练习)已知,则_____________,_____________.
【答案】 5/0.4
【分析】根据得出,把代入求解即可.
【详解】解:∵,
∴,
把代入,
把代入,
故答案为:5,.
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质,解题的关键是根据题意得出,以及掌握分式的约分.
2.(2023春·浙江·七年级专题练习)约分:
(1)___________;
(2)___________;
(3)___________.
【答案】
【分析】(1)找出分子分母的公因式,利用分式的基本性质约分即可;
(2)分子分母分解因式后,找出分子分母的公因式,利用分式的基本性质约分即可;
(3)分子分母分解因式后,找出分子分母的公因式,利用分式的基本性质约分即可.
【详解】解:(1);
故答案为:
(2);
故答案为:
(3)
故答案为:
【点睛】本题考查了约分,约分的关键是找出分式分子分母的公因式.
【考点十四 最简公分母】
例题:(2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中)分式与的最简公分母是______.
【答案】
【分析】先将分式的分母进行因式分解,然后根据最简公分母的定义即可得出结论.
【详解】∵,
∴分式与的最简公分母是.
故答案是.
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义,熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键.
【变式训练】
1.(2023春·浙江·七年级专题练习)分式,,的最简公分母是_______.
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义即可解答.
【详解】解:分式、、的最简公分母是.
故答案为:.
【点睛】本题考查了最简公分母,最简公分母的找法为:数字取最小公倍数,相同字母取最高次幂,只在一个分母中出现的字母,连同它的指数作为最简公分母的一个因式.
2.(2023春·江苏·八年级校考周测)的最简公分母是_________
【答案】
【分析】三个分式的分母均为多项式,故先将各个分母因式分解,然后再结合最简公分母的知识进行求解即可.
【详解】解:的最简公分母是.
故答案为:.
【点睛】本题考查的是最简公分母的概念,取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.
【考点十五 通分】
例题:(2023春·浙江·七年级专题练习)通分:
(1)与;(2)与.
【答案】(1),
(2),
【分析】先确定分式的最简公分母,再通分即可.
【详解】(1)解:∵与的最简公分母是,
∴=,=;
(2)解:∵与的最简公分母是,
∴=,=.
【点睛】本题考查的是分式的通分,解题的关键是确定最简公分母.
【变式训练】
1.(2023春·全国·八年级专题练习)通分:
(1),(2),.
【答案】(1)和
(2)和
【分析】(1)(2)最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积.依此即可求解.
【详解】(1)∵两个分式分母分别为,未知数系数的最小公倍数为,
∵a,b,c的最高次数为2,2,1,
∴最简公分母为,
将,通分可得:和;
(2),
∴最简公分母是,
,
.
【点睛】本题考查了通分,规律方法总结:通分时若各分式的分母还能分解因式,一定要分解因式,然后再去找各分母的最简公分母,最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数,因式为各分母中相同因式的最高次幂,各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式,要防止遗漏因式.
2.(2023秋·八年级课时练习)通分:
(1)与;(2),,;
(3),,;(4),.
【答案】(1),
(2),,
(3),,
(4),
【分析】(1)根据分式的基本性质,进行通分,即可求解;
(2)根据分式的基本性质,进行通分,即可求解;
(3)根据分式的基本性质,进行通分,即可求解;
(4)根据分式的基本性质,进行通分,即可求解;
【详解】(1)解:,.
(2)解:,
,
.
(3)解:,
,
.
(4)解:,
【点睛】本题主要考查了分式的通分,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
【过关检测】
一、单选题
1.(2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习)使分式 有意义的条件是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件“分母不能为零”,不等式的性质即可求解.
【详解】解:分式 有意义,
∴,解得,,
故选:.
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件,不等式的性质的综合,掌握分式有意义的条件是分母不能为零是解题的关键.
2.(2023秋·湖南岳阳·八年级校考阶段练习)在、、、中,分式的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
【详解】解:,分母中含有字母,是分式,
所以分式有2个.
故选:B.
【点睛】本题主要考查分式的定义,解答此题的关键只要是分母中含有字母的式子即为分式.
3.(2023秋·湖南岳阳·八年级校考阶段练习)将分式中的x、y的值同时扩大为原来的3倍,则分式的值( )
A.扩大为原来的3倍B.缩小到原来的C.保持不变D.缩小到原来的
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质,即可求解.
【详解】解:∵将分式中的x、y的值同时扩大为原来的3倍为.
∴分式的值缩小到原来的.
故选:B
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
4.(2023秋·湖南永州·八年级统考阶段练习)下列式子从左到右变形正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质,逐一进行判断即可.
【详解】解:A、,选项错误;
B、,选项正确;
C、,选项错误;
D、,选项错误.
故选:B.
【点睛】本题考查分式的基本性质,熟练掌握分式的分子和分母同乘(除以)同一个不为0的整式,分式的值不变,是解题的关键.
5.(2023秋·湖南永州·八年级统考阶段练习)若分式的值为0,则的取值是( )
A.2B.2或C.D.0
【答案】C
【分析】根据分式的值为0的条件可得,,再计算求解即可.
【详解】解:∵分式的值为0,
∴,即且,
∴,即,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查分式的值为0的条件,熟练掌握分式的值为0时,分子为0,分母不为0是解题的关键.
二、填空题
6.(2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第九中学校考阶段练习)化简:.
【答案】
【分析】把原式的分子与分母约去公因式即可得到答案.
【详解】.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了分式的约分,正确找出分子和分母的公因式是解本题的关键.
7.(2023秋·山东东营·八年级校考阶段练习)分式的最简公分母是.
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定;(3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.
【详解】解:,
故的最简公分母为:.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义:取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.
8.(2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习)使分式的各字母系数都变成整数,其结果是.
【答案】
【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数,同时不改变分式的值,可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数.观察该题,可同乘以10.
【详解】解:要想将分式分母各项系数都化为整数,可将分式分母同乘以10,
即.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质,解题的关键是熟记分式的基本性质.
9.(2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习)已知时,分式无意义;时,分式的值为0,则.
【答案】6
【分析】根据分式无意义的条件可得,再根据分式的值为0的条件可得,,即可求解.
【详解】解:∵时,分式无意义;
∴,
∴,
∵时,分式的值为0,
∴,,
∴,
∴.
故答案为:6
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件和分式的值为0的条件,熟练掌握分式无意义的条件和分式的值为0的条件是解题的关键.
10.(2023秋·八年级课时练习)若x取整数,则使分式的值为整数的x的值有个.
【答案】4
【分析】先将假分式分离可得出,根据题意只需是6的整数约数即可.
【详解】解:
由题意可知,是6的整数约数,
∴
解得:,
其中x的值为整数有:共4个.
故答案为:4.
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件,分离假分式是解此题的关键,通过分离假分式得到,从而使问题简单.
三、解答题
11.(2023秋·八年级课时练习)通分:
(1)与;(2)与.
【答案】(1),
(2),
【分析】(1)最简公分母是,通分即可;
(2)先把每个分母因式分解,最简公分母是,通分即可.
【详解】(1)解:最简公分母是,
,
;
(2)解:最简公分母是,
,
.
【点睛】本题考查了分式的通分,解题关键是找准最简公分母.
12.(2023秋·八年级课时练习)不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数.
(1);(2).
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)把分式的分子、分母同时乘以10即可得出结论;
(2)把分式的分子、分母同时乘以30即可得出结论.
【详解】(1)解:原式
.
(2)解:原式
.
【点睛】本题考查分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
13.(2023秋·八年级课时练习)约分:
(1);(2);(3);(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】找到分子和分母的公因式,然后约分即可得到答案.
【详解】(1)解:;
(2)解:;
(3)解:;
(4)解:.
【点睛】本题主要考查了分式的约分,正确找到对应分子和分母的公因式是解题的关键.
14.(2023秋·八年级课时练习)对于分式:
(1)如果,那么y取何值时,分式无意义?
(2)如果,那么x取何值时,分式无意义?
(3)使分式无意义的x,y有多少对?
(4)要使得分式有意义,x,y应有什么关系?
(5)如果,那么y取什么值时,分式的值为零?
【答案】(1)
(2)
(3)无数对
(4)
(5)
【分析】(1)根据分式无意义的条件可得,再把代入可得的值;
(2)根据分式无意义的条件可得,再把代入可得的值;
(3)根据分式值为零的条件可得当;
(4)时,即时,分式有意义;
(5)且,即时,分式的值为零.
【详解】(1)解:当时,分式无意义,把代入可得,分式无意义;
(2)当时,分式无意义,把代入可得当,即时,分式无意义;
(3)当,即时,分式无意义,分式无意义的,有无数对;
(4)当时,即时,分式有意义;
(5)且时,分式值为0,把代入,当且,即时,分式的值为零.
【点睛】此题主要考查了分式无意义,分式值为零,分式的值的条件,关键是注意分式有意义,分母.
15.(2023春·甘肃兰州·八年级校联考期末)阅读下列材料:通过小学的学习我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可以化为带分数,如:.我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”. ,这样的分式就是假分式;再如:这样的分式就是真分式.类似的,假分式也可以化为带分式(即:整式与真分式的和的形式),如:;
解决下列问题:
(1)分式 是________________(填“真分式”或“假分式”);
(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式: =____________;
(3)若假分式的值为正整数,则整数的值为________________;
(4)将假分式化为带分式(写出完整过程).
【答案】(1)真分式
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)根据定义即可求出答案;
(2)根据定义进行化简即可得到答案;
(3)根据题意列出方程即可求出的值;
(4)先化为,在计算即可.
【详解】(1)解:由题意得:
分式 是真分式,
故答案为:真分式;
(2)解:根据题意可得:
,
故答案为:;
(3)解:由(2)可得:,
当为正整数时,
或,
,
故答案为:;
(4)解:根据题意可得:
.
【点睛】本题主要考查分式和新定义问题,解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算,本题属于中等题型.
16.(2023春·江苏常州·八年级统考期末)《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂:从部分到整体,由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法,在处理分数和分式的问题时,有时我们可以将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式,继而解决问题,我们称这种方法为分离常数法.
示例:将分式分离常数.
(1)示例中,______;
(2)参考示例方法,将分式分离常数;
(3)探究函数的性质:
①x的取值范围是______,y的取值范围是______;
②当x变化时,y的变化规律是______;
③如果某个点的横、级坐标均为整数,那么称这个点为“整数点”.求函数图像上所有“整数点”的坐标.
【答案】(1)1
(2)
(3)①,;②当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而减小;③所有“整数点”的坐标为、、、
【分析】(1)根据分式的值不变原则,即可求解 ;(2)根据示例给出的方法,即可求解;(3)①根据分式有意义的条件,可得x的取值范围;根据x,y的关系可得y的取值范围;②由函数解析式即可求解;③抓住“当y为整数时,为整数”,即可求解.
【详解】(1)解:
故
(2)解:.
(3)解:①由(2)得:
,
故:,.
②当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而减小.
③当y为整数时,为整数,此时整数x取-4、-3、-1、0.
∴所有“整数点”的坐标为、、、.
【点睛】本题以分式为背景,考查了分式的变形:分离常数.进而初步考查了“分式型”函数的相关性质.从题目中提炼信息是解题的关键.
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