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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式优秀课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式优秀课件ppt，共5页。PPT课件主要包含了学习目标等内容，欢迎下载使用。
理解并掌握条件概率公式
能利用条件概率公式计算相关问题
回顾1 什么是古典概型？我们是怎么计算古典概型的概率？
(1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2) 等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
回顾2 什么是积事件？
事件A与事件B同时发生
回顾3 什么是相互独立事件？怎么理解相互独立事件？
对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
例如 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？
解：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点.
其中：A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}
由古典概型概率计算公式，
P(AB)=P(A)P(B)
通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．
思考：如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？
（事件A与B不独立， 就是指其中一个事件发生的概率会受到另一个事件发生的概率的影响）。
下面我们从具体问题入手.
问题1 某个班级有 45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如右表所示.
在班级里随机选择一人做代表.(1) 选到男生的概率是多少?(2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?
问题1 某个班级有 45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如右表所示.
解：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.
设事件A=“选到团员”，事件B=“选到男生” ，根据表中的数据可得
n(Ω)=45, n(A)=30, n(B)=25.
(1)根据古典概型知识可知, 选到男生的概率
此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知，
(2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A) .
思考：此时的样本空间还是Ω么？
问题2 某个家庭有2个孩子，问：(1)两个孩子都是女孩的概率？(2)如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？
用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω＝{bb,bg,gb,gg}，且所有样本点是等可能的.
设事件A=“选择的家庭中有女孩”， 事件B=“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则
A＝{gg,bg,gb}，B＝{gg}.
(1)根据古典概型知识可知, 该家庭中两个都是女孩的概率为
(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A) .
此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是
思考：上面两个问题有什么共同点？
这个结论对于一般的古典概型仍然成立.
事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间. 此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即
为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为Ω，则有
∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过 来计算.
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称
条件概率的判断： (1)当题目中出现“在……条件下”等字眼，一般为条件概率; (2)当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率.
思考：什么样的概率问题属于条件概率?
条件概率与事件相互独立性的关系
思考 P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么?
思考 P(B|A)和P(AB)的联系与区别是什么?
联系：事件A, B都发生了.区别：(1)在P(B|A)中，事件A, B发生有时间上的差异，A先B后； 在P(AB)中，事件A, B同时发生. (2)样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间； 在P(AB)中，样本空间仍为Ω. 因此有P(B|A)≥P(AB).
关键分清先发生事件和后发生事件
问题3 在问题1和问题2中，都有P(B|A) ≠ P(B). 一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件?
直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)＝P(B)成立. 事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则
反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则
即事件A与B相互独立.
条件概率与事件独立性的关系：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).
问题4 对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)呢？
对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，
由条件概率 , 可得：
我们称上式为概率的乘法公式.
注意： 0≤P(B|A)≤1.
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求: (1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
分析： 如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率。
思路1: 先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率，即
思路2: 先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率，即
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求：(1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
解：设事件A= “第1次抽到代数题”,事件 B= “第2次抽到几何题”.
“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.
（1）从5道试题中每次不放回地随机抽取2道, 试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点, 即
(2) “在第1次抽到代数题的条件下, 第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下, 事件B发生的概率,
（在缩小的样本空间A上求P(B|A)）.
已知第1次抽到代数题, 这时还余下4道试题, 其中代数题和几何题各2道.
因此, 事件A发生的条件下, 事件B发生的概率为
又P(A)= , 利用乘法公式可得
从例1可知，求条件概率有两种方法：
方法一：基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式 求 ；
注意：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数.
解题步骤：（1）把问题涉及的事件用A,B表示, （2）根据已知条件求出P(A),P(B),P(AB),或n(A),n(B),n(AB), （3）根据条件概率公式求出P(B|A)或P(A|B).
(2)如果B和C是两个互斥事件， 则P(BUC |A)=P(B | A)+P(C | A)；
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)=1；
求复杂事件的概率常分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和的概率。
例2 已知3张奖券中只有1张有奖, 甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?
分析：要知中奖概率是否与抽奖次序有关, 只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等. 因为只有1张奖券有奖，所以 “乙中奖”等价于 “甲没中奖且乙中奖”, “丙中奖”等价于 “甲和乙都没中奖”, 利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则
甲不中的条件下, 还剩2张奖券, 所以乙中与不中都是 .
因为P(A)=P(B)=P(C), 所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
在抽奖问题中，无论是放回还是不放回地随机抽取，中奖的概率都与次序无关
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求: (1) 任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2) 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
分析: 最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解.
解：(1)设Ai= “第i次按对密码”(i=1, 2), 则事件A= “不超过2次就按对”可表示为
事件A1与 A2互斥, 由概率的加法公式及乘法公式, 得
(2)设B= “密码的最后1位数字是偶数”, 则
P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)
2. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.
设“第1次抽到A牌”为事件A, “第2次抽到A牌”为事件B，则“第1次和第2次都抽到A牌”为事件AB.
方法1:在第1次抽到A牌的条件下,扑克牌中还剩下51张牌,其中有3张A牌,所以在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率是P(B|A)=
方法2:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为
方法3:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为
3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球. 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 求: (1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2) 两次都摸到白球的概率.
设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，则
1. 条件概率(P(A)>0)
(0≤P(B|A)≤1)
3. 概率的性质(P(A)>0)
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件, 则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
P(AB) = P(A) P(B|A).
2. 概率的乘法公式(P(A)>0)
4.求条件概率的两种方法：
方法一：公式法；方法二：缩小样本空间法.
注意顺序！先发生的事件，写在前面
理解并掌握条件概率公式
能利用条件概率公式计算相关问题
回顾1 什么是古典概型？我们是怎么计算古典概型的概率？
(1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2) 等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
回顾2 什么是积事件？
事件A与事件B同时发生
回顾3 什么是相互独立事件？怎么理解相互独立事件？
对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
例如 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？
解：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点.
其中：A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}
由古典概型概率计算公式，
P(AB)=P(A)P(B)
通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．
思考：如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？
（事件A与B不独立， 就是指其中一个事件发生的概率会受到另一个事件发生的概率的影响）。
下面我们从具体问题入手.
问题1 某个班级有 45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如右表所示.
在班级里随机选择一人做代表.(1) 选到男生的概率是多少?(2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?
问题1 某个班级有 45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如右表所示.
解：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.
设事件A=“选到团员”，事件B=“选到男生” ，根据表中的数据可得
n(Ω)=45, n(A)=30, n(B)=25.
(1)根据古典概型知识可知, 选到男生的概率
此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知，
(2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A) .
思考：此时的样本空间还是Ω么？
问题2 某个家庭有2个孩子，问：(1)两个孩子都是女孩的概率？(2)如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？
用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω＝{bb,bg,gb,gg}，且所有样本点是等可能的.
设事件A=“选择的家庭中有女孩”， 事件B=“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则
A＝{gg,bg,gb}，B＝{gg}.
(1)根据古典概型知识可知, 该家庭中两个都是女孩的概率为
(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A) .
此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是
思考：上面两个问题有什么共同点？
这个结论对于一般的古典概型仍然成立.
事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间. 此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即
为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为Ω，则有
∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过 来计算.
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称
条件概率的判断： (1)当题目中出现“在……条件下”等字眼，一般为条件概率; (2)当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率.
思考：什么样的概率问题属于条件概率?
条件概率与事件相互独立性的关系
思考 P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么?
思考 P(B|A)和P(AB)的联系与区别是什么?
联系：事件A, B都发生了.区别：(1)在P(B|A)中，事件A, B发生有时间上的差异，A先B后； 在P(AB)中，事件A, B同时发生. (2)样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间； 在P(AB)中，样本空间仍为Ω. 因此有P(B|A)≥P(AB).
关键分清先发生事件和后发生事件
问题3 在问题1和问题2中，都有P(B|A) ≠ P(B). 一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件?
直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)＝P(B)成立. 事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则
反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则
即事件A与B相互独立.
条件概率与事件独立性的关系：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).
问题4 对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)呢？
对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，
由条件概率 , 可得：
我们称上式为概率的乘法公式.
注意： 0≤P(B|A)≤1.
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求: (1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
分析： 如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率。
思路1: 先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率，即
思路2: 先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率，即
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求：(1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
解：设事件A= “第1次抽到代数题”,事件 B= “第2次抽到几何题”.
“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.
（1）从5道试题中每次不放回地随机抽取2道, 试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点, 即
(2) “在第1次抽到代数题的条件下, 第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下, 事件B发生的概率,
（在缩小的样本空间A上求P(B|A)）.
已知第1次抽到代数题, 这时还余下4道试题, 其中代数题和几何题各2道.
因此, 事件A发生的条件下, 事件B发生的概率为
又P(A)= , 利用乘法公式可得
从例1可知，求条件概率有两种方法：
方法一：基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式 求 ；
注意：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数.
解题步骤：（1）把问题涉及的事件用A,B表示, （2）根据已知条件求出P(A),P(B),P(AB),或n(A),n(B),n(AB), （3）根据条件概率公式求出P(B|A)或P(A|B).
(2)如果B和C是两个互斥事件， 则P(BUC |A)=P(B | A)+P(C | A)；
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)=1；
求复杂事件的概率常分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和的概率。
例2 已知3张奖券中只有1张有奖, 甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?
分析：要知中奖概率是否与抽奖次序有关, 只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等. 因为只有1张奖券有奖，所以 “乙中奖”等价于 “甲没中奖且乙中奖”, “丙中奖”等价于 “甲和乙都没中奖”, 利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则
甲不中的条件下, 还剩2张奖券, 所以乙中与不中都是 .
因为P(A)=P(B)=P(C), 所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
在抽奖问题中，无论是放回还是不放回地随机抽取，中奖的概率都与次序无关
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求: (1) 任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2) 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
分析: 最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解.
解：(1)设Ai= “第i次按对密码”(i=1, 2), 则事件A= “不超过2次就按对”可表示为
事件A1与 A2互斥, 由概率的加法公式及乘法公式, 得
(2)设B= “密码的最后1位数字是偶数”, 则
P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)
2. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.
设“第1次抽到A牌”为事件A, “第2次抽到A牌”为事件B，则“第1次和第2次都抽到A牌”为事件AB.
方法1:在第1次抽到A牌的条件下,扑克牌中还剩下51张牌,其中有3张A牌,所以在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率是P(B|A)=
方法2:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为
方法3:在第1次抽到A牌的条件下第2次也抽到A牌的概率为
3. 袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球. 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 求: (1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2) 两次都摸到白球的概率.
设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，则
1. 条件概率(P(A)>0)
(0≤P(B|A)≤1)
3. 概率的性质(P(A)>0)
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件, 则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
P(AB) = P(A) P(B|A).
2. 概率的乘法公式(P(A)>0)
4.求条件概率的两种方法：
方法一：公式法；方法二：缩小样本空间法.
注意顺序！先发生的事件，写在前面
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