高中人教版 (2019)1 圆周运动一课一练

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合格考过关检验
一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)
1.在光滑水平面上,有一转轴垂直于此平面,交点O的上方h处固定一细绳的一端A,绳的另一端B固定一质量为m的小球,绳长lAB=l>h,如图所示。要使球不离开水平面,转轴的转速最大值是( )
A.
B.π
C.
D.2π
答案:A
解析:以小球为研究对象,小球受三个力作用,分别为重力mg、水平面支持力FN、绳子拉力FT。设细绳与转轴的夹角为θ。在竖直方向合力为零,在水平方向所需向心力为mω2R,而R=htanθ,得FTcsθ+FN=mg,FTsinθ=4π2mn2R=4π2mn2htanθ。当球即将离开水平面时FN=0,转速n有最大值。FN=mg-4π2mh=0,nmax=,选项A正确。
2.小明撑一雨伞站在水平地面上,伞面边缘点所围圆形的半径为R,现将雨伞绕竖直伞杆以角速度ω匀速旋转,伞边缘上的水滴落到地面,落点形成一半径为r的圆形,当地重力加速度的大小为g。根据以上数据可推知伞边缘距地面的高度应为( )
A.B.
C.D.
答案:A
解析:设伞边缘距地面的高度为h,伞边缘水滴的速度v=ωR,水滴下落时间t=,水滴平抛的水平位移x=vt=ωR,如图所示。由几何关系得R2+x2=r2,可得h=,选项A正确。
3.如图所示,轻质细杆OA长为1 m,A端固定一个质量为5 kg的小球,小球在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率为3 m/s,g取10 m/s2,细杆受到( )
A.5 N的压力B.5 N的拉力
C.95 N的压力D.95 N的拉力
答案:A
解析:小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,设当在最高点小球与细杆无弹力作用时,小球的速度为v1,则有mg=,得v1=m/s。因为m/s>3m/s,所以小球受到细杆的支持力。对小球在最高点进行受力分析,受到重力与支持力,mg-F=m,则F=mg-mN=5N,所以由牛顿第三定律知细杆受到压力,大小为5N,选项A正确。
4.如图所示,小木块a、b和c(可视为质点)放在水平圆盘上,a、b的质量均为m,c的质量为,a与转轴OO'的距离为l,b、c与转轴OO'的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,下列说法正确的是( )
A.b、c所受的摩擦力始终相等,故同时从水平圆盘上滑落
B.当a、b和c均未滑落时,a、c所受摩擦力的大小相等
C.b和c均未滑落时线速度一定相同
D.b开始滑动时的角速度是
答案:B
解析:木块随圆盘一起转动,水平方向只受静摩擦力,故由静摩擦力提供向心力,当需要的向心力大于最大静摩擦力时,木块开始滑动。b、c质量不等,由Ff=mω2r知b、c所受摩擦力不等;当最大静摩擦力提供向心力时,有kmg=mω2r,解得临界角速度为ω=,而b、c运动的轨道半径相等,所以b、c会同时从水平圆盘上滑落,选项A错误。当a、b和c均未滑落时,a、b、c和圆盘无相对运动,因此它们的角速度相等,Ff=mω2r,所以a、c所受摩擦力的大小相等,选项B正确。b和c均未滑落时,由v=ωr知线速度大小相等,方向不相同,选项C错误。由A选项分析可得ω=,选项D错误。
5.某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中,游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行,同时观察放在桌面(与车厢底板平行)上水杯内的水面,已知此弯道路面的倾角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列判断正确的是( )
A.列车转弯过程中的向心加速度为gtan θ,方向与水平面的夹角为θ
B.列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用
C.水杯与桌面间无摩擦
D.水杯内水面与桌面不平行
答案:BC
解析:设玩具小熊的质量为m,则玩具小熊受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随列车做水平面内圆周运动的向心力F(如图),有mgtanθ=ma,可知列车在转弯过程中的向心加速度大小为a=gtanθ,方向与水平面平行,选项A错误。列车的向心加速度由列车的重力与轨道的支持力的合力提供,故列车的轮缘对轨道无侧向挤压作用,选项B正确。水杯的向心加速度由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供,则水杯与桌面间的静摩擦力为零,选项C正确。水杯内水面取一微小质量元,此微元受到的重力与支持力的合力产生的加速度大小为a=gtanθ,可知水杯内水面与水平方向的倾斜角等于θ,与桌面平行,选项D错误。
6.如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,受到的弹力为F,速度大小为v,其F-v2图像如图乙所示。则( )
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=c时,小球对杆的弹力方向向下
D.v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等
答案:AD
解析:由题图乙可知,当v2=b时,杆对球的弹力恰好为零,此时只受重力,重力提供向心力,mg=m=m,即重力加速度g=,选项B错误。当v2=0时,向心力为零,杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向,F弹=mg=a,即小球的质量m=,选项A正确。根据圆周运动的规律,当v2=b时杆对球的弹力为零;当v2b时,mg+F弹=m,杆对球的弹力方向向下;v2=c>b,杆对小球的弹力方向向下,根据牛顿第三定律,小球对杆的弹力方向向上,选项C错误。当v2=2b时,mg+F弹=m=m,又g=,F弹=m-mg=mg,选项D正确。
二、计算题
7.如图所示,水平转盘的中心有个竖直小圆筒,质量为m的物体A放在转盘上,A到竖直筒中心的距离为r。物体A通过轻绳、轴光滑的滑轮与物体B相连,B与A质量相同。物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍,则转盘转动的角速度在什么范围内,物体A才能随盘转动?
答案:≤ω≤
解析:因为A在圆盘上随盘做匀速圆周运动,所以它所受的合力必然指向圆心,而其中重力、支持力平衡,绳的拉力指向圆心,所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径,指向圆心或背离圆心。
当A将要沿盘向外滑时,A所受的最大静摩擦力指向圆心,A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力,即
F+Ffm=mr①
由于B静止,故
F=mg②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍,因此
Ffm=μFN=μmg③
由①②③解得
ω1=
当A将要沿盘向圆心滑时,A所受的最大静摩擦力沿半径向外,这时向心力为
F-Ffm=mr④
由②③④得ω2=
要使A随盘一起转动,其角速度ω应满足
≤ω≤。
等级考素养提升
一、选择题(第1~6题为单选题,第7~8题为多选题)
1.在粗糙水平木板上放一个物块,沿逆时针方向做匀速圆周运动,ab为水平直径,cd为竖直直径。在运动中木板始终保持水平,物块相对于木板始终静止。下列说法正确的是( )
A.物块始终受到三个力的作用
B.只有在a、b、c、d四点,物块受到的合力才指向圆心
C.物块在a点受到的摩擦力方向向左
D.物块在c点处于超重状态
答案:C
解析:物块在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,靠合力提供向心力,在c点和d点,摩擦力为零,物体只受重力和支持力,由重力和支持力的合力提供向心力,选项A错误。物块做匀速圆周运动,由合力提供向心力,则物块受到的合力始终指向圆心,选项B错误。物块在a点时,摩擦力提供向心力,则此时受到的摩擦力方向向左,选项C正确。物块在c点加速度方向向下,处于失重状态,选项D错误。
2.长均为l的两根轻绳,一端共同系住质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点的距离也为l,重力加速度大小为g。今小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动,若小球在最高点速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点速率为2v时,每根绳的拉力大小均为( )
A.mgB.2mg
C.3mgD.
答案:A
解析:小球在最高点速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,有mg=m,当小球在最高点的速率为2v时,根据牛顿第二定律有mg+2FTcs30°=m,解得FT=mg,选项A正确。
3.如图所示,轻杆长为l,一端固定在水平轴上的O点,另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动,且能通过最高点,g为重力加速度。下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时速度可能小于
B.小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零
C.小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大
D.小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小
答案:A
解析:小球在最高点时,杆对球可以表现为支持力,由牛顿第二定律得mg-F=m,解得v<,选项A正确。当小球速度为时,由重力提供向心力,杆的作用力为零,选项B错误。轻杆在最高点可以表现为拉力,此时根据牛顿第二定律有mg+F=m,则知v越大,F越大,即随小球速度的增大,杆的拉力增大;小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力,当表现为支持力时,有mg-F=m,则知v越大,F越小,即随小球速度的增大,杆的支持力减小,选项C、D错误。
4.如图所示,轻杆长3l,在杆两端分别固定质量均为m的球A和B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为l处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力,忽略空气阻力。则球B在最高点时( )
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
答案:C
解析:球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力,即重力恰好提供向心力,有mg=m,解得vB=,选项A错误。由于A、B两球的角速度相等,则球A的速度大小vA=,选项B错误。球B在最高点时,对杆无弹力,此时球A受重力和拉力的合力提供向心力,有F-mg=m,解得F=1.5mg,选项C正确,D错误。
5.如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面的夹角为30°,g取10 m/s2。则ω的最大值是( )
A. rad/sB. rad/s
C.1.0 rad/sD.0.5 rad/s
答案:C
解析:物体随圆盘做圆周运动,运动到最低点时最容易滑动,因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值,根据牛顿第二定律得μmgcs30°-mgsin30°=mω2r,解得ω=1.0rad/s,选项C正确,A、B、D错误。
6.用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑圆锥顶上,如图所示,设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω,细线的拉力为FT,则FT随ω2变化的图像是下图中的( )
答案:C
解析:锥面与竖直方向的夹角为θ,设细线长为l,当ω=0时,小球静止,受重力mg、支持力FN和细线的拉力FT而平衡,FT=mgcsθ≠0,选项A、B错误。ω增大时,FT增大,FN减小,当FN=0时,角速度为ω0。当ω<ω0时,由牛顿第二定律得FTsinθ-FNcsθ=mω2lsinθ,FTcsθ+FNsinθ=mg,解得FT=mω2lsin2θ+mgcsθ;当ω>ω0时,小球离开锥面,细线与竖直方向的夹角变大,设为β,由牛顿第二定律得FTsinβ=mω2lsinβ,所以FT=mlω2,此时图像的反向延长线经过原点,FT-ω2图线的斜率变大,选项C正确,D错误。
7.如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,下列说法正确的有( )
A.小球通过最高点的最小速度为v=
B.小球通过最高点的最小速度为0
C.小球在水平线ab以下管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
D.小球在水平线ab以上管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力
答案:BCD
解析:在最高点,外侧管壁或内侧管壁都可以对小球产生弹力作用,当小球的速度等于0时,内侧管壁对小球产生弹力,大小为mg,故最小速度为0,选项A错误,B正确。小球在水平线ab以下管道运动时,由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力,所以外侧管壁对小球一定有作用力,选项C正确。小球在水平线ab以上管道中运动时,当速度非常大时,内侧管壁没有作用力,外侧管壁有作用力,当速度比较小时,内侧管壁有作用力,选项D正确。
8.如图所示,在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2,转台绕转轴OO'以角速度ω匀速转动过程中,轻绳始终处于水平状态,两滑块始终相对转台静止,且与转台之间的动摩擦因数相同,滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离。关于滑块1和滑块2受到的摩擦力Ff1和Ff2与ω2的关系图线,可能正确的是( )
答案:AD
解析:两滑块的角速度相同,根据向心力公式F向=mω2r,考虑到两滑块质量相同,滑块2的运动半径较大,受到的摩擦力较大,故滑块2先达到最大静摩擦力。再继续增大角速度,对滑块1、2分别有FT+Ff1=mω2R1,FT+Ff2=mω2R2,联立得Ff1=Ff2-mω2(R2-R1),由于R2>R1,Ff2等于最大静摩擦力,大小不变,故ω增大时滑块1的摩擦力反而减小,且与角速度的二次方呈线性关系,选项A、D正确。
二、计算题
9.如图,一个质量为m的小球(可视为质点)以某一初速度从A点水平抛出,恰好从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆弧,经BCD从圆管的最高点D射出,恰好又落到B点。已知圆弧的半径为R且A与D在同一水平线上,BC弧对应的圆心角θ=60°,不计空气阻力。
(1)求小球从A点做平抛运动的初速度v0的大小。
(2)求在D点处管壁对小球的作用力FN。
答案:(1)
(2)mg,方向竖直向上
解析:(1)小球从A到B,竖直方向有=2gR(1+cs60°)=3gR
解得vy=
在B点,由速度关系得
v0=。
(2)小球从D到B,竖直方向有R(1+cs60°)=gt2
解得t=
则小球从D点抛出的速度vD=
在D点,由向心力公式得mg-FN=m
解得FN=mg,方向竖直向上。