数学5.4 三角函数的图象与性质教案设计

这是一份数学5.4 三角函数的图象与性质教案设计，共23页。

课程目标
1.了解周期函数与最小正周期的意义;
2.了解三角函数的周期性和奇偶性;
3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;
4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);
5.能利用性质解决一些简单问题.
数学学科素养
1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；
2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；
3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.
4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.
重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；
难点：应用正、余弦函数的性质来求含有csx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本201-205页，思考并完成以下问题
1. 周期函数、周期、最小正周期等的含义？
2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？
3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).
2.值域
(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.
(2)最值
正弦函数
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
余弦函数
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
3.周期性
定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,
都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.
由此可知,都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.
4.奇偶性
()为奇函数,其图象关于原点对称
()为偶函数,其图象关于轴对称
5.对称性
正弦函数的对称中心是,
对称轴是直线;
余弦函数的对称中心是,
对称轴是直线
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).
6.单调性
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
四、典例分析、举一反三
题型一 正、余弦函数的周期性
例1 求下列三角函数的最小正周期:
(1)y=3cs x,x∈R; (2)y=sin 2x,x∈R;
(3)y=2sin( QUOTE 13 ),x∈R; (4)y=|cs x|,x∈R.
【答案】(1) 2π；(2)π；(3) 4π；(4)π.
【解析】:(1)因为3cs(x+2π)=3cs x,所以由周期函数的定义知,y=3cs x的最小正周期为2π.
(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.
(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4π.
(4)y=|cs x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cs x|的最小正周期为π.
解题技巧：（求函数最小正周期的常用方法）
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).
(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．
跟踪训练一
1.（1）函数y=2sin (3x+ QUOTE π6 ),x∈R的最小正周期是( )
(A) QUOTE π3 (B) QUOTE 2π3 (C) QUOTE 3π2 (D)π
(2)函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为 .
【答案】(1)B；(2) ．
【解析】 (2)作出y=|sin 2x|(x∈R)的图象(如图所示).
由图象可知,函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为 QUOTE π2 .
题型二 化简、求值
例2判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)= QUOTE 2 sin 2x;(2)f(x)=sin( QUOTE 3x4 + QUOTE 3π2 );
(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)= QUOTE 1-csx + QUOTE csx-1 .
【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数.
【解析】(1)显然x∈R,f(-x)= QUOTE 2 sin(-2x)=- QUOTE 2 sin 2x=-f(x),所以f(x)= QUOTE 2 sin 2x是奇函数.
(2)因为x∈R,f(x)=sin( QUOTE 3x4 + QUOTE 3π2 )=-cs QUOTE 3x4 ,
所以f(-x)=-cs(- QUOTE 3x4 )=-cs QUOTE 3x4 =f(x),
所以函数f(x)=sin( QUOTE 3x4 + QUOTE 3π2 )是偶函数.
(3)显然x∈R,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),
所以函数f(x)=sin |x|是偶函数.
(4)由 QUOTE 1-csx≥0,csx-1≥0, 得cs x=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
解题技巧：(判断函数奇偶性的方法)
判断函数奇偶性的方法
(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;
(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.
跟踪训练二
1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( )
(A)y=sin(2x+ QUOTE π2 ) (B)y=cs(2x+ QUOTE π2 )
(C)y=sin(2x+ QUOTE π4 ) (D)y= QUOTE 2 sin(x+ QUOTE π4 )
【答案】B
【解析】 A中,y=sin(2x+ QUOTE π2 ),即y=cs 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cs(2x+ QUOTE π2 )=-sin 2x,是奇函数,T= QUOTE 2π2 =π,故选B.
2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于 ( )
A．－eq \f(1,2) B．1 C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
【答案】D
【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，
又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
题型三 正、余弦函数的单调性
例3 求函数y=sin(x+ QUOTE π3 )的单调区间.
【答案】略.
【解析】当- QUOTE π2 +2kπ≤x+ QUOTE π3 ≤ QUOTE π2 +2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[- QUOTE 5π24 + QUOTE kπ2 , QUOTE π24 +](k∈Z).当 QUOTE π2 +2kπ≤x+ QUOTE π3 ≤ QUOTE 3π2 +2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[ QUOTE π24 + QUOTE kπ2 , QUOTE 7π24 +](k∈Z).
解题技巧：（求单调区间的步骤）
(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或
y＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cs x)的相应单调区间；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于x的不等式．
(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acs(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．
跟踪训练三
1．求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的单调增区间．
【答案】略.
【解析】y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，令z＝x－eq \f(π,4)，则y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增区间，即求y＝sin z的减区间，所以eq \f(π,2)＋2kπ≤z≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，
即eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得eq \f(3π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(7π,4)＋2kπ(k∈Z)，
所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的单调增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋2kπ，\f(7π,4)＋2kπ))(k∈Z)．
题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用
例4 比较下列各组中函数值的大小：
（1）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))；
(2)sin 194°与cs 160°.
【答案】（1）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))；（2）sin 194°＞cs 160°.
【解析】（1）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(7π,5)))＝cseq \f(7π,5)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(7π,4)))＝cseq \f(7π,4)，
∵π＜eq \f(7π,5)＜eq \f(7π,4)＜2π，且函数y＝cs x在[π，2π]上单调递增，
∴cseq \f(7π,5)＜cseq \f(7π,4)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4))).
(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cs 160°＝cs(180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°.
从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cs 160°.
解题方法（比较两个三角函数值的大小）
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．
跟踪训练四
1．下列结论正确的是 ( )
A．sin 400°>sin 50° B．sin 220°C．cs 130°>cs 200° D．cs(－40°)【答案】C.
【解析】由cs 130°＝cs(180°－50°)＝－cs 50°，cs 200°＝cs(180°＋20°)＝－cs 20°，因为当0°－cs 20°，即cs 130°>cs 200°.
题型五 正、余弦函数的值域与最值问题
例5 求下列函数的值域:
(1)y=cs(x+ QUOTE π6 ),x∈[0, QUOTE π2 ];
(2)y=cs2x-4cs x+5.
【答案】（1）[- QUOTE 12 , QUOTE 32 ] ；（2）[2,10].
【解析】(1)由x∈[0, QUOTE π2 ]可得
x+ QUOTE π6 ∈[ QUOTE π6 , QUOTE 2π3 ],
函数y=cs x在区间[ QUOTE π6 , QUOTE 2π3 ]上单调递减,所以函数的值域为[- QUOTE 12 , QUOTE 32 ].
(2)y=cs2x-4cs x+5,令t=cs x,
则-1≤t≤1.
y=t2-4t+5=(,
当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;
t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].
解题方法（三角函数的值域问题解题思路）
三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(ωx+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方
法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.
跟踪训练五
1. 函数y=2cs2x+5sin x-4的值域为 .
【答案】[-9,1].
【解析】(1)y=2cs2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4
=-2sin2x+5sin x-2
=-2(sin x- QUOTE 54 )2+ QUOTE 98 .
故当sin x=1时,ymax=1;
当sin x=-1时,ymin=-9,
故y=2cs2x+5sin x-4的值域为[-9,1].
2.设f(x)=acs x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+ QUOTE π3 )的最大值为 .
【答案】1.
【解析】由题意a≠0,当a>0时, QUOTE a+b=1,-a+b=-3, 所以 QUOTE a=2,b=-1,
此时g(x)=-sin(2x+ QUOTE π3 ),其最大值为1.
当a<0时, QUOTE a+b=-3,-a+b=1, 所以 QUOTE a=-2,b=-1,
此时g(x)=-sin(-2x+ QUOTE π3 ),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.定义域 例1 例2 例3
2.值域
3.周期性
4.奇偶性 例4 例5
5.单调性
6.对称性



七、作业
课本207页练习、213页习题5.4 2-6、10、11题.
本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开.