高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教学设计，共23页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。

本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
课程目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
数学学科素养
1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；
2.逻辑推理： “sin α±cs α”同“sin αcs α”间的关系；
3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明
重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；
难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本182-183页，思考并完成以下问题
1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？
2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2 α＋cs2 α＝1.
商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan_αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
思考：“同角”一词的含义是什么？
[提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cs215°＝1，sin2eq \f(π,19)＋cs2eq \f(π,19)＝1等．
四、典例分析、举一反三
题型一 应用同角三角函数关系求值
例1 (1)若，求cs α，tan α的值；
(2)已知cs α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值．
【答案】(1)当α是第三象限角时，cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝.
α是第四象限角时，cs α＝eq \f(4,5)，tan α＝-
(2)如果α是第二象限角，那么sin α＝eq \f(15,17)，tan α＝－eq \f(15,8).
如果α是第三象限角， sin α＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8).
【解析】(1)∵sin α＝－eq \f(3,5)，α是第三、第四象限角，
当α是第三象限角时，
cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝.
α是第四象限角时，
cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝-
(2) ∵cs α＝－eq \f(8,17)＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,17)))\s\up12(2))＝eq \f(15,17)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq \f(15,8).
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8).
解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．
跟踪训练一
1．已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．
【答案】角α的终边在第二象限时，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3,10)eq \r(10)；
当角α的终边在第四象限时，cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3,10)eq \r(10).
【解析】 ∵sin α＋3cs α＝0，∴sin α＝－3cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，∴(－3cs α)2＋cs2α＝1，即10cs2α＝1，
∴cs α＝±eq \f(\r(10),10).
又由sin α＝－3cs α，可知sin α与cs α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3,10)eq \r(10)；
当角α的终边在第四象限时，cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3,10)eq \r(10).
题型二 三角函数式的化简、求值
例2 (1)化简：eq \f(\r(1－2sin 130°cs 130°),sin 130°＋\r(1－sin2130°))；
(2)若角α是第二象限角，化简：tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1).
【答案】（1）1； （2）-1.
【解析】 (1)原式＝
eq \f(\r(sin2130°－2sin 130°cs 130°＋cs2130°),sin 130°＋\r(cs2130°))
＝eq \f(|sin 130°－cs 130°|,sin 130°＋|cs 130°|)＝eq \f(sin 130°－cs 130°,sin 130°－cs 130°)＝1.
(2)原式＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cs α)×eq \f(|cs α|,|sin α|)，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cs α<0，所以原式＝eq \f(sin α,cs α)×eq \f(|cs α|,|sin α|)＝eq \f(sin α,cs α)×eq \f(－cs α,sin α)＝－1.
解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)
1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.
2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的
3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
提醒：在应用平方关系式求sin α或cs α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
跟踪训练二
1．化简：(1)eq \f(cs 36°－\r(1－cs236°),\r(1－2sin 36°cs 36°))；
(2)eq \f(sin θ－cs θ,tan θ－1).
【答案】(1)1；(2) cs θ.
【解析】 (1)原式＝eq \f(cs 36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cs236°－2sin 36°cs 36°))＝eq \f(cs 36°－sin 36°,\r(cs 36°－sin 36°2))＝eq \f(cs 36°－sin 36°,|cs 36°－sin 36°|)＝eq \f(cs 36°－sin 36°,cs 36°－sin 36°)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin θ－cs θ,\f(sin θ,cs θ)－1)＝eq \f(cs θsin θ－cs θ,sin θ－cs θ)＝cs θ.
题型三 三角函数式的证明
例3 求证：.
【答案】见解析
【解析】

解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
3．解决此类问题要有整体代换思想．
跟踪训练三
1．求证：eq \f(1＋2sin xcs x,cs2x－sin2x)＝eq \f(1＋tan x,1－tan x).
【答案】见解析
【解析】证明： 右边＝eq \f(1＋\f(sin x,cs x),1－\f(sin x,cs x))＝eq \f(cs x＋sin x,cs x－sin x)
＝eq \f(cs x＋sin x2,cs x－sin xcs x＋sin x)＝eq \f(1＋2sin xcs x,cs2x－sin2x)＝左边，
∴原等式成立．
题型四 “sin α±cs α”同“sin αcs α”间的关系
例4 已知sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，且0＜α＜π.
求：(1)sin αcs α的值；
(2)求sin α－cs α的值．
【答案】(1)－eq \f(12,25)； (2)eq \f(7,5).
【解析】证明：(1)∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，∴(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,25)，
∴1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，即sin αcs α＝－eq \f(12,25).
(2)∵(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25).
又∵0＜α＜π，且sin αcs α＜0，
∴sin α＞0，cs α＜0，∴sin α－cs α＞0，
∴sin α－cs α＝eq \f(7,5).
解题方法（ “sin α±cs α”同“sin αcs α”间的关系）
1、已知sin θ±cs θ求sin θcs θ，只需平方便可．
2、已知sin θcs θ求sin θ±cs θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cs θ的正负．
跟踪训练四
1.已知sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝ ．
2.已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，计算下列各式的值：
(1)eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)；
(2)sin2α－2sin αcs α＋1.
1、【答案】－eq \f(12,5).
【解析】法一：(构建方程组)
因为sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，①
所以sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(49,169)，
即2sin αcs α＝－eq \f(120,169).
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cs α＜0.
所以sin α－cs α＝eq \r(（sin α－cs α）2)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \f(17,13).②
由①②解得sin α＝eq \f(12,13)，cs α＝－eq \f(5,13)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(12,5).
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcs α＝－eq \f(60,169)，eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝－eq \f(60,169)，eq \f(tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(60,169)，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－eq \f(5,12)或tan α＝－eq \f(12,5).
由sin α＋cs α＝eq \f(7,13)＞0知|sin α|＞|cs α|，故tan α＝－eq \f(12,5).
2.【答案】（1）eq \f(8,9)；(2)eq \f(13,10).
【解析】由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，
化简得sin α＝3cs α，
所以tan α＝3.
（1）法一(换元)原式＝eq \f(3×3cs α－cs α,2×3cs α＋3cs α)＝eq \f(8cs α,9cs α)＝eq \f(8,9).
法二(弦化切)原式＝eq \f(3tan α－1,2tan α＋3)＝eq \f(3×3－1,2×3＋3)＝eq \f(8,9).
(2)原式＝eq \f(sin2α－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋1
＝eq \f(tan2α－2tan α,tan2α＋1)＋1＝eq \f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq \f(13,10).
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
5.2.2 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 例3 例4
例1 例2


七、作业
课本184页练习及184页习题5.2.
学生容易推导出同角三角函数的基本关系式，但对于运用初学时一部分学生感到困难，经多例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。