广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末数学试题（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末数学试题（2份打包，原卷版+含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2. 已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
3. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. -1B. SKIPIF 1 < 0 C. 1D. 2
4. 过点 SKIPIF 1 < 0 引直线，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 焦点，过 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作其准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 1
6. 将边长为 SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 (及其内部)绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周形成圆柱，如图， SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的同侧.则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
7. 设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 243B. 244C. 486D. 488
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 (点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆内部)，则 SKIPIF 1 < 0
A. SKIPIF 1 < 0 B. 4C. 3D. 1
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C. 若数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
D. 若数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列
10. (多选)已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 .则以下几个命题正确的有( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 B. 圆 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恒相交D. 直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得最长弦长时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
11. 已知空间四点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是( )
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. 点O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 D. O，A，B，C四点共面
12. 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 只有 SKIPIF 1 < 0 条B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为______．
14. 若数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于___________.
15. 空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过点 SKIPIF 1 < 0 且一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且方向向量为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是两个平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交线，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为___________.
16. 抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上 SKIPIF 1 < 0 这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面 SKIPIF 1 < 0 卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图 SKIPIF 1 < 0 中心截面示意图 SKIPIF 1 < 0 所示 SKIPIF 1 < 0 反射镜中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜 SKIPIF 1 < 0 中心截面是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，当来自天体平行对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F为焦点的凸双面镜 SKIPIF 1 < 0 中心截面是双曲线D的一支 SKIPIF 1 < 0 的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点 SKIPIF 1 < 0 处 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 的中点为原点， SKIPIF 1 < 0 为x轴，建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 单位：米 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线C的方程为___________凹抛物面镜的口径MN为 SKIPIF 1 < 0 ，凸双面镜的口径ST为 SKIPIF 1 < 0 ，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D的离心率为___________.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 过三个点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过原点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹.
18. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小.
19. 记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于A， SKIPIF 1 < 0 两点，过点A作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
21. 容器A内装有6升浓度为20%酒精水溶液，容器B内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A内的酒精水溶液倒1升进入B内，再将B内的酒精水溶液倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的酒精水溶液浓度分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(酒精水溶液浓度=(酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积)×100%)
(1)请计算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并判断数列 SKIPIF 1 < 0 否为等比数列?若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)至少要经过几次操作，A、B两容器中溶液浓度之差小于1%?( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
(3)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的表达式.
22. 如图所示，定点 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于它到定直线 SKIPIF 1 < 0 距离的2倍.设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)请以线段 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，以线段 SKIPIF 1 < 0 上的某一点为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，建立适当的平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，使得曲线 SKIPIF 1 < 0 经过坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，并求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)请指出(1)中的曲线 SKIPIF 1 < 0 的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
(3)设(1)中的曲线 SKIPIF 1 < 0 除了经过坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，还与 SKIPIF 1 < 0 轴交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证： SKIPIF 1 < 0 .