选择性必修 第二册第一章 安培力与洛伦兹力3 带电粒子在匀强磁场中的运动精品课后练习题

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一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0.所以粒子做匀速直线运动．
2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向的平面内运动．
(1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小．
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．
二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1．半径
一个电荷量为q的粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v运动，那么带电粒子所受的洛伦兹力为F＝qvB，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝eq \f(mv2,r)，由此可解得圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB).从这个结果可以看出，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比．
2．周期
由r＝eq \f(mv,qB)和T＝eq \f(2πr,v)，可得T＝eq \f(2πm,qB).带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关．
1．判断下列说法的正误．
(1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动．( √ )
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨道半径跟粒子的速率成正比．( √ )
(3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比．( × )
(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小．( × )
2．两个粒子带电荷量相等，在同一匀强磁场中只受到磁场力作用而做匀速圆周运动，则( )
A．若速率相等，则半径必相等
B．若质量相等，则周期必相等
C．若动能相等，则半径必相等
D．若动量相等，则周期必相等
答案 B
一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
导学探究
如图所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转．
(1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？
(2)加上磁场后，电子束的运动轨迹如何？
(3)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？
(4)如果保持磁感应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？
答案 (1)一条直线 (2)圆 (3)变小 (4)变大
知识深化
1．分析带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，要紧抓洛伦兹力提供向心力，即qvB＝meq \f(v2,r).
2．同一粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，由r＝eq \f(mv,qB)知，r与v成正比；由T＝eq \f(2πm,qB)知，T与速度无关，与半径无关．
例1 质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是( )
A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2
B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1
C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2
D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1
答案 A
解析 质子p(eq \\al(1,1)H)和α粒子(eq \\al(4,2)He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4.由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，因为两粒子速率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A正确，B、C、D错误．
针对训练1 薄铝板将同一匀强磁场分成 Ⅰ、Ⅱ 两个区域，高速带电粒子可穿过铝板一次，在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径R1>R2.假定穿过铝板前后粒子带电荷量保持不变，则该粒子( )
A．带正电
B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动速度大小相同
C．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同
D．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域
答案 C
解析 粒子穿过铝板受到铝板的阻力，速度将减小．由r＝eq \f(mv,Bq)可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径将减小，故可得粒子由Ⅰ区域运动到Ⅱ区域，结合左手定则可知粒子带负电，选项A、B、D错误；由T＝eq \f(2πm,Bq)可知粒子运动的周期不变，粒子在Ⅰ区域和Ⅱ区域中运动的时间均为t＝eq \f(1,2)T＝eq \f(πm,Bq)，选项C正确．
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1．圆心位置确定的两种方法
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上
已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)．
(2)圆心一定在弦的垂直平分线上
已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其垂直平分线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
2．半径的确定
半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解．
3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
(1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝eq \f(α,360°)T(或t＝eq \f(α,2π)T)．
确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2倍弦切角．
(2)当v一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝eq \f(l,v)，l为带电粒子通过的弧长．
例2 如图所示，a和b所带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)( )
A．两粒子都带正电，质量比eq \f(ma,mb)＝4
B．两粒子都带负电，质量比eq \f(ma,mb)＝4
C．两粒子都带正电，质量比eq \f(ma,mb)＝eq \f(1,4)
D．两粒子都带负电，质量比eq \f(ma,mb)＝eq \f(1,4)
答案 B
解析 由于qa＝qb，Eka＝Ekb，由动能Ek＝eq \f(1,2)mv2和粒子偏转半径r＝eq \f(mv,qB)，可得m＝eq \f(r2q2B2,2Ek)，可见m与半径r的二次方成正比，故ma∶mb＝4∶1，再根据左手定则知粒子应带负电，故选B.
例3 如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小．
答案 (1)1.8×10－6 s (2)0.314 T (3)3.49×105 m/s
解析 (1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，
则eq \f(t,T)＝eq \f(300°,360°)＝eq \f(5,6)，周期T＝eq \f(6,5)t＝eq \f(6,5)×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s
(2)由qvB＝eq \f(mv2,r)，T＝eq \f(2πr,v)，得T＝eq \f(2πm,qB)，知B＝eq \f(2πm,qT)＝eq \f(2×3.14×1.8×10－16,2.0×10－9×1.8×10－6) T＝0.314 T.
(3)由几何知识可知，半径r＝eq \x\t(OP)＝0.1 m
则qvB＝eq \f(mv2,r)得，粒子的运动速度大小为
v＝eq \f(Bqr,m)＝eq \f(0.314×2.0×10－9×0.1,1.8×10－16) m/s≈3.49×105 m/s.
针对训练2 (多选)(2020·天津卷)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴．已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计．则( )
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为eq \f(qBa,m)
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N与O点相距(eq \r(2)＋1)a
答案 AD
解析 由题意可知，粒子在磁场中做顺时针圆周运动，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A正确；粒子的运动轨迹如图所示，O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝eq \r(2)a，故C错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝meq \f(v2,R)，则v＝eq \f(\r(2)qBa,m)，故B错误；由图可知，ON＝a＋eq \r(2)a＝(eq \r(2)＋1)a，故D正确．
考点一 周期公式与半径公式的基本应用
1．(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，则下列说法正确的是( )
A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB
B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB
C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB
D．如果两粒子的动量大小相同，则两粒子的半径RA＝RB
答案 CD
解析 因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πm,qB)，又粒子电荷量相等且在同一匀强磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确．
2．在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度一半的匀强磁场，则( )
A．粒子的速率加倍，周期减半
B．粒子的速率不变，轨道半径减半
C．粒子的速率不变，周期变为原来的2倍
D．粒子的速率减半，轨道半径变为原来的2倍
答案 C
解析 因洛伦兹力对粒子不做功，故粒子的速率不变；当磁感应强度减半后，由r＝eq \f(mv,Bq)可知，轨道半径变为原来的2倍；由T＝eq \f(2πm,Bq)可知，粒子的周期变为原来的2倍，故C正确，A、B、D错误．
3.一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场．粒子的一段径迹如图所示．径迹上的每一小段都可近似看成圆弧．由于带电粒子能使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(电荷量不变)．从图中情况可以确定( )
A．粒子从a到b，带正电
B．粒子从a到b，带负电
C．粒子从b到a，带正电
D．粒子从b到a，带负电
答案 C
解析 由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小，可知速度逐渐减小；根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r＝eq \f(mv,qB)可知，粒子的运动半径逐渐减小，所以粒子的运动方向是从b到a；再根据左手定则可知粒子带正电，选项C正确，A、B、D错误．
4.质量和带电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场并最终打在金属板上，运动的半圆轨迹如图中虚线所示，不计重力，下列表述正确的是( )
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运动时间大于N的运动时间
答案 A
解析 根据左手定则可知N带正电，M带负电，A正确；因r＝eq \f(mv,Bq)，而M的轨迹半径大于N的轨迹半径，所以M的速率大于N的速率，B错误；洛伦兹力不做功，C错误；M和N的运动时间都为t＝eq \f(πm,Bq)，D错误．
考点二 带电粒子做匀速圆周运动的分析
5.如图，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从A、D两点沿图示方向射入磁场，均从C点射出，则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为( )
A．1∶1,2∶1 B．1∶2,2∶1
C．2∶1,1∶2 D．1∶2,1∶1
答案 C
解析 根据qvB＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \f(qBr,m)，根据题图可知，甲、乙两粒子的轨迹半径之比为2∶1，又因为两粒子相同，故v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝2∶1，粒子在磁场中的运动周期T＝eq \f(2πm,qB)，两粒子相同，可知甲、乙两粒子的周期之比为1∶1，根据轨迹图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比为1∶2，故两粒子在磁场中经历的时间之比t甲∶t乙＝1∶2，选C.
6.如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)，一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O.已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( )
A．2∶1 B.eq \r(2)∶1 C．1∶1 D.eq \r(2)∶2
答案 D
解析 根据几何关系可知，带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨迹半径r1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨迹半径r2的2倍，设粒子在P点的速度大小为v1，动能为Ek，根据牛顿第二定律可得qv1B1＝eq \f(mv12,r1)，则B1＝eq \f(mv1,qr1)＝eq \f(\r(2mEk),qr1)；同理，B2＝eq \f(mv2,qr2)＝eq \f(\r(2m·\f(1,2)Ek),qr2)＝eq \f(\r(mEk),qr2)，则eq \f(B1,B2)＝eq \f(\r(2)r2,r1)＝eq \f(\r(2),2)，D正确．
7.(多选)如图所示，分界线MN上、下两侧有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从O点出发以一定的初速度v0沿纸面垂直MN向上射出，经时间t又回到出发点O，形成了图示心形轨迹，则( )
A．粒子一定带正电荷
B．MN上、下两侧的磁场方向相同
C．MN上、下两侧的磁感应强度的大小之比B1∶B2＝1∶2
D．时间t＝eq \f(2πm,qB2)
答案 BD
解析 题中未给出磁场的方向和粒子绕行的方向，所以不能判定粒子所带电荷的正负，选项A错误；粒子越过磁场的分界线MN时，洛伦兹力的方向没有变，根据左手定则可知MN上、下两侧的磁场方向相同，选项B正确；设MN上方的轨迹半径是r1，下方的轨迹半径是r2，根据几何关系可知r1∶r2＝1∶2；洛伦兹力充当粒子做圆周运动的向心力，由qv0B＝meq \f(v02,r)，解得B＝eq \f(mv0,qr)，所以B1∶B2＝r2∶r1＝2∶1，选项C错误；由题图知，时间t＝T1＋eq \f(T2,2)＝eq \f(2πm,qB1)＋eq \f(πm,qB2)，由B1∶B2＝2∶1得t＝eq \f(2πm,qB2)，选项D正确．
8.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的( )
A．轨迹半径之比为2∶1 B．速度之比为1∶2
C．时间之比为2∶3 D．周期之比为1∶2
答案 B
解析 带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)，又T＝eq \f(2πr,v)，联立可得T＝eq \f(2πm,qB)，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1＝eq \f(90°,360°)T＝eq \f(1,4)T，粒子2的运动时间t2＝eq \f(60°,360°)T＝eq \f(1,6)T，则时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设粒子1的轨迹半径R1＝d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r＝eq \f(mv,qB)可知，速度之比为1∶2，B正确．
9.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法正确的是( )
A．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远
B．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
答案 B
解析 画出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由几何关系得，轨迹对应的圆心角α＝2π－2θ，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(α,2π)T＝eq \f(2π－2θ,2π)·eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2π－2θm,qB)，可得，若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动的时间t越短，若θ一定，则粒子在磁场中的运动时间一定，故B正确，D错误；设粒子的轨迹半径为r，则r＝eq \f(mv,qB)，由图有，AO＝2rsin θ＝eq \f(2mvsin θ,qB)，可得，若θ是锐角，θ越大，AO越大，若θ是钝角，θ越大，AO越小，故A错误；粒子在磁场中运动的角速度ω＝eq \f(2π,T)，又T＝eq \f(2πm,qB)，则得ω＝eq \f(qB,m)，与速度v无关，故C错误．
10.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB) B.eq \f(7πm,6qB) C.eq \f(11πm,6qB) D.eq \f(13πm,6qB)
答案 B
解析 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)、T＝eq \f(2πR,v)，可得R1＝eq \f(mv,qB)、R2＝eq \f(2mv,qB)、T1＝eq \f(2πm,qB)、T2＝eq \f(4πm,qB)，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝eq \f(T1,4)，在第一象限中运动的时间为t2＝eq \f(θ,2π)T2，又由几何关系有cs θ＝eq \f(R2－R1,R2)＝eq \f(1,2)，可得t2＝eq \f(T2,6)，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝eq \f(7πm,6qB)，选项B正确，A、C、D错误．
11.一带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝＋1.6×10－19 C，该粒子以大小为v＝3.2×106 m/s的速度沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图所示．(粒子重力不计，g取10 m/s2，结果均保留两位有效数字)
(1)带电粒子离开磁场时的速度多大？
(2)带电粒子在磁场中运动多长时间？
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d为多大？
答案 (1)3.2×106 m/s (2)3.3×10－8 s (3)2.7×10－2 m
解析 (1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时的速度大小仍为3.2×106 m/s.
(2)由qvB＝meq \f(v2,r)得，
轨迹半径r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(1.7×10－27×3.2×106,1.6×10－19×0.17) m＝0.2 m.
由题图可知偏转角θ满足：sin θ＝eq \f(L,r)＝eq \f(0.1 m,0.2 m)＝0.5，
所以θ＝30°＝eq \f(π,6)，
由qvB＝eq \f(mv2,r)及v＝eq \f(2πr,T)可得
带电粒子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)，
所以带电粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,2π)·T＝eq \f(1,12)T，
所以t＝eq \f(πm,6qB)＝eq \f(3.14×1.7×10－27,6×1.6×10－19×0.17) s≈3.3×10－8 s.
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离
d＝r(1－cs θ)＝0.2×(1－eq \f(\r(3),2)) m≈2.7×10－2 m.
12.(2020·江苏卷改编)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.质量为m、带电荷量为q的粒子从原点O沿x轴正向射入磁场，速度为v.粒子第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．不考虑粒子重力影响．求：
(1)Q到O的距离d；
(2)粒子两次经过P点的时间间隔Δt.
答案 (1)eq \f(mv,3qB0) (2)eq \f(2πm,qB0)
解析 (1)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝meq \f(v2,r)可知r＝eq \f(mv,qB)
故r1＝eq \f(mv,2qB0)，r2＝eq \f(mv,3qB0)
且d＝2r1－2r2，解得d＝eq \f(mv,3qB0)
(2)粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t1、t2
由T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)得t1＝eq \f(πm,2qB0)，t2＝eq \f(πm,3qB0)，
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝eq \f(2πm,qB0).