数学中考复习《勾股定理的应用》专题提升训练

这是一份数学中考复习《勾股定理的应用》专题提升训练，共18页。
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；
（3）当AP＝CQ时，求t的值？
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当DP⊥AB时，t＝ ；
（3）求线段BD的长；
（4）当∠DBP与∠DPB相等时，直接写出t的值．
3．已知，如图，AB为圆O直径，AC＝FC，E为弧BD中点．
（1）求证：AC为圆O切线；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DF的长．
4．在下图中，直线l所对应的函数关系式为y＝﹣x+5，l与y轴交于点C，O为坐标原点．
（1）请直接写出线段OC的长；
（2）已知图中A点在x轴的正半轴上，四边形OABC为矩形，边AB与直线l相交于点D，沿直线l把△CBD折叠，点B恰好落在AC上一点E处，并且EA＝1．
①试求点D的坐标；
②若⊙P的圆心在线段CD上，且⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，设圆心P的横坐标为m，试求m的取值范围．
5．如图，一张矩形硬片ABCD宽AB＝6，长AD＝10，E是CD边上一点，现将矩形硬片沿BE折叠，点C的对应点F刚好落在AD边上的点F处，过点F作FG⊥AD于点F，交BE于点G，连接CG．
（1）判断四边形CEFG的形状，并给出证明；
（2）求四边形CEFG的面积．
6．如图，将一张矩形卡片ABCD进行折叠，使A、C重合，展开后折痕交BC于E，交AD于F．
（1）试判断四边形AECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB＝4，BC＝8，求AF的长．
7．已知矩形OABC的边长OA＝4，AB＝3，E是OA的中点，分别以所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，直线l经过C、E两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）如图，将矩形OABC中，将△COE沿直线l折叠后得到△CFE，点F在矩形OABC内部，延长CF交AB于G点．证明：GF＝GA；
（3）由上面的条件，求四边形AGFE的面积？
8．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．
9．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
10．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC等于45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度为多少米？（答案保留根号）
11．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8m处，求此树原高是多少米？（图1）
有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？（图2）
一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由（图3）
12．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
14．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，过点D作DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF．
15．已知△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝8，⊙O与△ABC三边所在的直线都相切，切点分别为D，E，F．
（1）如图1，若点O在△ABC内部．
①求S△ABC；
②求⊙O的半径R的值；
（2）如图2，若点O在△ABC外部，直接写出⊙O的半径r的值．
16．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少．
17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
18．如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）
19．如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解，在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．
（2）性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）问题解决：如图2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
20．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2，则S△ABC＝ ．
参考答案
1．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，
∴BC＝＝24cm．
（2）如图，连接PQ，
BP＝7﹣2＝5，
BQ＝6×2＝12，
在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝＝13（cm）；
（3）设t秒后，AP＝CQ．则
t＝24﹣6t，
解得 t＝．
答：P、Q两点运动秒，AP＝CQ．
2．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13．
故答案为：13．
（2）∵BD平分∠ABC，DP⊥AB，DC⊥CB，
∴DC＝DP．
在Rt△DCB和Rt△DPB中，
，
∴Rt△DCB≌Rt△DPB（HL）．
∴BC＝BP＝5．
∴t＝BP÷1＝5．
故答案为：5．
（3）∵BD平分∠ABC，
∴．
∴．
解得：CD＝．
在Rt△CDB中，
BD＝＝．
（4）①当点P在AB上时，
∵∠DBP＝∠DPB，
∴DB＝DP．
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
由（2）知：Rt△DCB≌Rt△DEB，
∴BE＝BC＝5．
∵DB＝DP，DE⊥AB，
∴PE＝BE＝5．
∴PB＝2BE＝10．
∴t＝BP÷1＝10；
②当点P在AC上时，
∵∠DBP＝∠DPB，
∴DB＝DP．
由（3）知：BD＝，CD＝，
∴PD＝．
∴PA＝AC﹣CD﹣PD＝．
∴点P运动的距离为：AB+PA＝．
∴t＝（）÷1＝．
综上，t的值为：10或．
3．（1）证明：如图1，连接BE，
∵E为弧BD中点，
∴＝，
∴∠DBE＝∠BAE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DBE+∠BFE＝90°，
∴∠BAE+∠BFE＝90°，
∵∠BFE＝∠CFA，
∴∠BAE+∠CFA＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠BAE+∠CAF＝90°，
∴AB⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC为⊙O切线；
（2）如图2，连接AD，过点F作FG⊥AB于点G，
由（1）知：∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BC•AD＝AB•AC，
∴AD＝＝＝，
∴BD＝＝＝，
∵＝，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵FD⊥AD，FG⊥AB，
∴FD＝FG，设FD＝FG＝x，
∵S△ABD＝S△ADF+S△ABF，
∴××＝×x+×4x，
解得：x＝，
∴DF＝．
4．解：（1）OC＝5；
（2）①解法一：设D点的横坐标为m，由已知得，
它的纵坐标为：﹣m+5
∴BC＝OA＝m，CA＝CE+AE＝m+1，
在Rt△OAC中，OA2+OC2＝AC2，即m2+52＝（m+1）2，
解得m＝12．
∴，即D点的坐标为；
解法二：设D点的横坐标为m，由已知得，
它的纵坐标为：﹣m+5，∴AD＝﹣m+5，DE＝AB﹣AD＝m，
在Rt△ADE，EA2+ED2＝AD2，即12+（m）2＝（﹣m+5）2，解得m＝12，
∴﹣m+5＝，即D点的坐标为（12，）；
解法三：设D点的横坐标为m，由已知得，它的纵坐标为：﹣m+5，
在Rt△OAC和Rt△ADE中，∠AOC＝∠AED＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∠OAC+∠EAD＝90°，
∴∠ACO＝∠EAD，
∴Rt△OAC∽Rt△ADE，
∴，即：，解得m＝12，
∴﹣m+5＝，即D点的坐标为（12，）；
②由于△BCD和△CDE关于直线L对称，
所以⊙P与直线AC相切，与DE相交相当于与直线BC相切，与BD相交，
过点P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N；作PH⊥AB，交AB于H，
由题意知：只要PN＞PH即可，
PN＝MN﹣PM＝，PH＝12﹣m，即：＞12﹣m，解得m＞10，
又P在线段CD上，所以m≤12，
即m的取值范围是10＜m≤12．
5．解：（1）四边形CEFG为菱形，证明过程如下：
由折叠性质可得：
EF＝CE，CG＝FG，∠CEG＝∠FEG，
∵FG⊥AD，四边形ABCD为矩形，
∴∠DFG＝∠EDF＝90°，
∴FG∥CD，
∴∠EGF＝∠CEG，
∴∠EGF＝∠FEG，
∴FG＝EF＝CE，
∴四边形CEFG为菱形；
（2）∵AB＝6，AD＝10，
∴BF＝BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
在Rt△ABF中，AF＝，
即AF＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝2，
设EF＝x，则
CE＝EF＝x，
∴DE＝CD﹣CE＝6﹣x，
在Rt△DEF中，DE2+DF2＝EF2，
即（6﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积为CE•DF＝×2＝．
6．解（1）四边形AECF是菱形．
理由如下：
根据折叠的性质得OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD//BC，
∴∠FAC＝∠ECA，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）设菱形的边长为x，则：
BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得BE2+AB2＝AE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴AF的长为5．
7．（1）解：设直线l的解析式y＝kx+b（k≠0）．
∵矩形OABC的边长OA＝4，AB＝3，E是OA的中点，
∴OC＝AB＝3，OE＝2，
∴E（2，0），C（0，3）．
∴，
解得，，
∴直线l的解析式y＝﹣x+3；
（2）证明：如图2，连接EG．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠COA＝∠OAB＝90°．
又根据折叠是性质得到∠COE＝∠CFE＝90°，OE＝EF，
∴∠EFG＝∠EAG＝90°．
又∵E是OA的中点，
∴OE＝EF，
∴EF＝EA，
∴在Rt△EFG和Rt△EAG中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EAG（HL），
∴GF＝GA；
（3）解：由（2）知，GF＝GA，根据折叠的性质知OC＝CF＝3．
∵BG＝AB﹣AG＝3﹣AG，CG＝CF+GF＝3+GA，AE＝2，
∴在直角△CBG中，由勾股定理得：CG2＝BC2+BG2，即（3+AG）2＝（3﹣AG）2+42，
解得，AG＝．
∵由（1）知，Rt△EFG≌Rt△EAG，
∴SRt△EFG＝SRt△EAG，
∴S四边形AGFE＝2SRt△EAG＝2×AE•AG＝2××2×＝，即四边形AGFE的面积是．
8．解：∵△DEB是由△DEA翻折，
∴AE＝EB，AD＝DB，
设AE＝EB＝x，
∵AC＝8，BC＝6，
∴EC＝8﹣x，
在RT△EBC中，EB2＝EC2+BC2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
∴x＝，
∵∠C＝90°，
∴AB＝＝10，
∴AD＝DB＝5，
在RT△AED中，∵ED＝，
∴ED＝＝．
9．解：（1）在Rt△ABC中，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝．
（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，
在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得＝．
10．解；由题意得，在△ACB中，∠C＝90°
∵∠ABC＝45°
∴∠A＝45°
∴∠ABC＝∠A
∴AC＝BC
∵BC＝4
∴AC＝4（3分）
由AC2+BC2＝AB2得
AB＝；
所以此树在未折断之前的高度为（4+）米．
11．（1）在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以AC＝＝10m；
∴此树原高＝10+6＝16m．
（2）两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从D点飞到A点，所以最短距离为：
AD＝＝m；
（3）在直角三角形ABC中，AB＝8m，AC＝10m，则BC＝＝6m，
现将梯子顶端下移至D点，则BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE中，
BE＝＝8m，8m﹣6m＝2m，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m．
12．解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
13．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺．
14．（1）解：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3．
（2）证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF．
15．解：（1）①过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，
∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
∴52﹣（8﹣CH）2＝72﹣CH2，
解得：CH＝5.5，
∴AH＝＝，
∴S△ABC＝8×＝10；
②连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，设⊙O的半径为r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝r，
∴×5r+rr＝10，
∴r＝；
∴⊙O的半径为；
（2）如图2中，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，设⊙O的半径为r，
点O在△ABC外部OE﹣OD＝OF＝r，
由S△ABC＝S△AOC+S△ABO﹣S△BCO，可得10＝×8×r+×7×r﹣×5×r，
∴r＝2，
∴⊙O的半径为2．
16．解：将长方体展开，连接AB，
根据两点之间线段最短，AB＝＝5（cm）；
∴所用细线最短为5cm．
17．解：将台阶展开，如下图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，
所以AB2＝AC2+BC2＝169，
所以AB＝13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
18．解：展开圆柱的半个侧面是矩形．
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即3π≈9，矩形的宽是圆柱的高12．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线AB的长，即AB＝＝＝15厘米．
19．解：（1）∵菱形的对角线互相垂直，
∴菱形是垂美四边形，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC⊥BD，
∴当AB＝AD，CB＝CD的四边形ABCD是垂美四边形，
故答案为：③④；
（2）猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）∵BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，
∴AD＝AC＝2，BE＝BC＝，DE＝AB，
∵AE⊥BD，
∴AB2+ED2＝AD2+BE2，
∴AB2＝4+，
∴AB＝．
20．解：（1）证明：如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①方法一：连接PC、AQ交于点D，如图2，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5）2+（4）2＝32+PQ2；
∴PQ＝．
②连接PC、AQ交于点D，如图3，
同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN＝PC，
∵MN＝2，
∴AQ＝PC＝4．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝，
∴S△ABC＝×BC×BE＝＝．
方法二：
连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，
由①得，△BPC≌△BAQ，
∴PC＝AQ＝2MN＝4，PC⊥AQ，
∴∠PBM＝∠QBC＝90°，
∴∠PBQ+∠ABC＝180°，
即∠QBH＝∠CBA，
∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，
∴△BQH≌△BCA（SAS），
∴S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，
∴S△ABC＝
＝
＝．
故答案为：．