数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数练习

这是一份数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数练习，共18页。试卷主要包含了4幂函数，5)－3；，；，5在上是为增函数，且0等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．幂函数的图象经过点，则 ( )
A．B．C．D．2
2．已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
3．下列命题正确的是( )
A．幂函数的图象都经过、两点
B．当时，函数的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
4．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为
A．1 B． C． D．2
5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ ）
A．，1，3B．，1C．，3D．1，3
6．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数的图象可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)
8．幂函数的图象经过点，则等于
A．2 B． C． D．
9．设，，，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
10．若幂函数的图象过点，则函数的零点是
A．B．9C．D．
11．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
① ② ③ ④
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，② ，③，④
D．①，②，③，④
12．已知函数是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（ ）
A．B．C．1D．或1
二、填空题
13．已知幂函数过点，则________．
14．已知幂函数的图象经过点，则_______.
15．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为_______.
16．幂函数y=,当取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=,y=的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么等于_____.
三、解答题
17．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)－3，(－2.5)－3；(2)，；
(3)，，
18．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值．
19．已知函数,为何值时，是：
（1）反比例函数；
（2）幂函数.
20．已知幂函数的图象经过点.
（1）求实数 的值；
（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.
21．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即．
（1）使用五点作图法，画出的图象，并注明定义域；
（2）求函数的值域．
22．已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数在区间上的值域．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4幂函数
一、选择题
1．幂函数的图象经过点，则 ( )
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
幂函数的图象经过点，
则，解得；
∴，
∴．
故选：B．
2．已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】D
【解析】
∵幂函数y＝xa的图象经过点（9，3），∴ ，得，∴此函数是，是非奇非偶函数．
故选：D．
3．下列命题正确的是( )
A．幂函数的图象都经过、两点
B．当时，函数的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【答案】D
【解析】
对于A: 幂函数的图象都经过点（1，1），当n≤0时，不过（0，0）点，故A不正确；
对于B：当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线y＝1，除去（0，1）点，故B不正确；
对于C：当两个幂函数的图象有三个交点，如y=x与y=x3有三个交点，这两个函数不相同，故C不正确；
对于D：因为幂函数的图象都经过点（1，1）且为偶函数时，所以图象一定经过点，故D正确.
故选：D.
4．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
幂函数在区间上单调递减，
，
由选项可知，实数m的值可能为．
故选：C．
5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ ）
A．，1，3B．，1C．，3D．1，3
【答案】D
【解析】
当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；
当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；
当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；
故选：D．
6．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数的图象可能是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】
幂函数y为增函数，且增加的速度比价缓慢，
只有④符合．
故选：D．
7．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)
【答案】D
【解析】
本题主要考查的是幂函数的图像与性质.设幂函数为，因为图像过，所以.由幂函数的性质：当时，在上是减函数.又为偶函数，所以在上是增函数.应选D.
8．幂函数的图象经过点，则等于
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
幂函数的图象经过点，
，
解得．
故选：B．
9．设，，，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为y＝x0.5在（0，+∞）上是为增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a＞b．
c＝lg0.30.2＞lg0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5．
所以b＜a＜c．
故选：C．
10．若幂函数的图象过点，则函数的零点是
A．B．9C．D．
【答案】B
【解析】
∵幂函数f（x）＝xα的图象过点，
∴f（2）＝2α，解得，
∴f（x），
∴函数g（x）＝f（x）﹣33，
由g（x）＝f（x）﹣33＝0，得x＝9．
∴函数g（x）＝f（x）﹣3的零点是9．
故选：B．
11．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）

① ② ③ ④
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，② ，③，④
D．①，②，③，④
【答案】B
【解析】
②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ
故选：Ｂ．
12．已知函数是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（ ）
A．B．C．1D．或1
【答案】C
【解析】
函数f（x）=（3m2-2m）xm是幂函数，
则3m2-2m=1，解得m=1或m=-，
又f（x）为增函数，
则m=1满足条件，
即m的值为1．
故选：C．
二、填空题
13．已知幂函数过点，则________．
【答案】
【解析】
设，则，，
所以，填．
14．已知幂函数的图象经过点，则_______.
【答案】5
【解析】
由题意，幂函数，所以，即，
又由函数的图象经过点，即，所以，则.
15．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为_______.
【答案】
【解析】
由题意知，故，
由于为上的偶函数且在上递增，
故即为，
所以，解得.
16．幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于_____.

【答案】1.
【解析】
由条件,得M,N,
可得,
即α=l,β=l.
所以αβ=l·l=1.
三、解答题
17．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)－3，(－2.5)－3；(2)－8，－()；
(3)4.1，3.8，(－1.9).
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
(1)∵幂函数y＝x－3在(－∞，0)上为减函数，且－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(2)∵幂函数y＝x在(－∞，0)上为增函数，
又－8＝－()， >，∴()>()，
从而－()<－()，∴－8<－().
(3)∵4.1>1＝1,0<3.8<1＝1，(－1.9) <0，∴4.1>3.8>(－1.9) .
18．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值．
【答案】1
【解析】
在上是减函数，
，故，
又或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
综上知，，故答案为1.
19．已知函数,为何值时，是：
（1）反比例函数；
（2）幂函数.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）若是反比例函数，
则.
（2）若是幂函数，
则.
20．已知幂函数的图象经过点.
（1）求实数 的值；
（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）∵的图象经过点，
∴，即，解得.
（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，
∴ ，
即.∴ 在区间（0，+∞）上是减函数.
21．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即．

（1）使用五点作图法，画出的图象，并注明定义域；
（2）求函数的值域．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）的图象，如图：函数的定义域为．

（2）设，则 ，当时取等号，
故值域为．
22．已知幂函数的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数在区间上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设，则，
则，
所以.
（2）因为，
且函数在区间上为增函数，
所以时，有最大值-1，
时，有最小值-3.
所以函数在上的值域为.