人教B版 (2019)第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.7 数学建模活动:生长规律的描述课堂检测

这是一份人教B版 (2019)第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.7 数学建模活动:生长规律的描述课堂检测，共18页。试卷主要包含了7 数学建模活动，5x2–2，477，lg2＝0等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图是我国2008年—2017年年增量统计图．下列说法正确的是（ ）
A．2009年比2008年少
B．与上一年比，年增量的增量最大的是2017年
C．从2011年到2015年，年增量逐年减少
D．2016年年增长率比2012年年增长率小
2．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y=2x–1B．y=x2–1C．y=2x–1D．y=1.5x2–2.5x+2
3．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x
4．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)( )
A．44小时 B．45小时
C．46小时 D．47小时
5．已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则( )
A．甲车间大于乙车间 B．甲车间等于乙车间
C．甲车间小于乙车间 D．不确定
6．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（ ）
A．B．
C．D．
7．某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alg2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
8．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t，水面高度y由图所示，图中PQ为一线段，与之对应的容器的形状是（ ）
A． B．
C． D．
9．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该 市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
10．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
11．有一组试验数据如表所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是( )
A．y＝2x＋1－1B．y＝x2－1
C．y＝2lg2xD．y＝x3
12．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
二、填空题
13．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1．25%，则________年我国人口将超过20亿．(≈0．301 0，≈0．477 1，≈0．845 1)
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为______________元（用数字作答）.
15．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量（单位：万斤）与年份（记2015年为第1年）之间的关系统计如下：
则近似符合以下三种函数模型之一：①；②；③.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.
16．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．
某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元
三、解答题
17．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2lg5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元．
18．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入台，且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
19．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝lg2x；⑤y＝＋1.74
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
20．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
21．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年，2016年，2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
22．函数的定义域为，①在上是单调函数，②在上存在区间，使在 上的值域为，那么称为上的“减半函数”
（1）若，（），试判断它是否为“减半函数”，并说明理由
（2）若，（），为“减半函数”，试求的范围
4.7 数学建模活动：生长规律的描述
一、选择题
1．如图是我国2008年—2017年年增量统计图．下列说法正确的是（ ）

A．2009年比2008年少
B．与上一年比，年增量的增量最大的是2017年
C．从2011年到2015年，年增量逐年减少
D．2016年年增长率比2012年年增长率小
【答案】D
【解析】
A无法确定，因为此图是增量图，具体2009年和2008的GDP是多少未知；与上一年相比增量最大的应该是2010年，故B错，C明显错误，2013年的增量在增加，故选D.
2．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y=2x–1B．y=x2–1C．y=2x–1D．y=1.5x2–2.5x+2
【答案】A
【解析】
将各数据代入y=2x–1，总成立，代入其它函数不能恒成立，故选A．
3．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x
【答案】B
【解析】
根据题意，得y=a（1–p%）x，∵x是年数，又由题意04．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)( )
A．44小时 B．45小时
C．46小时 D．47小时
【答案】C
【解析】
1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×()x(x∈N*)．
由100×()x>1010，得()x>108，两边取以10为底的对数，得xlg>8，
∴x>.∵＝≈45.45，∴x>45.45，
∴至少经过46小时，细胞总数超过1010个．
5．已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则( )
A．甲车间大于乙车间 B．甲车间等于乙车间
C．甲车间小于乙车间 D．不确定
【答案】A
【解析】
设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2017年1月份均为m，则由题意得m＋6a＝m×(1＋x)6.①
4月份甲车间的月产值为m＋3a,4月份乙车间的月产值为m×(1＋x)3，
由①知，(1＋x)6＝1＋，即4月份乙车间的月产值为m＝ ，∵(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2＞0，∴m＋3a＞，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值．
故答案为：A.
6．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意
当时，在第一象限内是减函数，
当时，在第一象限内没有图象，
故不适合．
故选：D．
7．某种动物繁殖数量 y(只)与时间x(年)的关系为 y＝alg2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
【答案】A
【解析】
由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alg2（x+1），这种动物第1年有100只
∴100=alg2（1+1），
∴a=100，
∴y=100lg2（x+1），
∴当x=7时，y=100 lg2（7+1）=100×3=300．
故选：A．
8．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t，水面高度y由图所示，图中PQ为一线段，与之对应的容器的形状是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状，
并且一开始先慢后快，所以下边粗，上边细，
再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，
故排除A,C,D，
故选B.
9．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该 市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
【答案】C
【解析】
对于A，由图象可知当速度大于时，乙车的燃油效率大于，所以当速度大于时，消耗1升汽油，乙车的形式距离大于，所以是错误的；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，所以以相同的速度行驶相同的路程，三辆车中，甲车消耗的汽油最少，所以是错误的；
对于C，由图象可知当速度小于时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，所以用丙车比用乙车更省油，所以是正确的；
对于D，右图可知当速度为时，甲车的燃油效率为，即甲车行驶时，耗油1升，故行驶1小时，路程为，燃油为8升，所以是错误的，故选C.
10．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）

A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【答案】A
【解析】
根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，
因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型，
故选A.
11．有一组试验数据如表所示：

则最能体现这组数据关系的函数模型是( )
A．y＝2x＋1－1B．y＝x2－1
C．y＝2lg2xD．y＝x3
【答案】B
【解析】
选B 由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1>4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.
12．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）

A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
【答案】D
【解析】
由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；
取点（0，1），（1，4），（2，16），设一次函数y=kx+b（k≠0），则，
解得b=1，k=3，即y=3x+1，而当x=2时，y=7，所以不是一次函数模型；
设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），则 解得 ，
即 当x=-1时，y＝7，故不满足题意；
设指数函数y=ax（a＞0，a≠1），则 ，∴a=4，解得指数函数y=4x，
代入其他x值，验证：f（-1）=4-1=0.25接近0.26；f（0）=1接近1.11；f（1）=4接近3.96；f（3）=43=64接近63.98．
由上面验证可知，故选D.
二、填空题
13．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1．25%，则________年我国人口将超过20亿．(≈0．301 0，≈0．477 1，≈0．845 1)
【答案】2037.
【解析】
由已知条件：%），
所以，
则，即．
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为______________元（用数字作答）.
【答案】148.4
【解析】
高峰时间段的电费为：（元），低谷时间段的电费为：（元），
所以该家庭本月应付的电费为（元）.
故答案为：148.4.
15．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量（单位：万斤）与年份（记2015年为第1年）之间的关系统计如下：
则近似符合以下三种函数模型之一：①；②；③.则你认为最适合的函数模型的序号是_______________.
【答案】①
【解析】
符合条件的是f（x）＝ax+b，
若模型为f（x）＝2x+a，则由f（1）＝2+a＝4，得a＝2，即f（x）＝2x+2，
此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f（x），则由f（1）＝＝4，得＝3，即f（x）＝，
此时f（2）＝7，f（3）＝12，f（4）＝17，与已知相差太大，不符合．
由已知得，解得a，b，
∴f（x）x，（x＝1，2，…，6，7）经验证x＝2，4，符合的比较好．
故答案为：①
16．2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额．
某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元
【答案】790
【解析】
结合题意可得企业员工今年10月份的月工资为15000元，个人所得税属于2级，
则应缴纳的个人所得税为
元
故答案为：790
三、解答题
17．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2lg5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元．
【答案】（1）见解析 ；（2）老张的销售利润是34万元.
【解析】
（1）由题意得；
（2）由x∈（0，10]，0.16x≤1.6，
而y＝5.6，∴x＞10．
因此1.6+2lg5（x﹣9）＝5.6，解得x＝34（万元）．
∴老张的销售利润是34万元．
18．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入台，且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．
（1）求的值；
（2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）；（2）只需每批购入台，可以使资金够用
【解析】
（1）设全年需用去的运费和保管费的总费用为元
题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批费用元
由题意知：
当时，
解得：
（2）由（1）可得：（元）
当且仅当，即时等号成立
故只需每批购入台，可以使资金够用
19．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：

现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝lg2x；⑤y＝＋1.74
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
【答案】④
【解析】画出散点图如图所示．

由图可知上述点大体在函数y＝lg2x的图象上，故选择y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.
答案：④
20．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
【答案】（1），；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
【解析】
试题分析：（1）由图可知，点在曲线上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得.同理在曲线上，将其代入曲线的方程可求得.（2）设投资甲商品万元，乙商品万元，则利润表达式为，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元.
试题解析：
（1）由题知，在曲线上，
则，
解得，即.
又在曲线上，且，则，
则，所以.
（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，
投资获得的利润为万元，则

，
令，
则.
当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），
答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
21．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年，2016年，2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
【答案】用作模拟函数较好．
【解析】
若以作模拟函数，
则依题意得：⇒，∴.
若以作模拟函数，
则⇒，∴.
利用，对2018年CO2浓度作估算，
则其数值分别为：单位，单位，
∵||>||，
故作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用作模拟函数较好．
22．函数的定义域为，①在上是单调函数，②在上存在区间，使在 上的值域为，那么称为上的“减半函数”
（1）若，（），试判断它是否为“减半函数”，并说明理由
（2）若，（），为“减半函数”，试求的范围
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）若，（），
则为单调增函数
存在，，
其值域为
满足“减半函数”
（2）当，原函数为单调减函数
复合部分也为单调减函数
故此时，函数为单调递增函数
当时,
为单调递增函数
复合部分也为单调增函数
故此时，函数为单调递增函数
故无论，还是，函数在定义域内为单调递增函数
可得：
，
是方程的两个不同的根，令，
则方程有两个不等的正根
即
解得
故，
检验由知：满足题设要求.
1
2
3
…
1
3
5
…
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量
（单位：千瓦时）
高峰电价
（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
1
2
3
4
4.00
5.62
7.00
8.86
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3000元的部分
2
超过3000元至12000元的部分
3
超过12000元至25000元的部分
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
1
2
3
…
1
3
5
…
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量
（单位：千瓦时）
高峰电价
（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
1
2
3
4
4.00
5.62
7.00
8.86
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3000元的部分
2
超过3000元至12000元的部分
3
超过12000元至25000元的部分
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00