高中4.1.2 指数函数的性质与图像达标测试

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4.1.2指数函数的性质与图象
一、选择题
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．方程4x-3•2x+2=0的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．函数在上的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数，且在R上是增函数
B．函数是偶函数，且在R上是增函数
C．函数是奇函数，且在R上是减函数
D．函数是偶函数，且在R上是减函数
5．不等式的解集是( )
A． B． C． D．
6．已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
8．设函数 且是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．当时，不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．给出下列4个判断：
①若f（x）=x2-2ax在[1，+∞）上增函数，则a=1；
②函数f（x）=2x-x2只有两个零点； ③函数y=2|x|的最小值是1；
④在同一坐标系中函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
12．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为
A．4B．5C．6D．7
二、填空题
13．函数的值域是_____．
14．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．
15．函数恒过定点_____
16．已知f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则f（2a）+f（-2a）=______
三、解答题
17．求函数在区间上的最大值和最小值.
18．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过的（-2，16）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范围．
19．已知函数f（x）=2x-1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
20．已知函数。
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式 。
21．函数是奇函数．
求的解析式；
当时，恒成立，求m的取值范围．
22．已知关于的函数 ，定义域为
（1）当时，解不等式；
（2）若函数有零点，求的取值范围.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1指数与指数函数
4.1.2 指数函数的性质与图象
一、选择题
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
集合＝{y|0则∁RA＝（﹣∞，0]，
故选D.
2．方程4x-3•2x+2=0的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意，设t=2x，
则t2-3t+2=0，
解可得：t=1或t=2，
若t=1，即2x=1，则x=0，
若t=2，即2x=2，则x=1，
则方程4x-3•2x+2=0的解集为{0，1}；
故选：C．
3．函数在上的最大值与最小值的差为2，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，
且y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上最大值与最小值的差为2，
即|a﹣a2|＝2，
所以a﹣a2＝2或a﹣a2＝﹣2；
即a2﹣a+2＝0或a2﹣a﹣2＝0，
解得a＝2或a＝﹣1（不合题意，舍去）；
所以a＝2．
故选：B
4．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数，且在R上是增函数
B．函数是偶函数，且在R上是增函数
C．函数是奇函数，且在R上是减函数
D．函数是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
的定义域为R，且；
∴是奇函数；
又和都是R上的增函数；
是R上的增函数．
故选：A．
5．不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为y＝2x在R上是增函数，，
所以2x﹣7<4x﹣1，
即x>﹣3
所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，
故选D.
6．已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意，可得，f（x）单调递减；
同时有，，即函数图象与y轴交点在（0，1）之下；
A、D选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在（0，1）之上，不符合；
只有B的图象符合两点，
故选：B．
7．已知函数，若，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，解得，故选A.
8．设函数 且是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵函数（a＞0且a≠1）是R上的减函数，
∴，
∴a＜1，
故选：A．
9．当时，不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，不等式可转化为
，
当时，
解得
取不到，故
故选
10．如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2+bx的对称轴0可排除B与D，
又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，y<0，故A不正确．
故选C．
11．给出下列4个判断：
①若f（x）=x2-2ax在[1，+∞）上增函数，则a=1；
②函数f（x）=2x-x2只有两个零点； ③函数y=2|x|的最小值是1；
④在同一坐标系中函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】
①二次函数的对称轴为，要使函数在上是增函数，则，所以①错误．
②令，分别作出的图象，
由图象观察，有一个交点，
时，，4两个交点，共3个交点，故②错．
③，所以函数的最小值是1， 所以③正确．
④函数图象上的任意点关于轴对称的点总在函数为图象上，所以在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称所以④正确，故选C．
12．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】
如图所示：
则的最大值为与交点的纵坐标，
由，得
即当时，．
故选：B．
二、填空题
13．函数的值域是_____．
【答案】
【解析】
因为在单调递增，所以的值域为，∴的值域为（﹣1，+∞）
故答案为：（﹣1，+∞）．
14．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．
【答案】（2，+∞）
【解析】
∵指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，
∴a﹣1＞1，
即a＞2，
故a的取值范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．
15．函数恒过定点_____
【答案】（1,2）
【解析】
函数过定点（0，1）
当时，
此时
故过定点
故答案为
16．已知f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则f（2a）+f（-2a）=______
【答案】
【解析】
根据题意，f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则3-a+3a=3，
f（2a）+f（-2a）=3-2a+32a=（3-a+3a）2-2=7；
故答案为：7．
三、解答题
17．求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】最大值53，最小值4
【解析】
∵，
令，，则，
对称轴，则在上单调递减；在上单调递增.
则，即时，；，即时，.
18．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过的（-2，16）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范围．
【答案】（1）f（x）=； （2）m＜2.
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（-2，16），
∴a-2=16
∴a=，即f（x）=，
（2）∵f（x）=为减函数，f（2m+5）＜f（3m+3），
∴2m+5＞3m+3，
解得m＜2．
19．已知函数f（x）=2x-1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由已知条件可得f（1）=20+a=1+a=2，解得a=1；
（2）由，得，即2x-1≤1=20，即x-1≤0，解得x≤1，
因此，实数x的取值范围是（-∞，1]．
20．已知函数。
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式 。
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）或.
【解析】
（1）易知函数，.
所以定义域为.
（2）由，从而知为偶函数；
（3）由条件得，得，解得或.
所以不等式的解集为：或.
21．函数是奇函数．
求的解析式；
当时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
函数是奇函数，
，
故，
故；
当时，恒成立，
即在恒成立，
令，，
显然在的最小值是，
故，解得：．
22．已知关于的函数 ，定义域为
（1）当时，解不等式；
（2）若函数有零点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
令，由可得.
(1)当时，函数可化为，
原不等式可化为或
又故即
可得
所以不等式解集为
（2）有零点即方程有解，
即在上有解，
又在上是减函数，在上是增函数，
故当时，；当时，，
即函数的值域为，则
故的取值范围是