湖南省长沙市第一中学等名校联考联合体2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学等名校联考联合体2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试题（含解析），共6页。

1. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，求交集即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2. 已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法求得 SKIPIF 1 < 0 ，再求模长即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3. 已知点 SKIPIF 1 < 0 分别位于四面体的四个侧面内，点 SKIPIF 1 < 0 是空间任意一点，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 四点共面”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 转化成 SKIPIF 1 < 0 ，即可判定 SKIPIF 1 < 0 四点共面，反之则不能成立.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 四点共面，所以充分性成立；
但当 SKIPIF 1 < 0 四点共面时，
存在 SKIPIF 1 < 0 ，可知必要性不成立.
故选：A.
4. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线过点 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，则弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.
【详解】解：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，
当直线过圆心 SKIPIF 1 < 0 时，弦长 SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 时，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时弦长 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D.
5. 区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024 SKIPIF 1 < 0 ，则密码一共有 SKIPIF 1 < 0 种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行 SKIPIF 1 < 0 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 SKIPIF 1 < 0 次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为( )(参考数据： SKIPIF 1 < 0 )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由对数和指数的运算法则即可求解.
【详解】设计算机在一般状态下破译该密码所需的时间为 SKIPIF 1 < 0 秒，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
两边取常用对数，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
6. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线定义及性质得 SKIPIF 1 < 0 ，在△ SKIPIF 1 < 0 中应用余弦定理求得参数关系，即可求离心率.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7. 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，现以 SKIPIF 1 < 0 为旋转轴旋转 SKIPIF 1 < 0 得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】作出旋转体的轴截面，利用几何关系求出内切球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出内切球的体积.
【详解】如图所示，旋转体的轴截面是边长为3的菱形，设 SKIPIF 1 < 0 为内切球的球心.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以内切球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，故内切球的体积 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
8. 已知点 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 及差角正切公式、基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 求参数c，进而求参数a，即可得椭圆方程.
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，直线l为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆对称性，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为第二象限的点，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
又 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9. 为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0
B. 得分在区间 SKIPIF 1 < 0 内的学生人数为200
C. 该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80
D. 估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间 SKIPIF 1 < 0 内
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可.
详解】对于A，由频率分布直方图性质得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于B，由频率分布直方图得：成绩落在区间 SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以人数为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，由频率分布直方图得： SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以成绩的中位数位于区间 SKIPIF 1 < 0 内，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于D，估计成绩的平均数为： SKIPIF 1 < 0 ，所以成绩的平均数落在区间 SKIPIF 1 < 0 内，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是( )
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0
C. 函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
D. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到的是一个偶函数的图象
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数 SKIPIF 1 < 0 的周期可判断A；计算 SKIPIF 1 < 0 是否等于0可判断B；求出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间可判断C；根据图象的平移规律可判断D.
【详解】对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0 满足条件，故B正确；
对于C，令 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故C正确；
对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后得到 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 交于点O，M是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则( )
A. 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B. 存在点M，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. 点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离与点M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为定值
D. 存在点M，使直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，利用向量法判断CD，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断A选项.根据线面平行的判定定理判断B即可求解.
【详解】以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,因为底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，故 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ,所以当 SKIPIF 1 < 0 与D重合时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大且为 SKIPIF 1 < 0 ，故A对.
当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离
SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为30°
则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，无解，
故D错误；
故选：ABC
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且对定义域内的任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 是以2为周期的周期函数
C. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称
D. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数 SKIPIF 1 < 0 的性质，分别画出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图像即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，①
又对定义域内的任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，②所以其图象关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，
由①②得： SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为2，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，其图象关于y轴对称，
分别画出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图像如下：
可知ABC正确，D错误，
故选：ABC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 为单位向量.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据投影向量的定义可求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 写出过点 SKIPIF 1 < 0 ，且横､纵截距的绝对值相等的一条直线方程___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (写出任意一条即可)
【解析】
【分析】根据题意利用直线的截距式方程列式求解，注意讨论截距是否为0.
【详解】设直线的横､纵截距分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，直线经过原点时，横､纵截距都为0
∴直线过原点，设为 SKIPIF 1 < 0
代入点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，直线不经过原点时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
∴直线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (写出任意一条即可).
15. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.75
【解析】
【分析】利用平方关系、正弦的二倍角公式和弦化切计算可得答案.
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同于点 SKIPIF 1 < 0 的一点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性,由 SKIPIF 1 < 0 可知点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，设出直线AN的方程，求出直线与x轴的交点坐标，再根据面积公式即可求出．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由于抛物线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，若抛物线 SKIPIF 1 < 0 上存在不同于点 SKIPIF 1 < 0 的一点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：8.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是内角 SKIPIF 1 < 0 的对边.已知 SKIPIF 1 < 0
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 化简求解.
(2)由(1) SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
解：由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1) SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值之和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据指对数函数的单调性得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程得 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)根据题意，将问题转化为对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，进而求函数的最值即可.
【详解】解：(1)因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性相同，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 (舍)
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立求解.
19. 已知圆：M： SKIPIF 1 < 0 .关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，记点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 .的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，求切点 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)圆关于直线对称则直线过圆心，再根据切线长可分析求解 SKIPIF 1 < 0 的最小值；(2)当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，直线 SKIPIF 1 < 0 垂直直线 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求两个相交的圆的公切线即为切点 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程.
【小问1详解】
因为圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值即为 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)知，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，直线 SKIPIF 1 < 0 垂直直线 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，
故以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆方程相减得 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若底面 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)先证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 .
(2)利用空间向量，只需求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【小问1详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示.
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 为直三棱柱，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，.
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为直三棱柱，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，则以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲､乙､丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲､乙､丙三名考生材料初审合格的概率分别是 SKIPIF 1 < 0 ，面试合格的概率分别是 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
(2)求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；
(3)求甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)甲､乙两位考生中有且只有一位获得录取资格，求 SKIPIF 1 < 0 即可.
(2)只需求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件的概率即可.
(3)由独立事件的乘法公式即可求解.
【小问1详解】
设事件A表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
事件 SKIPIF 1 < 0 表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 甲､乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设事件 SKIPIF 1 < 0 表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的
对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
SKIPIF 1 < 0 三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
记 SKIPIF 1 < 0 为甲､乙､丙三名考生中获得该高校综合评价录取资格的人数，
则甲､乙､丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数为1人或2人的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，.
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，下顶点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上位于第一象限内一动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 .直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)设直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同于右顶点 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为定值2
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)依据点斜式表示出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，列出 SKIPIF 1 < 0 的表达式化简即可得面积为2.
(2)由根与系数的关系，可得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【小问1详解】
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
同理，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
即四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为定值2.
【小问2详解】
由题意知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，
则不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简整理，得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)，.
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．