北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}
2．命题∀x∈（﹣1，0），x2+x＜0的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣1，0），x2+x＞0B．∀x∈（﹣1，0），x2+x≤0
C．∃x∈（﹣1，0），x2+x＞0D．∃x∈（﹣1，0），x2+x≥0
3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝﹣|x|B．y＝x2C．y＝x3D．
4．已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+，则f（﹣1）+f（0）＝（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
5．已知a＞b＞c，a+b+c＝0，则下列结论一定正确的是（ ）
A．a+c＞0B．a+b＜0C．ab＞0D．ac＜0
6．函数f（x）＝x2﹣2x，x∈[﹣2，2]的值域是（ ）
A．[﹣1，0]B．[0，8]C．[1，8]D．[﹣1，8]
7．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数f（x）＝﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1]
C．（0，1）D．（0，1]
9．对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，我们把f（x）＝[x]，x∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ）
A．∃x∈R，[4x]＝4[x]+2B．∀x∈R，
C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]D．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则|x﹣y|＜1
10．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：
①每个集合都恰有5个元素；
②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（ ）
A．56B．72C．87D．96
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域是 ．
12．已知二次函数f（x）同时具有以下性质：
①f（x）有2个零点；
②f（x）在（0，+∞）上是增函数．
写出符合上述条件的一个函数f（x），其解析式为f（x）＝ ．
13．已知函数（t＞0）．
①当t＝1时，f（x）的值域为 ；
②若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则t的取值范围是 ．
14．有50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加一项．已知参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生有 人．
15．已知函数f（x）＝x2﹣|x+a|，下列命题中：
①∀a∈R，f（x）都不是R上的单调函数；
②∃a∈R，使得f（x）是R上偶函数；
③若f（x）的最小值是，则a＝﹣1；
④∃a＜0，使得f（x）有三个零点．
则所有正确的命题的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．求下列关于x的不等式的解集．
（1）x2﹣3x﹣10＞0；
（2）+1≤0；
（3）x2+2x+a（2﹣a）＜0．
17．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x|＜a}．
（1）当a＝2时，分别求A∪B，A∩∁RB；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．关于x的方程k2x2+2（k+1）x+1＝0（k≠0）有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k＝1时，求+的值；
（3）若，求实数k的值．
19．某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品．
（1）请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域；
（2）在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？
20．已知二次函数f（x）最小值为﹣9，且﹣1是其一个零点，∀x∈R都有f（2﹣x）＝f（2+x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[﹣1，a]上的最小值；
（3）是否存在实数a满足：对∀x∈[﹣1，a]，都有f（x）≥a﹣11恒成立？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，…，k}，
对于非空整数集合A，B，定义d（A，B）＝min{k∈N|A⊆B⊕k，B⊆A⊕k）．
（1）设M＝{2，4，6}，请直接写出集合M⊕1；
（2）设A＝{1，2，3，4，…，100}，d（A，B）＝1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
（3）对三个非空整数集合A，B，C，若d（A，B）＝4且d（B，C）＝1，求d（A，C）所有可能取值．