_广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学 试题

这是一份_广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学 试题，共31页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8B．7C．8或7D．9或8
2．某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在中，点是边上的点与、两点不重合，过点作，分别交、于、两点，下列说法正确的是（ ）

A．若平分，则四边形是菱形B．若，则四边形是菱形
C．若垂直平分，则四边形是矩形D．若，则四边形是矩形
4．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个B．36个C．40个D．42个
5．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15B．10C．7.5D．5
6．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，于H，连接OH，，，则（ ）．
A．2.4B．4.8C．9.6D．6
7．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（）
A．9B．C．15D．
8．如图，点E、F分别在正方形的边上，且垂直于，若，，则的周长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
10．如图，在中，，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
二、填空题
11．已知，且，则的值为 ．
12．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
13．如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为 ．
14．如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．
15．如图，点P是等边的一边上的任意一点，且，连接，作的垂直平分线交于M、N两点，则的值为 ．
三、解答题
16．在“双减”和“双增”的政策下，某校七年级开设了五门手工课，按照类别分别为：．剪纸；．沙画；．雕刻；．泥塑；．插花，每个学生仅限选择一项，为了了解学生对每种手工课的喜爱程度，随机抽取了七年级部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了__________名学生；扇形统计图中__________，类别所对应的扇形圆心角的度数是__________度；
(2)请根据以上信息直接补全条形统计图；
(3)在学期结束时，从开设的五门手工课中各选出一名学生谈感悟，由于这五名同学采用随机抽签的方式确定顺序，请用树状图或列表的方式说明剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位谈感受的概率．
17．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
18．如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图（1）中，以为位似中心，位似比为1：2，在格点上将放大得到；请画出
(2)在图（3）中，线段上作点，利用格点作图使得
(3)在图（2）中，利用格点在边上作一个点，使得．
19．如图，已知是等边三角形，点在边的延长线上，连接，以为边在直线的右侧作等边，延长交直线于点．
(1)求证：；
(2)过A作于点，若，，分别求及的长．
20．【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即（ ）=4；
第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：
【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________．
21．问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
22．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求及的长；
(3)若，求的值.
参考答案：
1．A
【详解】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一个数为4．
当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，
解得：n＝8；
当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，
解得：n＝7，此时，三边为4,7,7，三角形不存在
故选A．
2．D
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为，
故选：D．
3．A
【详解】解：、若平分，则四边形是菱形；正确；
B、若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C、若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；错误；
D、若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；错误；
故选：．
4．A
【详解】设盒子里有白球x个，
根据 得：

解得：x=32．
经检验得x=32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选；A．
5．D
【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴，
∴，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝×15＝5，
故选：D．
6．D
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，BD=2BO，AO=AC=8，
在Rt△AOB中，BO=
∴BD=2BO=12
∵DH⊥AB，O为BD的中点
∴OH=BD=6
7．C
【详解】m是一元二次方程的根，
m，n是一元二次方程的两个根，
，
8．B
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴，
则的周长．
9．B
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC=，
∴AP=+PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP=+PC，
∴PE=AP=+PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF=PC，
∴=+PC-PC=，
10．D
【详解】∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
方法1：如图1，作于G，
∵在中，，，
∴，
∵，
则，
设，则，
在中，，，
即．
方法2：如图2，作于，
设，则，，，
在中，，，
即．
11．
【详解】设，，，且，
∴
．
故答案为：．
12．
【详解】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
13．20
【详解】如图，设，则，，
设，，，，
由，
，
，
故答案为：20．
14．
【详解】解：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴,而，，
∴,
设，则,
同理可得：，
∴,
∴,
∴,
∴,即，
∴.
15．
∵是等边三角形，
∴
∵是的垂直平分线，
∴
又，
∴
∴
∴
又
∴
又
∴
∵
∴设则
故答案为
16．(1)120，25，54
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：（1）本次共调查的学生数为：36÷30%=120
m％=30÷120×100%=25%；
类别所对应的扇形圆心角的度数为360°×=54°
故答案为：120，25，54
（2）解：类别B的人数为120×5%=6
则补全的条形统计图如下图：
（3）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中，剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位的结果有2种，分别为，．
∴（剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位）．
即：剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位的概率是．
17．路灯的高度为6.3米
【详解】解：且
，，
，
设，则，
又，
，即，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：的高度是．
18．【详解】（1）在图中，以为位似中心，位似比为1：2，在格点上将放大得到，画出如下：
（2）在图（2）中，线段上作点，利用格点作图使得，则过点N的网格纵线于线段的交点即为所求点M．
（3）在图（3）中，利用格点在边上作一个点，使得如下：
19．【详解】（1）∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【类比迁移】：，；【拓展应用】2，3，
【详解】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）；
第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图：
第三步：
图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
表示边长，
，即，
故答案为：，；
【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．
∴长方形的长为，宽为x，即：，
∴，
∴，，方程的一个正根为：．
故答案为：2，3，．
21．【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
22．(1)等边三角形，理由见解析
(2)，
(3)的值为或
【详解】（1）在菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形．
（2）过B点作，垂足为P，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将射线绕点逆时针旋转60°，得到线段，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
（3）设，，
如图，过E点作交于H，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴的值为或．