高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0B．1
C．2D．无数个
3．函数在上的极大值点为（ ）
A．0B．C．D．
4．已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有且仅有一个极值点
B．有零点
C．若的极小值点为，则
D．若的极小值点为，则
6．（多选题）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．单调递增区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
二、填空题
7．已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
8．已知三次函数的图象如图所示，则________．
9．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
10．在处取得极值，则______.
三、解答题
11．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
12．已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）求函数在区间上的极值．
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 提高练
一、选择题
1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】A
【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个
2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0B．1
C．2D．无数个
【答案】A
【解析】，由得，方程无解，因此函数无极值点
3．函数在上的极大值点为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【详解】函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以使得函数取得极大值的的值为，故选：C.
4．已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，由于函数的图象与轴相切于点，则，解得，，，
令，可得或，列表如下：
所以，函数的极小值为.故选：A.
5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有且仅有一个极值点
B．有零点
C．若的极小值点为，则
D．若的极小值点为，则
【答案】AC
【详解】由题意得，的定义域为，且，设，则，∴在上单调递增，又，， 存在唯一零点，设为，当时，单调递减，当时，单调递增，∴有唯一极小值点，故选项A正确．令，得，两边同时取对数可得．∴（当且仅当时等号成立），又，∴，即，∴无零点，故选项B错误．由，可设，则．
当时，，∴在上单调递减．∴，即，
故选项C正确，选项D错误，故选：AC
6．（多选题）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．单调递增区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
【答案】AC
【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所以，，，∴的图象在点处的切线方程为，
即，故A正确；在上，，单调递增，
在上，，单调递减，故B错误，的极大值也是最大值为，故C正确；方程的解的个数，即为的解的个数，
即为函数与图象交点的个数，作出函数与图象如图所示：
由图象可知方程只有一个解，故D错误.故选：AC.
二、填空题
7．已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
【答案】11
【详解】
依题意可得，联立可得或；
当时函数，，
所以函数在上单调递增，故函数无极值，所以舍去；
所以，所以.
8．已知三次函数的图象如图所示，则________．
【答案】
【详解】解：由题意得，，且，由题图可知，是函数的极大值点，是极小值点，即，是的两个根，
由，解得：，
∵，，∴．
9．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】或
【详解】由题可知：，
因为函数在上存在极值点，所以有解
所以，则或
当或时，函数与轴只有一个交点，即
所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去
所以或，即或
10．在处取得极值，则______.
【答案】
【详解】解：由已知，因为在处取得极值，
，，
即，因为，，
，即，．
三、解答题
11．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【详解】
(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝ ，b＝ .
(2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x，
且函数f(x)＝ln xx2＋x的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝x－1x＋1＝ .
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点．
12．已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）求函数在区间上的极值．
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以.
因为在处的切线方程为.
所以，解得.
（2）因为，，
所以，
①当，即时，在恒成立，
所以在单调递增；所以在无极值；
②当，即时，在恒成立，
所以在单调递减，所以在无极值；
③当，即时，
变化如下表：
因此，的减区间为，增区间为．
所以当时，有极小值为，无极大值.
极大值
极小值
-
0
+
单调递减↘
极小值
单调递增↗