24.1 圆的有关性质 人教版九年级数学上册素养基础达标(含答案) 试卷

这是一份24.1 圆的有关性质 人教版九年级数学上册素养基础达标(含答案)，共30页。
24.1圆的有关性质【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
1.圆的概念
圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．

圆的表示法
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
确定一个圆需要的“两要素”
一是圆心，圆心确定其位置；
二是半径，半径确定其大小．
注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合．

结论
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长（半径r）．
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
数学语言
（1）∵点A、B在圆上
∴OA=OB
（2）∵OA=OB
∴点A、B在圆上
2.圆的有关概念
弦
定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径
注意：1.弦和直径都是线段；
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.
直径是最长的弦
弧
定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。以A、B为端点的弧记作
读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
劣弧
小于半圆的弧叫做劣弧,如
优弧
大于半圆的弧叫做优弧，如
等圆
定义;能够重合的两个圆叫做等圆.
等圆是两个半径相等的圆.

等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
注意：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
3.垂直于弦的直径
圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴.

垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

数学语言：
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件)
∴AP=BP，(结论)
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

数学语言：
∵CD是⊙O的直径，AP=BP，AB不是直径(条件)
∴CD⊥AB，(结论)
弓形中的重要数量关系
弦长a，弦心距d（指圆心O到弦的距离），弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r,

4.圆心角、弧、弦
圆是中心对称图形
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
圆心角定义
顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB.

弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

数学语言：
∵∠AOB=∠COD
∴，AB=CD
弧、弦与圆心角关系定理的推论
推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
数学语言：
∵
∴∠AOB=∠COD，AB=CD
推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD，（优弧或劣弧）
注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
5.圆周角
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即：


圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.

圆周角定理的推论2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

圆内接多边形的定义
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形的对角互补.
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°


素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图，是半圆的直径，是的中点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
2．如图，中，为优弧上一个动点（不与，两点重合），，垂足为，是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是　　

A．4 B． C．6 D．8
3．如图，中，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
4．如图，中，弦，相交于点，若，，则等于　　

A． B． C． D．
5．如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
6．如图，是半圆的直径，，在半圆上．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为　　

A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等，则下列等式正确的是　　

A． B．
C． D．
9．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于，两点．点，的度数是，，这样小明就能得到的度数，请你帮忙算算的度数是　　

A． B． C． D．
10．如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是　　

A．或 B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，量角器外沿上有、两点，它们的读数分别是、，则的度数为　　．

12．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是　 　．
13．如图，的弦垂直平分半径，若，则的半径为　 　．

14．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为 　　．

15．如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是 　　．

16．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为 　　．

17．如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 　　．

18．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为 　　．

三．解答题（共8小题）
19．如图，中，弦与相交于点，，连接，．求证：
（1）；
（2）．

20．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
21．如图，在中，弦、相交于点，，，求的度数．

22．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．

23．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．

24．已知线段、为的弦，且，求证：．

25．如图，点、、、、都在上，平分，且，求证：．

26．如图，、、、在上，，，求的周长．


24.1圆的有关性质【素养基础达标】
2023-2024学年人教版数学九年级上册
基础知识梳理
1.圆的概念
圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．

圆的表示法
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
确定一个圆需要的“两要素”
一是圆心，圆心确定其位置；
二是半径，半径确定其大小．
注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合．

结论
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长（半径r）．
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
数学语言
（1）∵点A、B在圆上
∴OA=OB
（2）∵OA=OB
∴点A、B在圆上
2.圆的有关概念
弦
定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径
注意：1.弦和直径都是线段；
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.
直径是最长的弦
弧
定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。以A、B为端点的弧记作
读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
劣弧
小于半圆的弧叫做劣弧,如
优弧
大于半圆的弧叫做优弧，如
等圆
定义;能够重合的两个圆叫做等圆.
等圆是两个半径相等的圆.

等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
注意：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
3.垂直于弦的直径
圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴.

垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

数学语言：
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件)
∴AP=BP，(结论)
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

数学语言：
∵CD是⊙O的直径，AP=BP，AB不是直径(条件)
∴CD⊥AB，(结论)
弓形中的重要数量关系
弦长a，弦心距d（指圆心O到弦的距离），弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r,

4.圆心角、弧、弦
圆是中心对称图形
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
圆心角定义
顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB.

弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

数学语言：
∵∠AOB=∠COD
∴，AB=CD
弧、弦与圆心角关系定理的推论
推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
数学语言：
∵
∴∠AOB=∠COD，AB=CD
推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD，（优弧或劣弧）
注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
5.圆周角
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即：


圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.

圆周角定理的推论2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

圆内接多边形的定义
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形的对角互补.
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°


素养基础达标
一．选择题（共10小题）
1．如图，是半圆的直径，是的中点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】由是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得的度数，继而求得的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得的度数，继而求得答案．
【解答】解：是半圆的直径，
，
，
，
，
是的中点，
，
．
故选：．
2．如图，中，为优弧上一个动点（不与，两点重合），，垂足为，是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是　　

A．4 B． C．6 D．8
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线，得出，当为直径时，最大，解答即可．
【解答】解：，垂足为，是的中点，
，
当为直径时，最大，
的半径为4，
当时，，
故选：．
3．如图，中，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，根据圆周角定理得出的度数，由直角三角形两锐角互余及等腰三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：．

4．如图，中，弦，相交于点，若，，则等于　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．
【解答】解：是的外角，
；
，，
；
．
故选：．
5．如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据是的直径，可得，进而可得，问题随之得解．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
6．如图，是半圆的直径，，在半圆上．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】先用直径所对的圆周角是直角求出，再用圆的内接四边形对角互补，求出即可．
【解答】解：连接，

是圆的直径，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
，
故选：．
7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为　　

A． B． C． D．
【分析】连接、交于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接、交于点，
由题意得，，
则，
设圆的半径为，则，
在中，，即，
解得，，
则该铁球的直径为，
故选：．

8．如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等，则下列等式正确的是　　

A． B．
C． D．
【答案】
【分析】连接、，如图，先证明为等边三角形得到，再利用圆周角定理，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，然后在中利用勾股定理得到，从而可确定、、的关系．
【解答】解：连接、，如图，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
同理可得，
在中，，
，
．
故选：．

9．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于，两点．点，的度数是，，这样小明就能得到的度数，请你帮忙算算的度数是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆周角和圆心角的关系解答即可．
【解答】解：如图，设圆心为，连接，，

则，
．
故选：．
10．如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是　　

A．或 B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆周角与圆心角的关系可得的度数，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案．
【解答】解：在中，，
，
是劣弧的中点，
．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．如图，量角器外沿上有、两点，它们的读数分别是、，则的度数为　　．

【分析】首先求得的度数，然后根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：由已知可知，，，
，，
．
故答案为：．
12．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是　或　．
【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
【解答】解：
连接、，
一条弦把圆分成两部分，如图，
弧的度数是，弧的度数是，
，
，
，
故答案为：或．
13．如图，的弦垂直平分半径，若，则的半径为　　．

【分析】连，交于点，设半径为，由垂直平分半径，根据垂径定理得到，且有，在中，，利用勾股定理可得到，即可求出．
【解答】解：连，交于点，如图，
设半径为，
垂直平分半径，
，，
而，
，
在中，，
，即，
．
故答案为．

14．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为 　　．

【答案】．
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：．
15．如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是 　　．

【答案】．
【分析】根据圆周角定理得出，根据角的和差求解即可．
【解答】解：如图，连接，

根据题意得，，
点在量角器上对应的读数是，
，
，
，
，
故答案为：．

16．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为 　　．

【答案】．
【分析】根据弧长公式进行求解即可．
【解答】解：由题意得，这段弯路的长度为，
故答案为：．
17．如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 　　．

【答案】．
【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【解答】解：为直径，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为 　　．

【答案】．
【分析】过点作于，分别过点、作于点，于点，连接，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，根据题意推出四边形是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可得解．
【解答】解：过点作于，分别过点、作于点，于点，连接，如图，

则，
在中，，
，
，，，
，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．如图，中，弦与相交于点，，连接，．求证：
（1）；
（2）．

【答案】见解答过程．
【分析】（1）由，推出弧弧，推出弧弧，即可得到；
（2）证明可得结论．
【解答】证明：（1），
弧弧，
弧弧弧弧，
弧弧，
；
（2），，，
，
．
20．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，求出，根据矩形的判定得出即可．
【解答】已知：平行四边形是的内接四边形，

求证：四边形是矩形，
证明：方法一、平行四边形是的内接四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
方法二、，
同理，
四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
21．如图，在中，弦、相交于点，，，求的度数．

【答案】．
【分析】首先根据圆周角定理的推论，得，再根据三角形外角的性质即可求得的度数．
【解答】解：，
．
，
．
22．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．

【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：连接，

，，
，
，
，
．
23．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．

【分析】过点作半径于，如图，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可．
【解答】解：过点作半径于，如图，
，
在中，，
，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．

24．已知线段、为的弦，且，求证：．

【答案】见解答．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，从而得到．
【解答】证明：，
，
即，
，
．
25．如图，点、、、、都在上，平分，且，求证：．

【分析】由于平分则，再利用平行线的性质得，所以，然后根据圆周角定理得到结论．
【解答】证明：平分，
，
，
，
，
．
26．如图，、、、在上，，，求的周长．

【分析】先利用圆周角定理得到，则判断是等边三角形，然后计算的周长．
【解答】解：，
而，
是等边三角形，
的周长．