河南省新乡市封丘县第一中学2022—2023学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份河南省新乡市封丘县第一中学2022—2023学年上学期八年级期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．3.14
2．（3分）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3B．BO＝3C．DB＝3D．DO＝3
3．（3分）计算x3•（﹣x2）的结果是（ ）
A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x6
4．（3分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2
B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2
C．3x2+6x﹣1＝3（x+2）2﹣1
D．x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）
5．（3分）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
6．（3分）已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣5D．﹣1
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．负数没有立方根
D．81的平方根是±9，用式子表示是
8．（3分）若2x﹣y＝3，则等于（ ）
A．64B．12C．8D．6
9．（3分）已知四个式子：①22＜7＜32；②2.62＜7＜2.72；③2.642＜7＜2.652；④2.6452＜7＜2.6462．利用有理数逼近无理数的方法，估计的近似值（精确到0.01）是（ ）
A．2.63B．2.64C．2.65D．2.66
10．（3分）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若m+n＝6，mn＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A．52B．6C．7D．8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算＝ ．
12．（3分）对于命题“若a＞b，则ac＞bc”，能说明它是假命题的反例是c＝ .（写出一个即可）
13．（3分）比较大小：1 ．（填“＞”或“＜”）
14．（3分）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上的等式■×2ab＝4ab+2ab3处，阴影部分即为被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的代数式是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BC＝10，E是边AB上一点，BE＝6，点D在边BC上以1个单位/s的速度由点B向点C运动，同时点F在边AC上以x个单位/s的速度由点C向点A运动，若运动过程中存在某一时刻△BDE与△CDF全等（其中∠B与∠C是一组对应角），则x的值为 ．
​
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（a﹣1）（a2+a+1）；
（2）因式分解：x2（x﹣2y）﹣y2（x﹣2y）．
17．（9分）先化简，再求值：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y，其中x＝﹣2，y＝﹣1．
18．（9分）已知3a﹣2的平方根是±4，2a+b的立方根是﹣2，求4a+b+5的算术平方根．
19．（9分）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
①（x+3）（x+4）＝x2+（3+4）x+3×4＝x2+7x+12；
②（x+3）（x﹣4）＝x2+[3+（﹣4）]x+3×（﹣4）＝x2﹣x﹣12；
③（x﹣3）（x+4）＝x2+[（﹣3）+4]x+（﹣3）×4＝x2+x﹣12；
④（x﹣3）（x﹣4）＝x2+[（﹣3）+（﹣4）]x+（﹣3）×（﹣4）＝x2﹣7x+12．
（1）根据你发现的规律，猜想（x+a）（x+b）＝ ．
（2）已知a，b均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2﹣10x+16，求3a﹣2ab+3b的值．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，点E在BD的延长线上，点F在DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．求证：
（1）CB＝AD．
（2）∠E＝∠F．
21．（9分）阅读与思考
我们已经学了两数和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，我们把a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．
下面就二项式4x2+1添上一个单项式成为一个完全平方式进行分析：
因为4x2+1＝（2x）2+12，现分三种情况：
①将2x看作a，1看作b，那么可添加中间项±2×2x•1＝±4x，即4x2+1添加4x为4x2+4x+1＝（2x+1）2；4x2+1添加﹣4x为4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2；
②将2x看作a，1看作中间项2ab，那么可添加由于不是单项式，所以不符合题意，舍去；
③……
任务：
（1）上面材料中的分析过程，主要运用的数学思想是 ．
A．数形结合B．整体思想C．分类讨论 D．方程思想
（2）请参照①②的解答过程，写出③中另一种情况，并总结4x2+1添加一个单项式成为完全平方式可添加的所有单项式．
22．（10分）综合与实践
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ．
（2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 ．
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
23．（10分）综合与探究
数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）．
①延长AD到点M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系．
（1）根据小明组内的做法，能得到△ADC≌△MDB的依据是 ，BC边上的中线AD的取值范围是 ．
灵活运用
（2）如图3，在△ABC中，D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM+CN＞MN．
拓展延伸
（3）以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC的中点，连接AM，DE．当AM＝3时，请直接写出DE的长．
2022-2023学年河南省新乡市封丘一中八年级（上）期中数学试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在下表中。
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．3.14
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、﹣是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无限不循环小数，属于无理数，故此选项符合题意；
D、3.14是小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3B．BO＝3C．DB＝3D．DO＝3
【解答】解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，
∴OD＝OA＝3，
故选：D．
3．（3分）计算x3•（﹣x2）的结果是（ ）
A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x6
【解答】解：x3•（﹣x2）＝﹣x5．
故选：B．
4．（3分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2
B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2
C．3x2+6x﹣1＝3（x+2）2﹣1
D．x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）
【解答】解：A，B，C选项都没有写成积的形式，故A，B，C选项不符合题意；
D选项，根据平方差公式写成了积的形式，故D选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【解答】解：∵△MNP≌△MEQ，
∴点Q应是图中的D点，如图，
故选：D．
6．（3分）已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣5D．﹣1
【解答】解：∵xy＝﹣3，x+y＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣6
故选：A．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．负数没有立方根
D．81的平方根是±9，用式子表示是
【解答】解：A、某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，是真命题，符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、负数有立方根，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、81的平方根是±9，用式子表示是±＝±9，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
8．（3分）若2x﹣y＝3，则等于（ ）
A．64B．12C．8D．6
【解答】解：＝＝22x﹣y．
∵2x﹣y＝3，
∴22x﹣y＝23＝8，
∴原式＝8．
故选：C．
9．（3分）已知四个式子：①22＜7＜32；②2.62＜7＜2.72；③2.642＜7＜2.652；④2.6452＜7＜2.6462．利用有理数逼近无理数的方法，估计的近似值（精确到0.01）是（ ）
A．2.63B．2.64C．2.65D．2.66
【解答】解：∵①22＜7＜32；②2.62＜7＜2.72；③2.642＜7＜2.652；④2.6452＜7＜2.6462，
∴2.645＜＜2.646，
∴≈2.65．
故选：C．
10．（3分）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若m+n＝6，mn＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A．52B．6C．7D．8
【解答】解：m2﹣m2﹣n（m﹣n）＝m2﹣n2＝（m2+2mn+n2﹣2mn﹣mn）＝[（m+n）2﹣3mn]，
把m+n＝6，mn＝8代入得：×（62﹣3×8）＝6，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算＝ 3 ．
【解答】解：＝3．
故答案为：3．
12．（3分）对于命题“若a＞b，则ac＞bc”，能说明它是假命题的反例是c＝ ﹣1（答案不唯一） .（写出一个即可）
【解答】解：当c＝﹣1时，由a＞b，得到ac＜bc，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
13．（3分）比较大小：1 ＜ ．（填“＞”或“＜”）
【解答】解：∵1﹣＝＜0，
∴1＜，
故答案为：＜．
14．（3分）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上的等式■×2ab＝4ab+2ab3处，阴影部分即为被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的代数式是 2+b2 ．
【解答】解：∵（4ab+2ab3）÷2ab＝2+b2，
∴（2+b2）×2ab＝4ab+2ab3，
∴被墨汁遮住的代数式是2+b2，
故答案为：2+b2．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BC＝10，E是边AB上一点，BE＝6，点D在边BC上以1个单位/s的速度由点B向点C运动，同时点F在边AC上以x个单位/s的速度由点C向点A运动，若运动过程中存在某一时刻△BDE与△CDF全等（其中∠B与∠C是一组对应角），则x的值为 1或1.2 ．
​
【解答】解：设D、F运动的时间是t秒，
当△BDE≌△CDF时，
∴CF＝BE＝6，BD＝CD＝BC＝×10＝5，
∴t＝5，
∵CF＝xt＝6，
∴x＝1.2；
当△BDE≌△CFD时，
∴CF＝BD，
∵D和F同时出发，运动的路程相同，
∴D和F的速度相同，
∴x＝1，
∴x的值为1或1.2．
故答案为：1或1.2．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（a﹣1）（a2+a+1）；
（2）因式分解：x2（x﹣2y）﹣y2（x﹣2y）．
【解答】解：（1）（a﹣1）（a2+a+1）
＝a3﹣a2+a2﹣a+a﹣1
＝a3﹣1；
（2）x2（x﹣2y）﹣y2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x2﹣y2）
＝（x﹣2y）（x+y）（x﹣y）．
17．（9分）先化简，再求值：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y，其中x＝﹣2，y＝﹣1．
【解答】解：原式＝[x3y2﹣x2y﹣（x2y﹣x3y2）]÷x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷x2y
＝2xy﹣2，
当x＝﹣2，y＝﹣1时，原式＝2×（﹣2）×（﹣1）﹣2＝2．
18．（9分）已知3a﹣2的平方根是±4，2a+b的立方根是﹣2，求4a+b+5的算术平方根．
【解答】解：3a﹣2的平方根是±4，
则3a﹣2＝42．
即a＝6，
2a+b的立方根是﹣2，
即2a+b＝（﹣2）3，
2a+b＝﹣8，
把a＝6代入，
则b＝﹣20．
故＝＝3．
19．（9分）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
①（x+3）（x+4）＝x2+（3+4）x+3×4＝x2+7x+12；
②（x+3）（x﹣4）＝x2+[3+（﹣4）]x+3×（﹣4）＝x2﹣x﹣12；
③（x﹣3）（x+4）＝x2+[（﹣3）+4]x+（﹣3）×4＝x2+x﹣12；
④（x﹣3）（x﹣4）＝x2+[（﹣3）+（﹣4）]x+（﹣3）×（﹣4）＝x2﹣7x+12．
（1）根据你发现的规律，猜想（x+a）（x+b）＝ x2+（a+b）x+ab ．
（2）已知a，b均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2﹣10x+16，求3a﹣2ab+3b的值．
【解答】解：（1）根据题例得到的规律，可得
（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．
故答案为：x2+（a+b）x+ab．
（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，（x+a）（x+b）＝x2﹣10x+16，
∴a+b＝﹣10，ab＝16．
∴3a﹣2ab+3b
＝3（a+b）﹣2ab
＝3×（﹣10）﹣2×16
＝﹣30﹣32
＝﹣62．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，点E在BD的延长线上，点F在DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．求证：
（1）CB＝AD．
（2）∠E＝∠F．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△BAC和△DCA中，
，
∴△BAC≌△DCA（AAS），
∴CB＝AD．
（2）∵∠ABC＝∠ADC，∠ABD＝∠CDB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠CDB，
∴∠CBD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，∠CBF+∠CBD＝180°，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠E＝∠F．
21．（9分）阅读与思考
我们已经学了两数和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，我们把a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．
下面就二项式4x2+1添上一个单项式成为一个完全平方式进行分析：
因为4x2+1＝（2x）2+12，现分三种情况：
①将2x看作a，1看作b，那么可添加中间项±2×2x•1＝±4x，即4x2+1添加4x为4x2+4x+1＝（2x+1）2；4x2+1添加﹣4x为4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2；
②将2x看作a，1看作中间项2ab，那么可添加由于不是单项式，所以不符合题意，舍去；
③……
任务：
（1）上面材料中的分析过程，主要运用的数学思想是 C ．
A．数形结合B．整体思想C．分类讨论 D．方程思想
（2）请参照①②的解答过程，写出③中另一种情况，并总结4x2+1添加一个单项式成为完全平方式可添加的所有单项式．
【解答】解：（1）从材料中的分析过程，主要运用的数学思想是分类讨论，
故答案为：分类讨论；
（2）将4x2看作2ab，1看作b，那么第一项，即a为2x2，所以4x2+1添加（2x2）2为4x4+4x2+1＝（2x2+1）2；
综上所述，4x2+1添加一个单项式成为完全平方式可添加的所有单项式为±4x，4x4．
22．（10分）综合与实践
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
（2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 （a+3b）（a+2b） ．
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）由题意得，图3中长方形的长是a+3b，宽是a+2b，
∴a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）．
故答案为：（a+3b）（a+2b）．
（3）设MN长为x．
∵S1＝a[x﹣（a+b）]＝ax﹣a2﹣ab，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，
∴Q＝S1﹣S2＝（a﹣3b）x﹣a2+2ab，
由题意得，若Q为定值，则Q将不随x的变化而变化，
可知当a﹣3b＝0时，即a＝3b时，Q＝﹣a2+2ab为定值．
23．（10分）综合与探究
数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）．
①延长AD到点M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系．
（1）根据小明组内的做法，能得到△ADC≌△MDB的依据是 SAS ，BC边上的中线AD的取值范围是 1＜AD＜7 ．
灵活运用
（2）如图3，在△ABC中，D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM+CN＞MN．
拓展延伸
（3）以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC的中点，连接AM，DE．当AM＝3时，请直接写出DE的长．
【解答】（1）解：延长AD到点M，使DM＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∵AB＝8，AC＝6，
∴8﹣6＜AM＜8+6，即2＜AM＜14，
∵DM＝AD，
∴AD＝AM，
∴1＜AD＜7；
故答案为：SAS；1＜AD＜7；
（2）证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图3所示：
同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），
∴AF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF，
∴AM+CN＞MN；
（3）解：延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，
由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∵AC＝AD，AC∥BN，
∴BN＝AD，
∵AC∥BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．