广东省广州市黄埔区天健学校2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

这是一份广东省广州市黄埔区天健学校2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷，共5页。试卷主要包含了之间，对称轴是直线x＝1等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）用配方法解方程x2+6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝﹣4C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）
4．（3分）不解方程，判断方程3x2﹣6x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．以上说法都不正确
5．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣5可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
6．（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．100（1+x）2＝121
B．100×2（1+x）＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100（1+x）+100（1+x）2＝121
7．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
8．（3分）如图抛物线y＝x2+bx+c，则关于x的方程x2+bx+c＝0的解是（ ）
A．无解B．x＝1
C．x＝﹣4D．x1＝﹣1，x2＝4
9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④a+b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实根中有且只有一个根为0，则b≠0，c＝0；②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；④若m是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则（2am+b）2＝b2﹣4ac．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 ．
12．（3分）若A（﹣2，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 （请用“＜”号连接）．
13．（3分）如图，在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠AOB1＝ °．
14．（3分）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
16．（3分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2﹣25＝0 （2）2x2+7x﹣4＝0．
18．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请把△ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2．
20．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．
（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是直角三角形，求此时m的值．
21．（8分）为了推进全民阅读，某社区增加了阅览室的开放时间，据统计：该社区阅览室在2018年图书馆借阅总量是7500册，2020年图书借阅总量是10800册．
（1）求该社区图书馆借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率；
（2）若2020年至2021年图书借阅总量的增长率等于2018年至2020年的平均增长率，预计2021年该社区居民借阅图书人数达到1296人，预计2021年阅览室人均借阅量是多少？
22．（8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（ ）元；
（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：
（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？
23．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，MN是过点A的直线，过点C作CD⊥直线MN于点D，连接BD．
（1）求∠ADB的度数；
（2）如图1，可得线段AD，BD，CD的数量关系为 ；将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置，线段AD，BD，CD的数量关系是否发生变化，请说明理由；
（3）在直线MN绕点A旋转过程中，当△ABD面积取得最大值时，CD长为2，请直接写出BD的长．
24．（10分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两根为x1，x2，且x1，x2为矩形的两对角线长，求k；
（3）若k为正整数，此方程的两根为x1，x2，求．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
广东省广州市黄埔区天健学校2023-2024学年九年级上学期数学期中模拟试卷（答案）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
2．（3分）用配方法解方程x2+6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝﹣4C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
【答案】C
3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）
【答案】B
4．（3分）不解方程，判断方程3x2﹣6x﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．以上说法都不正确
【答案】C
5．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣5可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
【答案】B
6．（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．100（1+x）2＝121
B．100×2（1+x）＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100（1+x）+100（1+x）2＝121
【答案】A
7．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
【答案】B
8．（3分）如图抛物线y＝x2+bx+c，则关于x的方程x2+bx+c＝0的解是（ ）
A．无解B．x＝1
C．x＝﹣4D．x1＝﹣1，x2＝4
【答案】D
9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④a+b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
【答案】A
10．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实根中有且只有一个根为0，则b≠0，c＝0；②若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；④若m是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则（2am+b）2＝b2﹣4ac．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】D
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 1 ．
【答案】1．
12．（3分）若A（﹣2，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＜y1＝y2 （请用“＜”号连接）．
【答案】y3＜y1＝y2．
13．（3分）如图，在直角△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠AOB1＝ 130 °．
【答案】见试题解答内容
14．（3分）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ﹣1＜x＜6 ．
【答案】﹣1＜x＜6．
15．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 k＜且k≠0 ．
【答案】k＜且k≠0．
16．（3分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 3+3 ．
【答案】3+3．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2﹣25＝0
（2）2x2+7x﹣4＝0．
【答案】
18．（6分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．
（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
【答案】（1）顶点坐标是（1，4），对称轴是直线x＝1；
（2）图象见解答，S△ABC＝6．
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请把△ABC先向下平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2．
【答案】（1）作图见解析过程，A1（﹣4，0）；
20．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．
（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是直角三角形，求此时m的值．
【答案】（1）m＝0或m＝1；
（2）m＝0或m＝1．
21．（8分）为了推进全民阅读，某社区增加了阅览室的开放时间，据统计：该社区阅览室在2018年图书馆借阅总量是7500册，2020年图书借阅总量是10800册．
（1）求该社区图书馆借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率；
（2）若2020年至2021年图书借阅总量的增长率等于2018年至2020年的平均增长率，预计2021年该社区居民借阅图书人数达到1296人，预计2021年阅览室人均借阅量是多少？
【答案】（1）20%；
（2）10本．
22．（8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（ x﹣60 ）元；
（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：
（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】y=-2x+400；售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
23．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，MN是过点A的直线，过点C作CD⊥直线MN于点D，连接BD．
（1）求∠ADB的度数；
（2）如图1，可得线段AD，BD，CD的数量关系为 ；将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置，线段AD，BD，CD的数量关系是否发生变化，请说明理由；
（3）在直线MN绕点A旋转过程中，当△ABD面积取得最大值时，CD长为2，请直接写出BD的长．
【答案】（1）45°；
（2）；发生变化，关系是，理由见解析过程；
（3）．
24．（10分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两根为x1，x2，且x1，x2为矩形的两对角线长，求k；
（3）若k为正整数，此方程的两根为x1，x2，求．
【答案】（1）k≤3；
（2）3；
（3）5或3．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…