2024年高考数学第一轮复习精品导学案第21讲 利用导数研究函数的极值和最值（学生版）+教师版

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(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1、【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2，则f'(2)=（ ）
A．-1B．-12C．12D．1
2、【2022年新高考1卷】（多选）已知函数f(x)=x3-x+1，则（ ）
A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
3、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x14、【2022年全国甲卷】已知函数fx=exx-lnx+x-a．
(1)若fx≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若fx有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．
5、【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)lnx．
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
1. (2022·湖南长郡中学高三月考)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
3、.函数f(x)＝eq \f(ex,x2－3)在[2，＋∞)上的最小值为( )
A.eq \f(e3,6) B.e2 C.eq \f(e3,4) D.2e
4、 若函数f(x)＝ eq \f(x3,3)－ eq \f(a,2)x2＋x＋1在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，4))上有极值点，则实数a的取值范围是( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))) B. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，\f(17,4))) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(17,4)))
5、已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)x－sin x，则f(x)在区间[0，π]上的值域为____________.
考向一 利用导数研究函数的极值
例1、已知函数，求函数的极大值与极小值．
变式1、已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
变式2、已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，且x＝3是f(x)的极值点，求函数f(x)的极值．
变式3、（2022·重庆八中模拟预测）（多选题）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．是的最小值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点
方法总结：(1)求函数极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③解方程，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．
(2)若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
考向二 利用导数研究函数的最值
例2、已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．
变式1、已知函数f(x)＝eq \f(3－2x,x2＋a).
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
变式2、已知函数f(x)＝excs x－x.
(1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2) 求函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
变式3、设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R).当k∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))时，求函数f(x)在区间[0，k]上的最大值M.
方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
1、若是函数的极值点，则的极小值为
A．B．
C．D．1
2、（2022·重庆·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．1B．2C．D．
3、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
4、（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数在处取得极值10，则___________.
5、（2022·江苏徐州·模拟预测）函数的最小值为_____________．
6、（2022·江苏·南京市第一中学三模）已知函数，则的最小值为____________．