2024年高考数学第一轮复习精品导学案第37讲 平面向量的应用（学生版）+教师版

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1、 向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．
(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．
(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
(4)求夹角问题：利用夹角公式csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝
eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(5)用向量方法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2、向量在解析几何中的应用
(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．
设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝eq \f(a2,a1)；如果已知直线的斜率为k＝eq \f(a2,a1)，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．
(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝eq \f(a2,a1)(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－eq \f(a1,a2)(x－x0)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】/
【解析】
方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λ(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】由原等式，得eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝λ(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))，即eq \(AP,\s\up7(―→))＝λ(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))，根据平行四边形法则，知eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(AD,\s\up7(―→))(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
2、在△ABC中，(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是________三角形．( )

A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角
【答案】C.
【解析】 由(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AC|2，得eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝0，2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，故△ABC一定是直角三角形．
3、 若O为△ABC所在平面内的任意一点，且满足（ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))）·（ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))－2 eq \(OA,\s\up6(→))）＝0，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】 A
【解析】 由（ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))）·（ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))－2 eq \(OA,\s\up6(→))）＝0，得 eq \(CB,\s\up6(→))·（ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))）＝0，即（ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))）·（ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))）＝0，所以| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是等腰三角形．
4、 已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BF,\s\up6(→))＝－9，则λ的值为( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【答案】 B
【解析】 依题意，得 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,λ) eq \(BA,\s\up6(→))，所以 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＋\f(1,λ)\(BA,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,2)| eq \(BC,\s\up6(→))|2－ eq \f(1,λ)| eq \(BA,\s\up6(→))|2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2λ)－1)) eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(BA,\s\up6(→))＝（ eq \f(1,2)－ eq \f(1,λ)）×62＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2λ)－1))×62×cs 60°＝－9，解得λ＝3.
考向一 平面向量在平面几何中的应用
例1、（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______心．
（2）等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（ ）
A．B．C．2D．4
（3）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝________.
【答案】：1．重心 2．D 3． eq \f(22,3)
【解析】1．由原等式，得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，即eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
根据平行四边形法则，知eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量eq \(AD,\s\up6(→))的2倍，
所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
2．由题意得：
.
3．法一 如图，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,λ)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,λ)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,λ)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3λ)))×2×2×cs 120°＋eq \f(4,λ)＋eq \f(4,3)＝1
解得λ＝2．
变式1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【解析】解：连接，在正六边形中，，
∴，
∵正六边形的边长为2，∴，
因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，
所以当在上运动时，取得最大值，为，
当移动到点时，取得最小值，为0．
∴，，∴．
故选：D.
变式2、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【解析】 如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则点A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，
所以 eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，1)， eq \(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)，
所以 eq \(AF,\s\up6(→))· eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以 eq \(AF,\s\up6(→))⊥ eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数
考向二 平面向量与三角综合
例2、已知a＝(cs x，2cs x)，b＝(2cs x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1) 将函数f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调增区间；
(2) 当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．
【解析】 (1) 因为f(x)＝a·b＝2cs2x＋2sinx cs x＝sin 2x＋cs 2x＋1＝ eq \r(2)sin （2x＋ eq \f(π,4)）＋1，
所以g(x)＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＋1＝ eq \r(2)sin （2x－ eq \f(π,12)）＋1.
由－ eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－ eq \f(π,12)≤ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－ eq \f(5π,24)＋kπ≤x≤ eq \f(7π,24)＋kπ，k∈Z，
所以函数g(x)的单调增区间为[－ eq \f(5π,24)＋kπ， eq \f(7π,24)＋kπ]，k∈Z.
(2) 因为a≠0，a与b共线，所以cs x≠0，
所以sin x cs x－4cs2x＝0，所以tanx＝4，
所以f(x)＝2 cs2x＋2sinx cs x
＝ eq \f(2cs2x＋2sinx cs x,sin2x＋cs2x)＝ eq \f(2＋2tanx,1＋tan2x)＝ eq \f(10,17).
变式1、本题中，求|a－b|的最大值．
【解析】|a－b|＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)
＝ eq \r(5cs2x－2sin2x－2cs 2x－2＋4cs2x＋sin2x)＝ eq \r(3＋2cs2x－2sin 2x)
＝ eq \r(3＋2\r(2)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))))，
所以|a－b|max＝ eq \r(2)＋1.
变式2、（2022·河北深州市中学高三期末）的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.
（1）求；
（2）若，且，求的周长.
【解析】解：（1）根据题意，可得，
化简整理得，
即.
因为，所以，又，
则.
（2）由（1）知，
则.
又因为，所以，故，因此.
因为，所以，
故的周长为.
方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．
(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．
考向三 平面向量与解析几何
例3 (1)已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值为________．
【答案】（1）2x＋y－3＝0.（2）6.
【解析】(1)∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(4－k，－7)，
eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6，k－5)，且eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(BC,\s\up7(―→))，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则有eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，解得yeq \\al(2,0)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))，
因为eq \(FP,\s\up7(―→))＝(x0＋1，y0)，eq \(OP,\s\up7(―→))＝(x0，y0)，
所以eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))＝x0(x0＋1)＋yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)＋x0＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))＝eq \f(x\\al(2,0),4)＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，
因为－2≤x0≤2，
故当x0＝2时，eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))取得最大值eq \f(22,4)＋2＋3＝6.
变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足，则（ ）
A．直线BC的斜率为B．∠AOC＝60°
C．△ABC的面积为D．B、C两点在同一象限
【答案】ABD
【解析】，则平行且相等，，A正确；
而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正确，
，
，C错误，
设的倾斜角为，由且，
若直线在直线上方，则，，均在第二象限，
若直线在直线下方，由于，，因此点在第四象限，
则（取较小角），在第四象限，
综上，在同一象限，D正确．
故选：ABD．
方法总结：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用， 对于解析几何中出现的垂直可转化为向量数量积等于0，对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等．
1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，则有
又在中，，为的重心，则为等边三角形.
则
解之得，则外接圆的半径为
故选：C
2、（2022·江苏扬州·高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】解：由题意可知，，
故选：B．
3、（2022·江苏无锡·高三期末）已知点在圆上，点的坐标为，为坐标原点，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，，
所以
（其中），
故选：B.
4、（2022·广东罗湖·高三期末）（多选题）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】通过向量加法的平行四边形法则可知，，选项A正确；
，选项B错误；
与方向不同，选项C错误；
延长到,使,通过向量减法的三角形法则可知,在中，，，选项D正确.
故选：AD.
5、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）折纸发源于中国．世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
，则与不平行，A错．
设，
，B对．
，C对
，D对，
故选:BCD．