2024年高考数学第一轮复习精品导学案第43讲 数列的通项公式（学生版）+教师版

这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第43讲 数列的通项公式（学生版）+教师版，共2页。学案主要包含了小问1详解，小问2详解等内容，欢迎下载使用。

1、正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为eq \f(an＋1,an)＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2、避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到eq \f(a2,a1)，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
1、（2023•北京）数列满足，下列说法正确的是
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
【答案】
【解析】对原式进行变形，得，
当，则，，
设，则，所以是递减数列，
当，，错误，同理可证明错误，
当，则，即，又因为，所以，
假设，则，即，又因为，所以，
所以当，，正确，
对于，当，代入进去很明显不是递减数列，错误，
故选：．
2、（2022•浙江）已知数列满足，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
为递减数列，
又，且，
，
又，则，
，
，
，则，
；
由得，得，
累加可得，，
，
；
综上，．
故选：．
3、（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
4、（2021•乙卷（理））记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
【解析】（1）证明：当时，，
由，解得，
当时，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得，
由（1），可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
5、（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
【解析】（1）因为，，
所以，，，
所以，，
，，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以．
另由题意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为
1、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）已知数列{an}中的首项a1＝2，且满足，则此数列的第三项是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，
令，得，
令可得,
故此数列第三项为.
故选：A
2、（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___．
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意，是等比数列，设其公比为，
由于①，所以，
由于②，所以，
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
3、根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1) a1＝2，an＋1＝an＋3n；
(2) a1＝2，an＋1＝2an＋3n.
【解析】 (1) 由题意，得a2－a1＝31，a3－a2＝32，…，an－an－1＝3n-1，
所以当n≥2时，an－a1＝31＋32＋…＋3n-1，
所以an＝2＋ eq \f(3(1－3n-1),1－3)＝ eq \f(3n＋1,2).
当n＝1时，a1＝2也符合上式，
所以an＝ eq \f(3n＋1,2).
(2) 因为an＋1－2an＝3n，
所以 eq \f(an＋1,2n+1)－ eq \f(an,2n)＝ eq \f(3n,2n+1)＝ eq \f(1,2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)，
所以 eq \f(a2,22)－ eq \f(a1,21)＝ eq \f(1,2)× eq \f(3,2)，
eq \f(a3,23)－ eq \f(a2,22)＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)，
……
eq \f(an,2n)－ eq \f(an－1,2n-1)＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n－1)，
所以当n≥2时， eq \f(an,2n)－ eq \f(a1,21)＝ eq \f(1,2)· eq \f( \f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(n－1))),1－\f(3,2) )＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)－ eq \f(3,2)，
所以 eq \f(an,2n)＝1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)－ eq \f(3,2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)－ eq \f(1,2)，
所以an＝2n eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(n)－\f(1,2)))＝3n－2n-1.
当n＝1时，a1＝3－1＝2符合上式，
所以an＝3n－2n-1.
考向一 有an递推关系研究数列的通项
例3、根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1) a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(2) a1＝1，an＝ eq \f(n－1,n)·an－1(n≥2)；
(3) a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.
【解析】 (1) 因为an＋1＝3an＋2，
所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即 eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，
所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.
又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n-1，
所以an＝2·3n-1－1.
(2) 因为an＝ eq \f(n－1,n)·an－1(n≥2)，
所以an－1＝ eq \f(n－2,n－1)·an－2，…，a2＝ eq \f(1,2)a1，
以上(n－1)个式子相乘，得an＝a1· eq \f(1,2)· eq \f(2,3)·…· eq \f(n－1,n)＝ eq \f(a1,n)＝ eq \f(1,n).
又a1＝1也符合上式，故an＝ eq \f(1,n).
(3) 因为an＋1－an＝3n＋2，
所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ eq \f(n(3n＋1),2)(n≥2).
当n＝1时，a1＝ eq \f(1,2)×(3×1＋1)＝2符合上式，
所以an＝ eq \f(3,2)n2＋ eq \f(n,2).
变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（ ）
A. 为单调递增数列
B.
C.
D. 当时，数列的前n项和满足
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，因为，
若，则，故是各项为的常数列，与矛盾，
所以，，则，故，即，
所以数列是单调递减数列，故A错误；
对于B，因为，
若，则，故是各项为负数的数列，与矛盾，所以，
又因为数列是单调递减数列，所以是数列中最大的项，所以，
综上：，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
所以，
上述各式相加得，
又，所以，
经检验：，满足，
所以，故C正确；
对于D，由选项A知，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
变式2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 已知正项数列满足．
（1）求数列的通项公式；
【解析】由条件可知，,
得，
当时，

，
当时，成立，
所以；
变式3、（2021年八省适应性考试）已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
【解析】（1）解法一：由题设得，
且．
因此数列是首项为，公比为3的等比数列．
（2） 解法一：由（1）知，
于是．
又，故．
因此数列的通项公式为．
解法二：由（1）知，
所以．
令，，从而．
又，所以．
从而，即．
因此数列的通项公式为．
说明另一种设法：
令，则，从而．又，
所以．从而，即．
因此数列的通项公式为．
解法三：由（1）知，
所以．
令，则．
从而

又，所以．
即．
因此数列的通项公式为．
说明也可以在“”两边同时乘以“”，得到
，然后累加．
解法四：因为，所以．
因为，，所以．
从而，即．
所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列．
因此数列的通项公式为．
解法五：因为，所以．
因为，，所以．
从而．
由（1）知．
因此，即数列的通项公式为．
方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数列，迭加即可；变形为eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3n－2,3n＋2)，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、变形和转化的能力，需要牢固掌握．
考向二 由Sn与an的递推关系求通项公式
例2、（2022年广州番禺高三模拟试卷）已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
【解析】（1）由两式相减，得：
，
又，，
当时，且，
故，得（舍去），
，
数列为等差数列，公差为，
所以 ．
变式1、（2022年福建省福州市高三模拟试卷）已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.
（1）求数列，通项公式；
【解析】
因为，当时，解得，
当时，所以，即，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
设数列的公差为，由，，可得，解得，
所以.
变式2、 （2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知正项数列的前项和为，且和满足：.
（1）求的通项公式；
【解析】
【小问1详解】
解：∵，①
当时，解得，
∴，②
①－②得，
∴，化简.
∵，∴.
∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
变式3、（2023·河北唐山·统考三模）设为数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
【详解】（1）已知①，
当时，.
当时，②
①-②得：，
即.
又，所以，.
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
所以.
方法总结：an与Sn关系的应用
(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”。
考向三 构造等差、等比数列研究通项
例3、（2023·江苏·统考三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，∴存在，，两个等比数列，， 使得成立
变式1、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）已知数列，满足，，且，
（1）求，的值，并证明数列是等比数列；
（2）求数列，的通项公式．
【答案】（1），，证明见解析
（2），
【解析】
∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
【小问2详解】
由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.
变式2、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 已知数列的前n项和为，且，，．
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
【解析】
由，得，则，
又，则，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
则，则时，
．
方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：an＋1＝pan＋q(p，q为常数，p≠0，p≠1)，常利用待定系数构造，可化为an＋1＋x＝p(an＋x)，从而解出x＝eq \f(q,p－1).
常见形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q为常数，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通过两边同时除以qn＋1，得eq \f(an＋1,qn＋1)＝eq \f(p,q)·eq \f(an,qn)＋eq \f(1,q)，换元bn＝eq \f(an,qn)，即转化形式一．
1、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 设数列的前n项和为，写出的一个通项公式________，满足下面两个条件：①是单调递减数列；②是单调递增数列.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，就是符合条件的例子，
故答案为：（答案不唯一)
2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列中，，则_______________．
【答案】-3
【解析】
由题意得，，，，，，，所以数列的周期为6，.
故答案为：-3.
3、（2022·福建省高三模拟试卷）已知数列满足，，则的前n项和为___________.
【答案】
【解析】
数列满足，整理得：，
所以，
又，
故是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，所以的前项和
故答案为：
4、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷） 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【详解】由题意知：，故，
∴，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，显然，故D错误；
故选：BC
5、（2022年广东省高三大联考模拟试卷）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ）
A. B.
C. D. 数列的前项和为
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；
当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；
对于C，当为奇数且时，
累加可得
，时也符合；
当为偶数且时，
累加可得
；则，C正确；
对于D，设数列的前项和为，则，
又，，D正确.
故选：BCD.
6、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）已知数列为非零数列，且满足.
（1）求数列的通项公式；
【解析】
当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相除得：，即，
当时，也满足，
所以.
7、（2022年福建省德化一中高三模拟试卷） 数列的前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
【解析】
：当时，，所以，
因为①，
所以当时，②，
①-②得，
所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
所以；当时，满足上式，所以，的通项公式为．