山东省济南市天桥区黄河双语实验学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份山东省济南市天桥区黄河双语实验学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷，共2页。试卷主要包含了过点P，已知直线l1，对于圆C，在平面直角坐标系xOy中，以点，已知点A，B，若直线l，已知直线l，已知圆C等内容，欢迎下载使用。
一.单选题。（本题共8小题，共40分，每小题只有一个正确选项。)
1.直线3x－y +2=0的倾斜角是（ ）
A.150° B.120° C.60° D.30°
2.过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ ）
A.1或3 B.1 C.4 D.1或4
3.直线l经过直线x－2y+4=0和直线x + y－2=0的交点，且与直线x+3y+5=0垂直，则直线l的方程为（ ）
A.3x－y+2=0 B.3x+y+2=0 C.x－3y+2=0 D.x+3y+2=0
4.已知直线l1：mx+y－1=0，l2：(4m－3)x+my－1=0，若l1⊥l2，则实数m的值为（ ）
A.0 B.12 C.2 D.0或12
5.对于圆C：x2+y2－4x+1=0，下列说法正确的是（ ）
A.点4(1，﹣1）在圆C的内部 B.圆C的圆心为（﹣2,0)
C.圆C的半径为3 D.圆C与直线y=3相切
6.在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线x－y－1=0相切的圆的标准方程为（ ）
A.(x－1)2+y2=4 B.(x－1)2+y2=1 C.x2+(y－1)2=2 D.x2+(y－1)2=2
7.已知直线l1：x+2y+t2=0，l2：2x+4y+2t－3=0，则当l1与l2间的距离最短时，求实数t的值为（ ）
A.1 B.12 C.13 D.2
8.已知点A(2，﹣3)，B(﹣3，﹣2)，若直线l:mx+y－m－1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是（ ）
A.[﹣34，4] B.[15，+∞) C.（﹣∞，﹣34]∪[4，+∞） D.[﹣4，34]
二．多选题.（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选的得0分。）
9.已知直线l：mx+y+1=0，点4(1，0)，B(3，1)，下列结论正确的是（ ）
A.直线l恒过定点（1，0) B.当m=0时，直线l的斜率不存在
C.当m=1时，直线l的倾斜角为3π4 D.当m=2时，直线l与直线AB垂直
10.已知圆C：x2+y2－6x=0，则下述正确的是（ ）
A.圆C截直线l：y=x所得的弦长为32
B.过点（1，1）的圆C的最长弦所在的直线方程为2x－y－1=0
C.直线l:x+3y+3=0与圆C相切
D.圆E：(x +1)2+y2=49与圆C相交
11.已知直线（2m+1)x+(1－m)y－m－2=0(m∈R）与圆：x2+y2－4x=0，则下述正确的是（ ）
A.对∀m∈R，直线恒过一定点
B.∃m∈R，使得直线与圆相切
C.对∀m∈R，直线与圆一定相交
D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为22
12.已知圆C：x2+y2－4x+2y+1=0，下列说法正确的是（ ）
A.点（0，0）在圆 C 内部
B.圆C与圆x2+y2=1相交
C.过点M(3，4）的直线与圆C相交，弦长为23，则直线方程为x=3或12x－5y－16=0
D.若m>0，n>0，直线mx－ny－1=0恒过圆C的圆心，则1m＋2n≥8恒成立
二.填空题。(共4小题，每小题5分，共20分)
13.直线l过点A(2，3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 。
14.若圆x2+y2=4上恰有三个点到直线l：y=x +a的距离等于1．则实数a的值为 。
15.过点P（4，3）做圆C：x2+y2=4的两条切线，切点为M、N，则MN= 。
16.已知两点A(﹣3，5)，B(2，8)，动点P在直线x－y+1=0上，则|PA|+|PB|的最小值为 。
四．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。>
17.（本题10分）
已知△ABC的顶点坐标分别为A(2，4)，B(7，﹣1)，C(﹣6，1)
(1)求过C且平行于直线AB的直线方程：
(2)求边AB上的高CD所在直线的方程
18.（本题12分）
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(0，0)，B(﹣2，0)，C(﹣3，﹣3)
(1)求BC边上的中线AD所在直线的方程；
(2)求△ABC的外接圆C的标准方程。
19.（本题12分）
已知圆C：x2+y2－4x=0.
(1)直线l的方程为x－3y=0，直线l交圆C于A，B两点，求|AB|;
(2)过点P（4，4）引圆C的切线，求切线的方程；
20.（本题12分）
已知线段AB的端点B的坐标是（6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2+(y－3)2=4上运动。
(1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
(2）设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长．
21.（本题12分）
已知圆C；(x－1)2+(y－2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0
(1)证明：直线l与圆C恒有两个交点；
(2)求直线l被圆C所截得的弦何时最短？并求截得的弦最短时的m的值及最短弦长
22.（本题12分）
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点Q与两定点A、B的距离之比为2(λ>0，λ≠1)，那么点Q的轨迹就是阿波罗尼斯圆，基于上述事实，完成以下两个问题：
(1)已知A(2，3)，B(0，﹣3)，若DADB=2，求点D的轨迹方程；
(2)已知点P在圆（x－5)2+y2=9上运动，点M(﹣4，0)，探究：是否存在定点N，使得|PM |=3PN
恒成立，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
一.单选题。（本题共8小题，共40分，每小题只有一个正确选项。)
1.直线3x－y +2=0的倾斜角是（ C ）
A.150° B.120° C.60° D.30°
2.过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ B ）
A.1或3 B.1 C.4 D.1或4
3.直线l经过直线x－2y+4=0和直线x + y－2=0的交点，且与直线x+3y+5=0垂直，则直线l的方程为（ A ）
A.3x－y+2=0 B.3x+y+2=0 C.x－3y+2=0 D.x+3y+2=0
4.已知直线l1：mx+y－1=0，l2：(4m－3)x+my－1=0，若l1⊥l2，则实数m的值为（ D ）
A.0 B.12 C.2 D.0或12
5.对于圆C：x2+y2－4x+1=0，下列说法正确的是（ A ）
A.点4(1，﹣1）在圆C的内部 B.圆C的圆心为（﹣2,0)
C.圆C的半径为3 D.圆C与直线y=3相切
6.在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线x－y－1=0相切的圆的标准方程为（ D ）
A.(x－1)2+y2=4 B.(x－1)2+y2=1 C.x2+(y－1)2=2 D.x2+(y－1)2=2
7.已知直线l1：x+2y+t2=0，l2：2x+4y+2t－3=0，则当l1与l2间的距离最短时，求实数t的值为（ B ）
A.1 B.12 C.13 D.2
8.已知点A(2，﹣3)，B(﹣3，﹣2)，若直线l:mx+y－m－1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是（ C ）
A.[﹣34，4] B.[15，+∞) C.（﹣∞，﹣34]∪[4，+∞） D.[﹣4，34]
二．多选题.（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选的得0分。）
9.已知直线l：mx+y+1=0，点4(1，0)，B(3，1)，下列结论正确的是（ CD ）
A.直线l恒过定点（1，0) B.当m=0时，直线l的斜率不存在
C.当m=1时，直线l的倾斜角为3π4 D.当m=2时，直线l与直线AB垂直
10.已知圆C：x2+y2－6x=0，则下述正确的是（ AC ）
A.圆C截直线l：y=x所得的弦长为32
B.过点（1，1）的圆C的最长弦所在的直线方程为2x－y－1=0
C.直线l:x+3y+3=0与圆C相切
D.圆E：(x +1)2+y2=49与圆C相交
11.已知直线（2m+1)x+(1－m)y－m－2=0(m∈R）与圆：x2+y2－4x=0，则下述正确的是（ ACD ）
A.对∀m∈R，直线恒过一定点
B.∃m∈R，使得直线与圆相切
C.对∀m∈R，直线与圆一定相交
D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为22
12.已知圆C：x2+y2－4x+2y+1=0，下列说法正确的是（ BD ）
A.点（0，0）在圆 C 内部
B.圆C与圆x2+y2=1相交
C.过点M(3，4）的直线与圆C相交，弦长为23，则直线方程为x=3或12x－5y－16=0
D.若m>0，n>0，直线mx－ny－1=0恒过圆C的圆心，则1m＋2n≥8恒成立
二.填空题。(共4小题，每小题5分，共20分)
13.直线l过点A(2，3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 3x－2y=0 。
14.若圆x2+y2=4上恰有三个点到直线l：y=x +a的距离等于1．则实数a的值为 ±2 。
15.过点P（4，3）做圆C：x2+y2=4的两条切线，切点为M、N，则MN= 4215 。
16.已知两点A(﹣3，5)，B(2，8)，动点P在直线x－y+1=0上，则|PA|+|PB|的最小值为 226 。
四．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。>
17.（本题10分）
已知△ABC的顶点坐标分别为A(2，4)，B(7，﹣1)，C(﹣6，1)
(1)求过C且平行于直线AB的直线方程：
(2)求边AB上的高CD所在直线的方程
(1)由题意可知，直线AB的斜率kAB=﹣1，则过C且平行于直线AB的直线方程为y－1=﹣1(x+6)，即x+y+5=0.
(2)由（1）可知，kAB=﹣1，所以AB边上的高CD的斜率kCD=1，所以CD所在直线的方程为y－1=(x+6)，即x－y +7=0.
18.（本题12分）
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(0，0)，B(﹣2，0)，C(﹣3，﹣3)
(1)求BC边上的中线AD所在直线的方程；
(2)求△ABC的外接圆C的标准方程
(1)∵B(﹣2，0)，C(﹣3，﹣3)
∴BC边的中点D的坐标为（﹣52，﹣32）
∴中线AD的斜率为﹣32－0﹣52－0=35
∴中线AD的直线方程为：y－0=35(x－0)，即3x－5y=0.
(2）设△ABC的外接圆O的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∵A、B、C三点在圆上，
F=04－2D+F=09+9－3D－3E+F=0
解得：D=2E=4F=0
∴外接圆O的方程为x2+y2+2x+4y=0，即（x +1）2+(y+2)2=5,
19.（本题12分）
已知圆C：x2+y2－4x=0.
(1)直线l的方程为x－3y=0，直线l交圆C于A，B两点，求|AB|;
(2)过点P（4，4）引圆C的切线，求切线的方程；
∵化圆C:x2+y2－4x=0为(x－2)2+y2=4,.
∴C圆的圆心为（2，0),半径为r =2,
故圆心到直线的距离d=23+11
∴|AB|=r2－d2=23
(2)当斜率不存在时，过P(4，4)的直线是x=4，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设直线方程为y－4=k(x－4).
由4－2kk2+1=2，解得k=34
此时切线方程为3x－4y+4=0.
综上所述，切线方程为x=4或3x－4y+4=0.
20.（本题12分）
已知线段AB的端点B的坐标是（6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2+(y－3)2=4上运动。
(1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
(2）设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长．
(1)设点P的坐标为（x，y)，点A的坐标为(x0,y0),
由于点B的坐标为（6,5)，且点P是线段AB的中点，
∴x=a+62，y=a+62
于是有x=2x－6,y=2y－5,①
因为点A在圆C1:(x－4)2+(y－3)2=4上运动，
∴A的坐标满足方程(x－4)2+(y－3)2=4,
即（x－4)2+(y－3)2=4,②
把①代入②，得
(2x－6－4)2+(2y－5－3)2=4,
整理，得（x－5)2+(y－4)2=1,
所以P的轨迹C2的方程为(x－5)2+(y－4)2=1;
(2)圆C1:(x－4)2+(y－3)2=4与圆C2:(x－5)2+(y－4)2=1的方程相减，得2x+2y－19=0,
由圆C2:(x－5)2+(y－4)2=1的圆心为(5，4)，半径r=1,
且（5,4）到直线2x+2y－19=0的距离
d=10+8－1922+22=24
则公共弦长|MN|=2r2－d2=142
21.（本题12分）
已知圆C；(x－1)2+(y－2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0
(1)证明：直线l与圆C恒有两个交点；
(2)求直线l被圆C所截得的弦何时最短？并求截得的弦最短时的m的值及最短弦长
证明：直线l:(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0可化为m(2x+y－7)+(x+y－4)=0
2x+y－7=0和x+y-4=0，解得
X=3，y=1，
∴直线恒过定点A(3，1)
(3－1)2+(1－2)2=50，λ≠1)，那么点Q的轨迹就是阿波罗尼斯圆，基于上述事实，完成以下两个问题：
(1)已知A(2，3)，B(0，﹣3)，若DADB=2，求点D的轨迹方程；
(2)已知点P在圆（x－5)2+y2=9上运动，点M(﹣4，0)，探究：是否存在定点N，使得|PM |=3PN
恒成立，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)设D(x,y)，则
|DA|=(x－2)2+（y－3）2,
|DB|=x2+（y+3）2,
故（x－2）2+（y－3）2x2+（y+3）2=2
∴(x－2)2+(y-3)2=4x2+4(y +3)2,化简得点D的轨迹方程为
x2+y2+43x +10y+233=0;
假设存在定点N，使得|PM|=3|PN|恒成立，
设P(x,y)，N(m，n),
故|PM|=,(x+4)2+y2
|PN|=(x－m)2+（y－n）2,
因为|PM|=3|PN|，故
(x+4)2+y2=9(x－m)2+9(y－n)2,
即x2+y2－9m+44·x－9y4·y+9m2+9n2－168=0，
而点P在圆（x－5)2+y2=9上，即x2+y2－10x+16=0,
解得m=4, n=0,
故存在定点N(4，0)，使得|PM|=3|PN|恒成立．