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黑龙江省哈尔滨市光华中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
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这是一份黑龙江省哈尔滨市光华中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知是的圆周角，，则圆心角是（ ）
A． B． C． D．
5．把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，，垂足为E，设，且，则AD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
9．如图，PA，PB分别是的切线，A，B为切点，AC是的直径，已知，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．在中，_________．
12．化简：_________．
13．在中，若，则__________．
14．如图（在试卷第2页），AB，CD是的两条直径，E为上一点，，则________．
15．扇形的圆心角是，半径是3，那么扇形的面积是___________．
16．如图（在试卷第2页），的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，，AB的长是_________．
17．若抛物线与y轴交于点P，与x轴的两个交点是C、D，则的面积是________．
18．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数解析式为__________．
19．已知的直径，AB是的弦，，垂足为M，且，则AC的长为_____cm．
20．如图，已知的半径为2，C、D在直径AB的同侧半圆上，，动点Р在直径AB上，则的最小值是__________．
三、解答题（共60分）
21．先化简，再求值：，其中
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AC和EF，点A，C，E，F均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以EF为底边，面积为6的等腰三角形EFG，且点G在小正方形的顶点上；
（3）在（1）（2）的条件下，连接DG，请直接写出线段DG的长．
23．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：________，_________﹔
（2）利用探索的结论，写出正整数a、b．填空：____+____（____ +____；
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
24．已知：四边形ABCD中，AC为对角线，，且于点D．
图1 图2
（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形．
（2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是面积的2倍的所有三角形．
25（1）．如图：为测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C处测得，在点D处测得，且，则河宽AB为多少m（结果保留根号）．
（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点C处测得旗杆顶部点A的仰角为，旗杆底部点B的俯角为．若旗杆底部点B到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为多少米（结果保留根号）．
26．如图：在中，弦于点E，连接OA．
图1 图2 图3
（1）如图1，求证：
（2）如图2，若的半径为r，连接BD，求证：
（3）如图3，连接AD，过点B作交AD于点G，交CD于点H，连接BO并延长交AD于点F．若BF平分，且，，求线段AF的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与直线交于x轴正半轴上的B点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点C，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，连接BD，CD，若线段BD上有一点P，使，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上存在点E，作，交直线CD于点F，使．求出点E的坐标．
2023光华九（上）数学期中1019答案
一、选择题
1-5．BADDD 6-10．BCBDD
二、填空题
11． 12． 13． 14． 15．
16． 17．15 18． 19．60或80 20．
三、解答题
21． 22．
23．（1）； （2）4；2 （3）7或13
24．（2），，，
25．（1） （2）四边形CEBD为正方形；
26．（3）
27．（1）
（2）
点拔：
∵，∴
（3）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知是的圆周角，，则圆心角是（ ）
A． B． C． D．
5．把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，，垂足为E，设，且，则AD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
9．如图，PA，PB分别是的切线，A，B为切点，AC是的直径，已知，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．在中，_________．
12．化简：_________．
13．在中，若，则__________．
14．如图（在试卷第2页），AB，CD是的两条直径，E为上一点，，则________．
15．扇形的圆心角是，半径是3，那么扇形的面积是___________．
16．如图（在试卷第2页），的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，，AB的长是_________．
17．若抛物线与y轴交于点P，与x轴的两个交点是C、D，则的面积是________．
18．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数解析式为__________．
19．已知的直径，AB是的弦，，垂足为M，且，则AC的长为_____cm．
20．如图，已知的半径为2，C、D在直径AB的同侧半圆上，，动点Р在直径AB上，则的最小值是__________．
三、解答题（共60分）
21．先化简，再求值：，其中
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AC和EF，点A，C，E，F均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以EF为底边，面积为6的等腰三角形EFG，且点G在小正方形的顶点上；
（3）在（1）（2）的条件下，连接DG，请直接写出线段DG的长．
23．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：________，_________﹔
（2）利用探索的结论，写出正整数a、b．填空：____+____（____ +____；
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
24．已知：四边形ABCD中，AC为对角线，，且于点D．
图1 图2
（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形．
（2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是面积的2倍的所有三角形．
25（1）．如图：为测量河宽AB（假设河的两岸平行），在点C处测得，在点D处测得，且，则河宽AB为多少m（结果保留根号）．
（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点C处测得旗杆顶部点A的仰角为，旗杆底部点B的俯角为．若旗杆底部点B到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为多少米（结果保留根号）．
26．如图：在中，弦于点E，连接OA．
图1 图2 图3
（1）如图1，求证：
（2）如图2，若的半径为r，连接BD，求证：
（3）如图3，连接AD，过点B作交AD于点G，交CD于点H，连接BO并延长交AD于点F．若BF平分，且，，求线段AF的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与直线交于x轴正半轴上的B点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点C，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，连接BD，CD，若线段BD上有一点P，使，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上存在点E，作，交直线CD于点F，使．求出点E的坐标．
2023光华九（上）数学期中1019答案
一、选择题
1-5．BADDD 6-10．BCBDD
二、填空题
11． 12． 13． 14． 15．
16． 17．15 18． 19．60或80 20．
三、解答题
21． 22．
23．（1）； （2）4；2 （3）7或13
24．（2），，，
25．（1） （2）四边形CEBD为正方形；
26．（3）
27．（1）
（2）
点拔：
∵，∴
（3）
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