2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第13讲函数模型及其应用（达标检测）（Word版附解析）

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(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
【解析】 因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为eq \f(60,600÷100)＝10(升)．故选C.
2.(2020·广东广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
【解析】函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C、D，一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B，故选B.
3．（2019·芜湖质检）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＜eq \f(1,1 000)，得n≥10，
所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.
4. (2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
【解析】 由三角形相似得eq \f(24－y,24－8)＝eq \f(x,20)，得x＝eq \f(5,4)(24－y)，
所以S＝xy＝－eq \f(5,4)(y－12)2＋180，
所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．
5．(多选)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个论断则一定正确的是( )
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点总蓄水量降低
D．4点到6点不进水不出水
【解析】 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的eq \f(1,2)，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错．
6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．9
C．8 D．7
【解析】 设经过n次过滤，产品达到市场要求，则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,20)，由nlgeq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－ln 3)≤－(1＋lg 2)，即n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，所以选B、C.
7．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
【解析】∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
8.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
【解析】前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq \f(20,9)，b＝eq \f(70,9)，所以y＝eq \f(20,9)x＋eq \f(70,9)，则当x＝6时，y＝eq \f(190,9).
9．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又 x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．
(2)设顾客买水果的总价为a元，当0≤a<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤eq \f(1,8)a 恒成立，x≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)a))eq \s\d7(min)，又a≥120，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)a))eq \s\d7(min)＝15，所以x≤15.综上可知，0≤x≤15，所以x的最大值为15.
10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
【解析】由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝eeq \s\up6(\f(k,2))，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
11. (2019·咸宁质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
解 (1)由题意得当0显然v＝ax＋b在[4,20]内是减函数，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))
所以v＝－eq \f(1,8)x＋eq \f(5,2)，
故函数v＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，0(2)设年生长量为f (x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0当0当4所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
12．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝eq \f(k,20x＋100)(x≥0，k为常数) .记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；
(2)当x为多少时，y取得最小值？最小值是多少万元？
解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C(0)＝eq \f(k,100)＝24，得k＝2 400，
所以y＝15×eq \f(2 400,20x＋100)＋0.5x＝eq \f(1 800,x＋5)＋0.5x(x≥0)．
(2)因为y＝eq \f(1 800,x＋5)＋0.5(x＋5)－2.5≥2eq \r(1 800×0.5)－2.5＝57.5，
当且仅当eq \f(1 800,x＋5)＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，
所以当x为55时，y取得最小值，最小值为57.5万元．
[B组]—强基必备
(2019·安徽皖东名校联盟)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和eq \f(y,x)的范围；
(2)现有两个奖励函数模型：①y＝eq \f(x,150)＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．
【解析】(1)y＝f(x)的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]，eq \f(y,x)∈(0，0.2]．
(2)当y＝eq \f(x,150)＋2时，eq \f(y,x)＝eq \f(1,150)＋eq \f(2,x)的最大值是eq \f(31,150)＞0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由eq \f(y,x)≤0.2可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝eq \f(20－xln 10,5xln 10)＜0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1＜0，即eq \f(y,x)≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．加油时间
加油量(升)
加油时累计里程(千米)
2018年10月1日
12
35 000
2018年10月15日
60
35 600