2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第13讲函数模型及其应用（讲）（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第13讲函数模型及其应用（讲）（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了几种常见的函数模型等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．几种常见的函数模型
2.三种函数模型性质比较
题型归纳
题型1 用函数图象刻画变化过程
【例1-1】（2020•徐汇区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】求出函数的解析式，由指数函数的图象即可得解．
【解答】解：设原来为，则，
故选：．
【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天的关系如图所示，则一定有
A．比节能效果好
B．的用电量在，上的平均变化率比的用电量在，上的平均变化率大
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
【分析】根据条件判断两个学校的变化率的大小即可．
【解答】解：的变化率大，的变化率小，则比节能效果好，
故选：．
【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除，，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除．
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是．
故选：．
【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务．已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是
A．B．
C．D．
【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．
【解答】解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，
图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，
所以函数的图象应一直下凹的．
故选：．
【名师指导】
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型2 应用所给函数模型解决实际问题
【例2-1】（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【解答】解：把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：．
【例2-2】（2020•新课标Ⅲ）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A．60B．63C．66D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程，解出即可．
【解答】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选：．
【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为
A．B．0.3C．D．
【分析】设汶川地震所释放出的能量是，唐山地震所释放出的能量是，由已知列式结合对数的运算性质求得与的值，作比得答案．
【解答】解：设汶川地震所释放出的能量是，唐山地震所释放出的能量是，
则，，
，；
．
故选：．
【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保鲜时间是 ．
【分析】利用已知条件求出函数的解析式，然后代入求解即可．
【解答】解：食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，
可得：，，解得，，
所以，
该食品在的保鲜时间：（小时）．
故答案为：6．
【名师指导】
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
题型3 构建函数模型解决实际问题
【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为万件时利润为万元，当时，年利润为，当时，年利润为．
（1）若公司生产量在且年利润不低于400万时，求生产量的范围；
（2）求公司年利润的最大值．
【分析】（1）令，解之即可；
（2）分段讨论出的最大值即可．
【解答】解：（1）当时，令，解得；
（2）当时，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时最大值为；
当时，，则时，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时最大值为，
综上公司年利润的最大值为480．
【例3-2】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝eq \f(1,2)a，即(1－x)10＝eq \f(1,2)，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，
则a(1－x)m＝eq \f(\r(2),2)a，即，
即eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq \r(3) 平方米，且高度不低于eq \r(3) 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
【答案】 2eq \r(3)
【解析】 由题意可得BC＝eq \f(18,x)－eq \f(x,2)(2≤x<6)，
∴y＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)≥2eq \r(\f(18,x)×\f(3x,2))＝6eq \r(3).
当且仅当eq \f(18,x)＝eq \f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq \r(3)时等号成立．
【例3-4】（2019秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x（ 百个），需另投人成本C（x）（万元），且C(x)=10x2+200x，0＜x＜40601x+10000x-4500，x≥40，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．
（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．
【分析】（1）根据题意利润＝销售额﹣成本，分段求年利润L（x）（万元）关于年产量x（ 百个）的函数关系式即可；
（2）分段求函数的最大值，利用二次函数的性质结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜x＜40时，L（x）＝6×100x﹣10x2﹣200x﹣2000＝﹣10x2+400x﹣2000，
当x≥40时，L(x)=6×100x-601x-10000x+4500-2000=2500-(x+10000x)，
所以L(x)=-10x2+400x-2000，0＜x＜402500-(x+10000x)，x≥40；
（2）当0＜x＜40时，
所以L（x）＝﹣10x2+400x﹣2000＝﹣10（x﹣20）2+2000，
所以当x＝20时，L（x）max＝L（20）＝2000；
当x≥40时，
所以L(x)=2500-(x+10000x)≤2500-2x⋅10000x=2500-200=2300，
当且仅当x=10000x，即x＝100时，
所以L（x）max＝L（100）＝2300＞2000．
故该企业能落户新旧动能转换先行区．
【跟踪训练3-1】（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足．其中星等为，星的亮度为．
（1）若，则 ；
（2）若太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ．
【分析】（1）由，得，代入，即可求得的值；
（2）设太阳的星等是，天狼星的星等是，代入，求得即可．
【解答】解：（1）由，得，
又，
；
（2）设太阳的星等是，天狼星的星等是，
则，即，
则．
即太阳与天狼星的亮度的比值为．
故答案为：；．
【跟踪训练3-2】（2019秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表：
根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（ ）
A．16.5B．19.5C．21.5D．22
【分析】设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）．由此能求出结果．
【解答】解：设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，
∴日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）＝﹣40(x-432)2+1690．
∴当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润取最大值1690元．
故选：C．
【跟踪训练3-3】（2019秋•临沂期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p（t）与发车时间间隔t满足：p(t)=60-(t-10)2，5≤t＜10，60，10≤t≤20，其中t∈N．
（1）求p（5），并说明p（5）的实际意义；
（2）若该路公交车每分钟的净收益y=6p(1)+24t-10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
【分析】（1）把t＝5代入分段函数P（t）的解析式即可；
（2）先求出y关于t的函数解析式，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：（1）p（5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；
（2）∵y=6p(t)+24t-10，∴当5≤t＜l0时，y=360-6(t-10)2+24t-10，
即y=-6t2+120t-216t-10=110-(6t+216t)，∵6t+216t≥26t×216t=72，当且仅当6t=216t，即t＝6时等号成立，
所以，当t＝6时，y取得最大值38，
当10≤t≤20时，y=6×60+24t-10=384t-10，
则当t＝10时，y取得最大值28.4，
综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．
【名师指导】
建模解决实际问题的三个步骤函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
单价/元
16
17
18
19
20
21
22
日销售量/盒
480
440
400
360
320
280
240