2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第19讲导数的应用——利用导数研究函数零点问题（达标检测）（Word版附解析）

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A．0．B．1C．2D．不确定
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质判断即可．
【解答】解：，
若函数有最小值，
则不能恒大于等于0，
故存在使得，
即有2个不相等的实数根，
即函数的零点个数为2个，
故选：．
2．（2020春•辽宁期末）函数在上有两个零点，，且，则实数的最小值为
A．B．C．D．
【分析】函数，变形为，令，利用导数求最值，可得．结合，可得时，取得最小值．再把，代入，求解，再代入，即可求得的最小值．
【解答】解：函数，变形为，
令，得，
当时，，当时，，
可得时，函数取得最小值．
又当时，，当时，，
且函数在上有两个零点，，
得．
由，可得时，取得最小值．
由，，得，
，解得．
代入，解得．
的最小值为．
故选：．
3．（2020•包头二模）已知函数是定义在上连续的奇函数，且当时．，则函数的零点个数是
A．0B．1C．2D．3
【分析】分析可得为上连续的奇函数，且在上为增函数，说明函数只有1个零点，可得选项．
【解答】解：，函数是定义在上连续的奇函数，
则函数，其定义域为，
则，则为上连续的奇函数，
，则，
又由当时，，则有，即函数为上的增函数，
又由为上连续的奇函数，且，
则为上的增函数，
故函数只有1个零点，
故选：．
4．（2020•武汉模拟）已知函数在无零点，则实数的取值范围为
A．B．，C．，D．，，
【分析】函数在无零点，可转化为无正实数根，研究函数的值域，只要在值域之外取值即可．
【解答】解：函数在无零点，显然不是函数的零点．故问题可转化为无正实数根，
令，，，
令得，当，，时，，故在上递减；当时，，递增．
又时，；时，；时，．；，．
作出函数与的图象：
可知，当介于轴（包括轴）与点之间时，原函数在上无零点．
故即为所求．
故选：．
5．（2020•湖北模拟）已知存在唯一零点，则实数的取值范围
A．B．C．D．
【分析】先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出的取值范围．
【解答】解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．
，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．
当时，有，．
令，，则，
，，
，在上单调递增，
，．
故选：．
6．（2020•临汾模拟）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】原问题等价于关于的方程有且只有一个实根．显然，分离参数可得有且只有一个实根，然后构造函数，结合导数分析函数的特征，结合图象可求．
【解答】解：函数有且只有一个零点，等价于关于的方程有且只有一个实根．显然，
方程有且只有一个实根．
设函数，则．
设，，为增函数，
又（1）．
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；在时取极小值1．
当趋向于0时，趋向于正无穷大；当趋向于负无穷大时，
趋向于负无穷大；又当趋向于正无穷大时，
趋向于正无穷大．图象大致如图所示：
方程只有一个实根时，实数的取值范围为，
故选：．
7．（2019•兰州模拟）已知函数，当时，函数的零点个数为 ．
【分析】通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．
【解答】解：函数，可得，
时，，函数是减函数，（1），，
所以函数函数，当时，函数的零点个数为1．
故答案为：1．
8．（2020•济南二模）已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【分析】先对求导，根据的范围研究的符号，判断的单调性，结合有两个零点，求出的取值范围．
【解答】解：由题知：，．①当时，，单调递增，至多有一个零点，不合题意；
②当时，令，易知在单调递减，在单调递增，故的最小值为
．
有两个零点，当时，，
，解得
故答案为：．
9．（2020春•贵池区校级期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为 ．
【分析】构造函数，利用函数的图象，通过函数的导数，求出切线的斜率，然后推出的范围．
【解答】解：函数有3个零点，
就是有3个解，也就是与的图象有3个交点，
显然，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：
设切点，则，，可得，解得，
所以直线与指数函数相切时，，
函数有3个零点，可得．
故答案为：．
10．（2020•盐城三模）设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数的取值范围是 ．
【分析】由题意可求，所以函数，当时，易得符合题意，当时，函数，有两个零点，，由，得和，所以方程无解，利用△即可求出的取值范围．
【解答】解：设零点为，则，，
，，
函数，
①当时，函数，，都有唯一零点，符合题意；
②当时，函数，有两个零点，，
此时，得和，
已满足有两个相同的零点，，
方程无解，即方程无解，
△，
解得：，
综上所述，实数的取值范围是：，
故答案为：，．
11．（2020春•新华区校级期中）设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围 ．
【分析】首先，画出函数的图象，然后，借助于图象，结合在区间上有三个零点，进行判断．
【解答】解：函数的图象如图示：
当时，显然，不满足题意．
当时，如图所示，
当，时，存在一个零点，
当时，，
可得，
，
若，可得，为减函数，
若，可得，为增函数，
此时必须在上有两个零点，
即，
解得，，
在区间上有三个零点时，
，
故答案为：．
12．（2020春•烟台期末）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有3个零点，求的取值范围．
【分析】（1）求导得，令得或，列表格分析随着变化，变化情况，进而得出极值．
（2）由（1）可知要使得函数有3个零点，只需，进而解出的取值范围．
【解答】解：（1），
令，解得或，
则随着变化，变化情况如下表：
所以，当时，取得极大值，当时，取得极小值．
（2）要使得函数有3个零点，
只需，解得．
13．（2020•新课标Ⅲ）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得，由此求得值；
（2）设为的一个零点，根据题意，，且，得到，由，对求导数，可得在，上的单调性，得到．设 为的零点，则必有，可得，由此求得的范围得答案．
【解答】（1）解：由，得，
，即；
（2）证明：设为的一个零点，根据题意，，且，
则，由，
令，
，
当，，时，，当，时，
可知在，，上单调递减，在，上单调递增．
又，（1），，，
．
设 为的零点，则必有，
即，
，得，
即．
所有零点的绝对值都不大于1．
14．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【分析】（1）的定义域为，求出原函数的导函数，进一步求导，得到在上为减函数，结合，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一得零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，，单调递减；当时，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，可得函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递增；当时，单调递减．当，时，单调递减，再由，．然后列，与的变化情况表得答案．
【解答】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
15．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知函数，，，是自然对数的底数）．
（1）若，讨论函数在上的零点个数；
（2）设，点是曲线上的一个定点，实数，为的导函数．试比较与的大小，并证明你的结论．
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，判断函数的零点个数即可；
（2）代入的值，原不等式等价于，不妨设，，原不等式等价于，两边同除以得到，即
令，根据函数的单调性证明结论即可．
【解答】解：（1）若，则，
所以：，易知，
因为，所以在上单调递增，
所以：，单调递减，，
单调递增，，
所以函数在上的零点个数为0 （4分）
（2）
证明：，则
所以，
，
，
原不等式等价于，等价于（7分）
不妨设，，原不等式等价于
两边同除以得到，即
令，则
令对恒成立，
在单调递增，因为，
所以对恒成立，所以
16．（2020春•未央区校级月考）已知函数有两个零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，由时，，时，，即对任意，存在，满足．
再由当时，．可得函数有两个零点的充要条件为，即，化简得的范围；
（2）函数有两个零点，，可得，，联立可得，把证转化为证，不妨设，则转化为．令，即证，．令，求导即可证明，故结论成立．
【解答】（1）解：．
由，解得，由，解得，
函数在上单调递增，在，上单调递减．
当时，，，
当时，，．
令，，则．
故．
，．
综上，对任意，存在，满足．
另一方面，当时，．
因此，函数有两个零点的充要条件为．
即，化简得：，
故的范围为；
（2）证明：函数有两个零点，，
，，
，即．
要证，即证．
不妨设，则．
令，即证，．
令，则．
（1），即，
即．
[B组]—强基必备
1．（2020•全国三模）已知函数有两个零点，，且则下列结论中不正确的是
A．B．
C．D．
【分析】求出原函数的导函数，可知当时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于0求解的范围判断；分析函数两零点大于0，代入原函数，可得，，得到判断；由，设，则，为的两个零点，利用导数求解的范围与的范围判断与．
【解答】解：，
当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合题意；
当时，由，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，单调减区间为，单调增区间为，
可知当时，函数取得极小值为，
又当时，，时，，
要使函数有两个零点，则，得，故正确；
由，极小值点，
可得．
，是的两个零点，，．
可得，．
故，故错误；
由，
设，则，为的两个零点，
，得在上单调增，在上单调减，
，故正确；
设，，
则，
恒成立，则在上单调增，
（1），
，即，得．
又在上单调减，，，
，即，故正确．
综上，错误的结论是．
故选：．
2．（2020•绵阳模拟）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围 ．
【分析】分离参数，先证明；解得：；由于函数有且仅有一个零点；设，；所以直线与函数有且只有一个交点；研究函数的图象特点及单调性，画出大致图象，即可得出结果．
【解答】解：令，；则，时，；时，；
于是在上递减，在上递增；最小值为（1），
，；
由，即，解得：；
设，；
由于函数有且仅有一个零点；
所以直线与函数有且只有一个交点；
由，此时不能完全判断导函数值的正负；
再令，
得，当时，；当时，；
于是，在上递减，上递增．
那么（2）．
由此，的正负只同有关，
由此得在上递减，在上递增，且的极小值为（1）；
又时，；时，；
图象大值如图所示，
结合的图象，得或．
故答案为：或．
3．（2020•浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）推导出时，恒成立，，（2），由此能证明函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），从而，进而，令，，，利用导数性质能证明．
要证明，只需证明，只需证，由此能证明．
【解答】证明：（Ⅰ），恒成立，
在上单调递增，
，（2），又，
函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在单调递增，
，
，，
另一方面，，，
当时，成立，
只需证明当时，，
，，，
当时，，当时，，
，（1），，（1），
，在单调递减，
，，
综上，，
．
要证明，只需证，
由得只需证，
，只需证，
只需证，即证，
，，
，

，

0
0

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增


0





0
0

单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0