上海市浦东新区2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题

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1.本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟.
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1.“相似的图形”是（ ）
A.形状相同的图形B.大小不相同的图形
C.能够重合的图形D.大小相同的图形
2.已知在中，，，，那么下列等式正确的是（ ）
A.B.C.D.
3.对于非零向量、、，下列条件中，不能判定与是平行向量的是（ ）
A.，B.，
C.D.
4.如图1，、相交于点，下列条件中，能推得的条件是（ ）
图1
A.B.
C.D.
5.如图2-1，是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2-2所示，此时液面的宽度为（ ）
图2-1 图2-2
A.B.C.D.
6.《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”大意是：如图3所示，四边形是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点.从北门出去正北方向20步远的处有一树木.从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见处的树木.正方形小城的边长为（ ）
图3
A.105步B.200步C.250步D.305步
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7.如果，那么________.
8.计算：________.
9.如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是________.
10.已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么线段的长度等于________.
11.如图4，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上.如果线段，那么线段的长度是________.
图4
12.如图5，在中，点是边上一点，联结.已知，，，，那么线段的长度是________.
图5
13.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是________.
14.如果锐角的正切值为，那么锐角为________.
15.如果等腰三角形的腰与底边的比是5:6，那么底角的余弦值等于________.
16.如图6，在中，，点、分别为、上的中点，联结、交于点.如果，，那么的长度为________.
图6
17.如图7，、分别是的边、上的点，且，、相交于点.如果，那么与的比值为________.
图7
18.如图8，在中，，，，点、分别在边、上.将沿着所在的直线翻折，使点的对应点落在边的延长线上.如果平分，那么的长度为________.
图8
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）
计算：.
20.（本题满分10分，其中每小题各5分）
如图9，已知在平行四边形中，点是上一点，且，，射线与射线相交于点.
图9
（1）求的值；
（2）如果，，求向量.（用向量、表示）.
21.（本题满分10分，其中每小题各5分）
如图10，在正方形中，是对角线上任意一点（），的延长线交于点，联结.
图10
（1）求证；；
（2）当时，求.
22.（本题满分10分）
晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线移动，如图11，当小聪正好站在广场的点（距点5块地砖长）时，其影长恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的点（距点9块地砖长）时，其影长恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高为1.6米，，，.请你根据以上信息求出小军身高的长.（精确到0.01）
图11
23.（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
已知：如图12，在中，点、分别在边、上，，与相交于点.
图12
（1）求证：；
（2）如果，求证：.
24.（本题满分12分，其中每小题各4分）
已知：如图13，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点.
图13
（1）求的余切值；
（2）如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
25.（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）
在矩形中，，.点是边上的一点（与端点、不重合）.
图14-1 图14-2 图14-3
（1）如图14-1，当时，联结交于点，求线段的长度；
（2）如图14-2，当时，求四边形的面积；
（3）如图14-3，过点作的垂线，交边于点，交于点.设，，求关于的函数关系式，并写出定义域.
九年级第一学期期中数学练习试卷参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.A； 2.D； 3.D； 4.A； 5.C； 6.C.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.；8.；9.100；10.；11.；12.；13.；14.30；15.；16.；17.；18..
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19.解：原式…………（分）
…………（1分）
…………（1分）
20.解：（1）四边形是平行四边形，
，.…………（2分）
.…………（1分）
，，即.…………（1分）
.…………（1分）
（2）四边形是平行四边形，，.
.…………（1分）
，，.
又和同向，.…………（1分）
.…………（1分）
，..…………（1分）
又和同向，.…………（1分）
21.解：（1）四边形是正方形，
，.…………（1分）
又，.…………（1分）
.…………（1分）
，.…………（1分）
.…………（1分）
.
（2）联结交于点.…………（1分）
四边形是正方形，
，，，.…………（1分）
，.
又，，.…………（1分）
，..…………（1分）
在中，，..…………（1分）
22.解：，，，.…………（1分）
.…………（1分）
，.…………（2分）
米，米，米.…………（1分）
又米，米.…………（1分）
，.
米，米，米.…………（1分）
米.…………（1分）
答：小军的身高约为1.75米.
23.证明：（1），，.…………（3分）
.…………（1分）
.…………（1分）
（2），，
，.…………（1分）
.…………（1分）
，.
又，.…………（1分）
.…………（1分）
.…………（1分）
，，又
，.…………（1分）
.…………（1分）
24.解：（1）根据题意得直线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为.…………（2分）
，.…………（1分）
在中，，.…………（1分）
（2）过点作轴交轴于点，则.
.…………（1分）
，.…………（1分）
，，.…………（1分）
.点的坐标为.…………（1分）
（3），.
，.又，
满足题意的点在的延长线上，且…………（1分）
设点（），则.
，，.…………（1分）
（ⅰ）当时，，则.
解得.点的坐标为.…………（1分）
（ⅱ）当时，，则.
解得.点的坐标为.…………（1分）
综上所述，点的坐标为或.
25.解：（1）四边形是矩形，，，
，，.
又，.
在中，，，，.…………（1分）
，..…………（1分）
.…………（1分）
（2），，.
.
，，.…………（1分）
又，.…………（1分）
，，.
.…………（1分）
.…………（1分）
，四边形的面积为.…………（1分）
（3）过点作交于点，则.…………（1分）
四边形是矩形，.
，，.
...
，，，.…………（1分）
，.
，，，.…………（1分）
.…………（1分）
，，.
.即.
整理得，（）.…………（2分）