2024潍坊高三10月联考数学试题含解析

这是一份2024潍坊高三10月联考数学试题含解析，共4页。

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求出集合，再由交集与补集的定义求解即可.
【详解】由题意，或 ，
则，
故.
故选：A.
2. 设，，分别是的三条边，且.则“”是“为钝角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
详解】由题意可知，
若，则，
所以，所以为钝角三角形，充分性满足；
若为钝角三角形，由，
则，即，所以，必要性满足.
所以“”是“为钝角三角形”的充要条件.
故选：C
3. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性比较，，与的大小关系即可得正确选项.
【详解】，
，
，
所以，
故选：D.
4. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把待求式中“1”用替换，然后用基本不等式求得最小值．
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C．
5. 设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知即可求解.
【详解】解：因为，为的中点，
所以，
故选：A.
6. 曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.
【详解】，当时，，所以，由万能公式得：
所以
故选：B
7. 已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意问题可转化为方程在上有解，令，，求出的值域即可得的取值范围.
【详解】依题意可知，方程在上有解，
即上有解，
令，，则，
时，时，
所以上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
又，，
则的最大值为，
所以的值域为，
即可得的取值范围是.
故选：C
8. 设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用函数的奇偶性求出，再利用的对称性和奇函数性质求解即可.
【详解】因为是定义域的奇函数，所以，，
因为当，，所以，从而，
因为是偶函数，即的图像关于轴对称，
因为图像是图像向左平移一个单位得到的，
所以的图像关于对称，故，
因为，所以，
因为，，
所以.
故选：B.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的给0分）
9. 下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.
【详解】对于选项A，因为在上单调递减，所以上单调递减，故A错；
对于选项B，结合的图象性质，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，故B正确；
对于选项C，结合的图象性质，易知没有 周期性，故C错；
对于选项D，令，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，因也是单调递增的，所以是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.
故选：BD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 已知，，且，则
D. 已知，，且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项做差法即可比较大小从而得出结果；B选项结合均值不等式即可判断；C选项结合二次不等式的恒成立问题即可判断；D选项举出反例即可说明.
【详解】A因为，，则，即，故A错误；
B因为，，则当且仅当时等号成立，故B正确；
C因为，则，当时等号成立，故C正确；
D当时，满足，，且，但，故D错误.
故选：BC.
11. 设函数，若在有且仅有5个极值点，则（ ）
A. 在有且仅有3个极大值点B. 在有且仅有4个零点
C. 的取值范围是D. 在上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的极值点（也即最值点）的性质，求出极值点，然后根据条件，结合图像列出关于的不等式组，解出的范围，然后再逐一判断每个选项.
【详解】作出的草图如下：
的极值点满足，即，
因为在有且仅有5个极值点，所以，
则需，且，解得，故C错误；
因为，则由图可知时，是在上的第一个极大值点，
根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，
时是的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A正确；
如图可知，在点之前已有4个零点，也可能落在点的右侧，
从而使在上有5个零点，故B错误；
当时，的周期最小，此时第一个极大值点为，
而在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.
故选：AD
12. 关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A. 对，恒成立
B. 对，恒成立
C. 函数的最小值为
D. 若不等式对恒成立，则正实数的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数证明恒成立，判断A，A中不等式绝对值变形的转换可判断B，利用导数求出函数的最小值判断C，把不等式进行变形转化为不等式恒成立，然后求得的范围判断D．
【详解】设，，
时，，递减，时，，递增，
所以，所以，即恒成立，A正确；
在中令，则，，，
再令得，B正确；
设，定义域为，
，
定义域内恒成立，令是增函数，，，
所以在即在上存在唯一零点，，，
时，，即，递减，时，，即，递增，
所以，C错；
不等式为，，
，所以，即，
令，则，时，，递减，时，，递增，，
因为，所以，
因此不等式恒成立，则恒成立，，即，
设，，
时，，递增，时，，递减，
所以，所以，即的最小值是，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，.若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据求解即可.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：
14. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦二倍角公式结合诱导公式即可求解.
【详解】因为，所以
.
故答案为：
15. 已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】画出的图象，数形结合解决问题
【详解】有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意

故答案为：
16. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求导，根据题意得到，恒成立，再利用导数求解最值即可得到答案.
【详解】，，
因为函数在上单调递增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
设，
，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以，即.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.
（2）根据三角函数的单调性即可求解.
小问1详解】
，
，
解得，
所以函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1），
解得
函数的单调递减区间为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以函数的最大值为.
18. 在中，内角，，所对的边长分别为，，，是1和的等差中项．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若边上的中线长为，，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据是1和的等差中项得到，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三角函数化简得到，从而得出，即可求出角；
（Ⅱ）设中线交于，则，由余弦定理求得，再由求得，最后根据三角形的面积公式，进行求解即可.
【详解】解：（Ⅰ）由题意及正弦定理得，
所以，
化简得，
因为，所以，
而在中，，
所以；
（Ⅱ）设中线交于，则，
由余弦定理得，
即，
化简得，
因为，
所以，
所以．
19. 首届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本万元，每生产一箱需另投入元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万箱）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）
（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.
【解析】
【分析】（1）分和两种情况列出解析式即可；
（2）分别结合二次函数在某区间上的最值以及利用均值不等式求出最值，进而比较即可求出结果.
【小问1详解】
当时，，
所以，
当时，；
所以，
因此；
【小问2详解】
由（1）知当时， ，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，因此当时；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.
20. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.
（1）求；
（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，利用正弦定理边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.
（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.
【小问1详解】
选①，
由正弦定理可得，
又因为，可得，
即，所以，
又因为，所以，
所以，解得.
②，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因为，解得，
因为，所以.
③，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
即，
所以或（舍），
即，即，解得.
【小问2详解】
，
解得，
由余弦定理可得
，
所以 ，当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性；
（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，即得证.
【详解】（1），
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得到，
所以当时，，单调递增，当，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）设函数，
则，可知在上单调递增.
又由，知，在上有唯一实数根，且，
则，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，结合，知，
所以，
则，
即不等式恒成立.
【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明的最小值大于0.
22. 已知函数，其中为正实数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求出切线方程即可求解；
（2）当时，成立，所以；当时，，令，，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，然后利用求出即可得答案.
【小问1详解】
解：当时，，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
设切线与两坐标轴交点为，
所以；
【小问2详解】
解：由题意，当时，即恒成立，
当时，成立，所以；
当时，因为，所以恒成立，即，
令，，则，
令，，则，
，
令，，
由二次函数的知识有在上单调递减，
因为，，所以存在使得，
所以时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
所以存在，使得，
所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，
所以，即，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
综上，的取值范围为.