广东省广州市真光中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

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1．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣7＝0的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣7B．2，3C．2，7D．3，﹣7
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝2，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝4B．（x+2）2＝6C．（x﹣2）2＝8D．（x﹣2）2＝6
5．（3分）若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
6．（3分）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝100
8．（3分）将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
9．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣3x﹣1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且k≠0D．且k≠0
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣；②3a+c＞0；③当x＜0时；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2），则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）若函数是正比例函数，则m的值是 ．
12．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
13．（3分）设A（2，y1），B（3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k的两点，则y1 y2（填＜，＝或＞）．
14．（3分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，那么CC′＝ ．
16．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，将线段AC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为D．当ACD＝90°时，则线段BD的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：
（1）2（x﹣2）2＝18．
（2）2x（x+3）﹣x﹣3＝0．
18．（4分）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．
（1）作出△ABC关于原点O对称的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A顺时针能转90°得到△A2B2C2．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根．
（1）求m的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值．
20．（6分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直径．
21．（8分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
22．（10分）如图二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C,D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B,D
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE求△ADE的面积
23．（10分）如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，即AB的长为xm．
（1）若矩形养殖场的面积为36m2，求此时的x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的面积最大？最大值是多少？
24．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．
（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；
（2）当时，求∠AEC的度数；
（3）如图2，连接EF，G为EF中点，，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．
25．（12分）已知抛物线y＝x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣7＝0的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣7B．2，3C．2，7D．3，﹣7
【分析】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣7＝0的二次项系数和常数项分别是4，﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．
2．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
3．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．25°C．10°D．20°
【分析】先利用互余计算出∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，再根据旋转的性质得∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠CA′B′＝∠CAB＝30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A＝45°，然后利用∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，
∴△ACA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，
∴∠1＝∠CA′A﹣∠CA′B′＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝2，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝4B．（x+2）2＝6C．（x﹣2）2＝8D．（x﹣2）2＝6
【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝8，
∴x2﹣4x+5＝2+4，即（x﹣6）2＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．（3分）若抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．1
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴m2﹣2＝5，m+1＞0，
∴m＝±2，m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义和性质，掌握二次函数的定义和性质的解题的关键．
6．（3分）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝80°，
∴∠C＝＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
7．（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝100
【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（3+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（5+x）2＝100．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
8．（3分）将抛物线y＝3x2平移，得到抛物线y＝3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝3x2的顶点坐标为（7，0）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝7x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
9．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣3x﹣1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且k≠0D．且k≠0
【分析】根据抛物线与x轴的交点与b2﹣4ac的符号有关，可得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x﹣4的图象和x轴有交点，
∴（﹣3）2﹣6•k•（﹣1）≥0，且k≠5，
∴k≥﹣且k≠2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，明确b2﹣4ac的符号决定了抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣；②3a+c＞0；③当x＜0时；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2），则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①．由对称轴为直线x＝﹣可得a＝b，根据抛物线经过点（﹣3，0）可得6a+c＝0，再由a＜0可判断②．由图象对称轴及开口方向③．由抛物线经过（﹣3，0）可得抛物线经过（2，0），进而可得＝﹣3，＝2，因为cx2+bx+a＝0的根为x＝和x＝，将a与c的关系代入求解可判断④．将a（x+3）（x﹣2）+3＝0转化为抛物线与直线y＝﹣3的交点可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞4，
∴abc＞0，①正确．
∵抛物线经过点（﹣3，6），
∴9a﹣3b+c＝7，
∵a＝b，
∴6a+c＝3a+6a+c＝0，
∵a＜0，
∴6a+c＞0，②正确．
由图象可得x＜﹣时，y随x增大而增大，
∴③错误，不符合题意．
由cx2+bx+a＝0可得方程的解为x＝和x＝，
∵抛物线y＝ax5+bx+c经过（﹣3，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，2），
∴x＝﹣3和x＝2是方程ax3+bx+c＝0的根，
∴＝﹣3，，
∵2a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
∴＝﹣，＝，符合题意．
∵抛物线经过（﹣3，0），7），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
将a（x+4）（x﹣2）+3＝7化为a（x+3）（x﹣2）＝﹣3，
由图象得抛物线与直线y＝﹣3交点在x轴下方，
∴m＜﹣3且n＞8，⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）若函数是正比例函数，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】根据正比例函数的定义，令2m2﹣7＝1，且m﹣2≠0求出即可．
【解答】解：∵函数是正比例函数，
∴2m4﹣7＝1，且m﹣3≠0，
∴m2﹣3＝0，且m﹣2≠8，
∴（m+2）（m﹣2）＝8，且m﹣2≠0，
∴m+7＝0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握①正比例系数不等于零，②自变量次数为1．
12．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+3的顶点坐标是 （2，3） ．
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）5+3，
∴抛物线顶点坐标为（2，7），
故答案为：（2，3）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
13．（3分）设A（2，y1），B（3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k的两点，则y1 ＞ y2（填＜，＝或＞）．
【分析】直接根据二次函数的图象和性质判断即可．
【解答】解：由y＝﹣（x+1）2+k可知：在对称轴直线x＝﹣2右侧，y随x增大而减小，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，充分运用数形结合思想是解题的关键．
14．（3分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 3 ．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，则CH＝DH＝CD＝7，
在Rt△OCH中，OH＝，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为5．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，那么CC′＝ ．
【分析】矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，可知旋转中心为点A，旋转角∠CAC′＝90°，根据对应点C、C′到旋转中心的距离相等可知，AC＝AC′，先在Rt△ACD中用勾股定理求AC，再在Rt△CAC′中，利用勾股定理求CC′．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠CAC′＝90°，
Rt△ACD中，由勾股定理得，
AC＝＝＝，
在Rt△CAC′中，由勾股定理得，
CC′＝＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的运用，属于基础题，需要熟练掌握．
16．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，将线段AC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为D．当ACD＝90°时，则线段BD的长为 5 ．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC，与BC的延长线交于点F，证明△ACE≌△DCF，求得BF与DF，由勾股定理便可得结果．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝，
∴，
由旋转性质得CD＝AC＝5，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCF＝90°，
∵∠ACB+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DCF，
∵∠AEC＝∠CFD＝90°，
∴△ACE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF＝7，DF＝CE＝，
∴BD＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，关键是作辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程：
（1）2（x﹣2）2＝18．
（2）2x（x+3）﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）方程两边都除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）2（x﹣2）7＝18，
除以2，得（x﹣2）5＝9，
开方，得x﹣2＝±2，
解得：x1＝5，x7＝﹣1；
（2）2x（x+5）﹣x﹣3＝0，
5x（x+3）﹣（x+3）＝3，
（x+3）（2x﹣6）＝0，
x+3＝3或2x﹣1＝4，
解得：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（4分）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．
（1）作出△ABC关于原点O对称的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A顺时针能转90°得到△A2B2C2．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图：△A1B1C8即为所求；
（2）如图；△A2B2C5即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，中心对称变换，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根．
（1）求m的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1•x2＝m+1，由x1+x2＝2x1•x2得到2（m+1）＝4，然后解方程求出m即可得到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+4＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝（﹣4）8﹣4（m+1）＝16﹣3m﹣4＞0，
解得：m＜6．
（2）∵该方程的两个实数根为x1、x2，
∴x6+x2＝4，x7•x2＝m+1．
∵x5+x2＝2x3•x2，
∴2（m+5）＝4，
解得：m＝1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出Δ＝16﹣4m﹣4＞0；（2）根据根与系数的关系结合x1+x2＝2x1•x2得出2（m+1）＝4．
20．（6分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余
∴∠BCD＝∠BAC．（3分）
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD．（5分）
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，
CE＝CD＝，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2＝OE2+CE2，即R5＝（R﹣8）2+122（8分）
解得R＝13，∴2R＝8×13＝26cm．
答：⊙O的直径为26cm．（10分）
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
21．（8分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF＝∠DAE，则∠BAF+∠BAE＝90°，即∠FAE＝90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
（3）先利用勾股定理可计算出AE＝10，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE＝AF，∠EAF＝90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF＝∠DAE，
而∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠FAE＝90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 ；
故答案为A、90；
（3）解：∵BC＝8，
∴AD＝8，
在Rt△ADE中，DE＝4，
∴AE＝＝10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 ，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积＝AE2＝×100＝50．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
22．（10分）如图二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点C,D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B,D
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE求△ADE的面积
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入可求出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先利用抛物线的对称性确定D点坐标，然后写出一次函数图象不在抛物线上方所对应的自变量的取值范围即可；
（3）连接AE，先求出直线BD的解析式，求出E点坐标，再根据SADE＝SABD﹣S△ABE求出△ADE的面积即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（8，3）代入得a×3×（﹣4）＝3，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+7）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣8x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣5x+3＝﹣（x+1）8+4，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
∵点C （5，3）、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D （﹣2，2），
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1；
（3）连接AE，如图：
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
代入B（5，0），3）得：
，
解得：，
故直线BD的解析式为y＝﹣x+1，
把x＝2代入y＝﹣x+1得，y＝1，
∴E（8，1），
∴SADE＝SABD﹣S△ABE＝AB•yD﹣AB•yE＝×4×8﹣．
∴△ADE的面积为5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
23．（10分）如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，即AB的长为xm．
（1）若矩形养殖场的面积为36m2，求此时的x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）根据矩形的面积＝36列出方程，解方程去符合条件的x的取值即可；
（2）根据矩形的面积公式列出函数解析式，并根据函数的性质和x的取值范围求最值．
【解答】解：（1）由题意得：x（18﹣2x）＝36，
整理得：x2﹣7x+18＝0，
解得x1＝3，x2＝6，
∵18﹣8x≤10，
∴x≥4，
∴x＝6；
（2）设矩形养殖场的面积为y平方米，
由题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2+18x＝﹣6（x﹣）+，
∵﹣2＜0，6≤x＜9，
∴当x＝时，y最大，
答：当x为4.4米时，矩形养殖场的面积最大平方米．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
24．（12分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，连接DF．
（1）请判断线段BD和AF的位置关系并证明；
（2）当时，求∠AEC的度数；
（3）如图2，连接EF，G为EF中点，，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长．
【分析】（1）延长BD交AE于点H，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，由旋转的性质和全等三角形的性质可得BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∠EAF＝90°，由余角的性质可得∠AHB＝90°＝∠FAE，可得AF∥BD，可得结论；
（2）由三角形的面积公式可得AH＝BD＝AE，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性质可求解；
（3）先求出点G在∠ACE的角平分线上运动，即可求解．
【解答】解：（1）结论：BD∥AF．
理由：如图1，延长BD交AE于点H，
∵E绕A点逆时针旋转90°到AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，
∵∠E+∠CAE＝90°，
∴∠E+∠CBD＝90°，
∴∠AHB＝90°＝∠FAE，
∴AF∥BD；
（2）（2）∵S△ABD＝BD2，
∴BD•AH＝BD2，
∴AH＝BD＝，
∴BH垂直平分AE，
∴BA＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝45°，
又∵BA＝BE，
∴∠AEC＝67.8°；
（3）如图2，连接AG，过点G作GM⊥CE交CE延长线于M，
∵GM⊥CE，GN⊥AC，
∴四边形CMGN是矩形，
∵AF＝AE，∠EAF＝90°，
∴AG＝GE，AG⊥EF，
∵∠CAG+∠ACM+∠CEG+∠AGE＝360°，
∴∠CAG+∠CEG＝180°，
∵∠CEG+∠GEM＝180°，
∴∠CAG＝∠GEM，
又∵∠ANG＝∠GME＝90°，
∴△ANG≌△EMG（AAS），
∴NG＝GM，
∴四边形CMGN是正方形，
∴CG平分∠ACE，
∴点G在∠ACE的角平分线上运动，
∴当D从C运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半×AC＝．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25．（12分）已知抛物线y＝x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ 0 ， 1 ），对称轴是 x＝0（或y轴） ；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由
【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据等边三角形的性质求得PB＝4，将PB＝4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标，
【解答】解：（1）顶点坐标是（0，1）．
（2）∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．
∴AB＝20A＝6．
∴PB＝4．
解法一：把y＝4代入y＝x2+8，
得  x＝±2．
∴P5（2，7），P2（﹣2，4）．
解法二：∴OB＝＝2
∴P7（2，5）．
根据抛物线的对称性，得P2（﹣2，4）．
（3）∵点A的坐标为（0，4），4）
∴设线段AP所在直线的解析式为y＝kx+b
∴
解得：
∴解析式为：y＝x+5
设存在点N使得OAMN是菱形，
∵点M在直线AP上，
∴设点M的坐标为：（m，m+5）
如图，作MQ⊥y轴于点Q，AQ＝OQ﹣OA＝m
∵四边形OAMN为菱形，
∴AM＝AO＝2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ8+MQ2＝AM2，
即：m3+（m）3＝22
解得：m＝±
代入直线AP的解析式求得y＝3或1，
当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：
当N在右图6位置时，
∵OA＝MN，
∴MN＝2，
又∵M点坐标为（，5），
∴N点坐标为（，1）6坐标为（，1）．
当N在右图3位置时，
∵MN＝OA＝2，M点坐标为（﹣，
∴N点坐标为（﹣，﹣1）2坐标为（﹣，﹣1）．
当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：
第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣，3）；
第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，﹣1）
∴存在N6（，1），N4（﹣，﹣1）N8（﹣，1），N3（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．