广西希望高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

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（考试时间:120分钟，满分：150分）
一、单选题
1．下列向量中，与向量a=2,-3,1，平行的是（ ）
A．1,1,1 B．-2,3,1 C．-23,1,-13 D．-2,-1,1
2．在平面直角坐标系xOy中，已知P-2,4、Q2,6两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x2+y+52=5B．x2+y-52=5
C．x2+y+52=25D．x2+y-52=25
3．设a∈R，则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．从1，2，3，4，5中任取两个不相同的数，则这两个数的和为质数的概率为（ ）
A．15B．12C．35D．23
5．设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P，则P到直线l:2x-y=1的距离为（ ）
A．5B．15C．255D．55
6．直线l的方向向量为m=(1,1,0)，且l过点A(1,1,1)，则点P(2,2,-1)到直线l的距离为（ ）
A．2B．3C．2D．3
7．已知x+y=0，则x2+y2-2x-2y+2+x-22+y2的最小值为（ ）
A．5B．22C．10D．25
8．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P满足PA=2PB，若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0 m,n>0对称，则2m+5n的最小值是（ ）
A．10B．20C．30D．40
二、多选题
9．已知向量a=1,1,1，b=-1,0,2，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b=(0,1,3) B．a=3 C．a⋅b=2 D．cs〈a,b〉=1515
10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．PA=14B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立D．PA∪B=34
11．在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动（不与顶点重合），则点B到平面AD1P的距离可以是（ ）
A．1B．6C．2D．3
12．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点（-2，-1）且斜率为-3的直线的点斜式方程为y-1=-3x-2
B．直线3x-3y-1=0的一个方向向量为（3，1）
C．若点A(5,-2)和点B(m,n)关于直线x-y+1=0对称，则m+n=3
D．过点P1,3的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则△OAB面积的最小值为8
三、填空题
13．方程C:x2+y2+2x-3y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为 ．
14．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为 .
15．经过点P0,-1作直线l，且直线l与连接点A1,-2，B2,1的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ．
16．如图，点O是棱长为2的正四面体P-ABC底面ABC的中心，过点O的直线交棱AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交下点R，则1PQ+1PR+1PS= ．
解答题
17．设直线l的方程为a+1x+y-3+a=0（）.
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
(2)若不经过第三象限，求的取值范围.
18．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：40,50,50,60,60,70,⋯⋯90,100，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
(3)现在按分层抽样的方法在80,90和90,100两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在90,100的概率.

19．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设AB=a，AC=b，AD=c.
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
20．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A0,5，B1,-2，C-3,-4.求：
(1)△ABC外接圆的方程；
(2)若点P是△ABC外接圆上的一动点，点M3,-1为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程.
21．甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为35，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为25，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；
(2)求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率.
22．如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.
(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；
(2)求二面角E-BC-F的正弦值；
(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求点P到平面CDE的距离.
参考答案：
1．C【详解】对于A，因为21≠-31≠11，所以两向量不平行；对于B，因为2-2=-33≠11，所以两向量不平行；
对于C，因为2-23=-31=1-13=-3，所以两向量平行；对于D，因为2-2≠-3-1≠11，所以两向量不平行.故选：C.
B【详解】因为圆M以P1P2为直径，所以圆心M的坐标为0,5，半径为MQ=0-22+5-62=5，
∴圆M的标准方程为x2+y-52=5.故选：B.
3．C【详解】因为直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行，所以a⋅2=1×22×4≠2×-1，解得a=1，
即直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行的等价条件为a=1，
所以“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的充分必要条件.故选：C.
4．B【详解】解：从五个数字中任取两个不相同的数，
基本事件共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，
其中和为质数的事件有（1，2），（1，4），（2，3），（2，5），（3，4），共5个，所以P=12．
5．D【详解】联立两直线方程x+3y-7=0x-y+1=0⇒x=1y=2，即P1,2，
由点到直线的距离公式可得P到直线l:2x-y=1的距离为d=1×2-2-122+-12=55.故选：D
6．C【详解】∵A1,1,1，P2,2,-1，∴AP=1,1,-2，又m=1,1,0，
∴AP在m方向上的投影AP⋅csAP⋅m=AP⋅mm=22=2，∴P到l距离d=|AP|2-(2)2=6-2=2.
7．C【详解】设点P(x,y)为直线x+y=0上的动点，
由x2+y2-2x-2y+2+x-22+y2=x-12+y-12+x-22+y2可看作P(x,y)与1,1的距离和P(x,y)与2,0的距离之和，
设点M(1,1)，N(2,0)，则点M'(-1,-1)为点M(1，1)关于直线x+y=0的对称点，
故PM=PM'，且M'N=(2+1)2+(0+1)2=10，
所以PM+PN=x-12+y-12+x-22+y2 =PM'+PN≥M'N= 10，
当且仅当P,M',N三点共线时，取等号，所以x2+y2-2x-2y+2+x-22+y2的最小值为10.故选：C
8．B【详解】设点P的坐标为x,y，因为PA=2PB，则PA2=2PB2，
即x+12+y2=2x-22+y-12，所以点P的轨迹方程为(x-5)2+(y-2)2=20，
因为P点的轨迹关于直线mx+ny-2=0m>0,n>0对称，所以圆心5,2在此直线上，即5m+2n=2，
所以2m+5n =125m+2n2m+5n =1220+4nm+25mn≥10+12×24nm⋅25mn=20，当且仅当4nm=25mn，即m=15,n=12时，
等号成立，所以2m+5n的最小值是20.
9．AD【详解】对于A，向量a=1,1,1，b=-1,0,2，则a+b=0,1,3，A正确；对于B，|a|=12+12+12=3，B错误；对于C，由数量积的定义得a⋅b=1×(-1)+1×0+1×2=1，C错误；
对于D，|b|=(-1)2+22=5，所以cs〈a,b〉=a⋅bab=13×5=1515，D正确.
10．CD【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，
则PA=24=12，A不正确：事件B含有的基本事件有8个：1,2，1,4，2,1，2,3，3,2，3,4，4,1，4,3，其中事件2,1，2,3，3,2，3,4发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，PB=816=12，PAB=416=14=PAPB，即事件A与事件B相互独立，C正确；PA∪B=PA+PB-PAB=12+12-14=34，D正确.
11．BC【详解】以D为原点，DA,DC,DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3)，设P(0,t,0)0所以AP=-3,t,0,AD1=-3,0,3，AB=(0,3,0)，
设n=x,y,z为平面AD1P的法向量，则有：n⋅AP=-3x+ty=0n⋅AD1=-3x+3z=0，令y=3，可得n=(t,3,t)，则点B到平面AD1P的距离为d=AB⋅nn=92t2+9，
因为012．BC【详解】对于A，过点（-2，-1）且斜率为-3的直线的点斜式方程为y+1=-3x+2，故A错误；
对于B，直线3x-3y-1=0的的斜率为，一个方向向量为（3，1），故B正确；对于C，因为点A(5,-2)和点B(m,n)关于直线x-y+1=0对称，所以n+2m-5⋅1=-15+m2-n-22+1=0，解得m=-3n=6，故m+n=3，C正确；对于D，设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，因为直线l过点P1,3，所以1a+3b=1，所以1=1a+3b≥23ab，所以ab≥12，所以S△OAB=12ab≥12×12=6，当且仅当1a=3b1a+3b=1即a=2b=6时，△OAB面积取到最小值为6，故D错误.故选：BC
13．(-∞,134)【详解】由圆的一般式方程可得D2+E2-4F>0，即22+(-3)2-4m>0，求得m<134.故答案为：(-∞,134)．
14．39【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因为8×75%=6，所以第75百分位数为38+402=39.故答案为：39
15．0,π4∪3π4,π，【详解】解：如图，∵A(1,-2)，B(2,1)，P(0,-1)，∴kPA=-2-(-1)1-0=-1，kPB=-1-1-0-2=1，
则使直线l与线段AB有公共点的直线l的斜率k 的范围为k∈[-1，1]，
又直线倾斜角的范围是：0,π，且k=tanα ∴直线l的倾斜角的范围为α∈ 0,π4∪3π4,π．
16．32【详解】PO=PC+CO=PC+13CA+CB=PC+13PA-PC+PB-PC=13PA+PB+PC=13PAPQ⋅PQ+13PBPR⋅PR+13PCPS⋅PS；OSQR四点共面，故13PAPQ+13PBPR+13PCPS=1，即1PQ+1PR+1PS=32.故答案为：32
18．【详解】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数x=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5…………………………………3分（列式对得2分，结果得1分）
（2）因为成绩在40,70的频率为0.45，成绩在70,80的频率为0.3，所以中位数为
70+10×0.050.3≈71.67……3分（给出中位数在[70,80)得1分，列式对得1分，结果得1分，结果为分数或者71.66不得分）
（3）在80,90和90,100两组中的人数分别为100×（0.015×10）=15和100×（0.01×10）=10人，
所以在80,90分组中抽取的人数为5×1510+15=3人，记为a,b,c，在90,100分组中抽取的人数为2人，记为1,2，……2分
所以这5人中随机抽取2人的情况有ab,ac,bc,a1,a2,b1,b2,c1,c2,12共10种，…………2分（用排列组合求解也可以）
其中两人得分都在90,100的情况有1种，…………1分（没有列举基本事件扣2分，没有说明基本事件个数扣1分）
所以两人得分都在90,100的概率为P=110.…………1分
18．【详解】（1）当直线l过原点时，该直线l在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝3，方程即为4x+y＝0；
若a≠3，则3-aa+1=3-a，即a+1＝1，∴a＝0，方程即为x+y-3=0，∴a的值为0或3.
（2）若l不经过第三象限，直线l的方程化为y=-a+1x+3-a，则-a+1≤03-a≥0，解得-1≤a≤3，
∴a的取值范围是-1,3.
19．【详解】（1）证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以AC=BC,BD=AD，故CE⊥AB,DE⊥AB，又因为CE∩DE=E，CE,DE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE，
因为EG⊂平面CDE，所以AB⊥EG.
（2）由题意得：△ABC,△ACD,△ABD均为等边三角形且边长为1，所以AG=EC=32
AG=12b+c，EC=12BC+AC=12AC-AB+AC=b-12a，
所以AG⋅EC=12b+c⋅b-12a=12b2-14a⋅b+12c⋅b-14a⋅c
=12-14a⋅bcs60°+12c⋅bcs60°-14a⋅ccs60°=12-18+14-18=12，
设异面直线AG和CE所成角为θ，则csθ=csAG,EC=AG⋅ECAG⋅EC=1232×32=23
20．【详解】（1）由题意可作图如下：由A0,5,B1,-2，则线段AB的中点坐标为12,32，
线段AB的中垂线m的斜率km=-0-15+2=17，直线m的方程为：x-7y+10=0；
同理可得线段BC的中垂线n的方程：2x+y+5=0，
联立可得x-7y+10=02x+y+5=0，解得x=-3y=1，则直线n与m的交点D-3,1，
显然点D为△ABC外接圆的圆心，则该圆的半径r=AD=0+32+5-12=5，
所以△ABC外接圆的方程为：x+32+y-12=25.
（2）由题意可作图如下：设N的坐标为x,y，P的坐标为x0,y0，
由N为PM的中点，且M3,-1，则3+x02=x-1+y02=y，整理可得x0=2x-3y0=2y+1，
由P在圆D:x+32+y-12=25上，则x0+32+y0-12=25，
所以2x-3+32+2y+1-12=25，化简可得：x2+y2=254.
21.【详解】（1）设Ai=“甲第i轮得一分”i=1,2，设Bi=“乙第i轮得一分”i=1,2，设Ci=“两轮比赛甲得i分”i=0,1,2，设Di=“两轮比赛乙得i分”i=0,1,2，PD1=PB1B2∪B1B2=PB1B2+PB1B2=PB1B2+PB1B2=25×35+35×25=1225.所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为1225；
（2）设E=“不进行加赛甲就获得跳绳王”.PD0=PB1B2=PB1PB2=35×35=925,
PC1=PA1A2∪A1A2=PA1A2+PA1A2=PA1A2+PA1A2=35×25+25×35=1225,
PC2=PA1A2=PA1PA2=35×35=925,
PE=PC2D1∪C2D0∪C1D0=PC2D1+PC2D0+PC1D0=PC2PD1+PC2PD0+PC1PD0=925×1225+925×925+1225×925=297625,所以不进行加赛甲就获得跳绳王的概率为297625.
22．【详解】（1）证明：因为AD//BC，AD⊥CD，DG⊥平面ABCD，而AD、DC⊂平面ABCD，所以DG⊥AD，DG⊥DC，
因此以D为坐标原点，分别以DA、DC、DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DA=DC=DG=2，
所以D0,0,0， A2,0,0，B1,2,0，C0,2,0， E2,0,2，F0,1,2，G0,0,2，M0,32,1，N1,0,2，
设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量，DC=(0,2,0)，DE=(2,0,2)，则n0⋅DC=2y=0n0⋅DE=2x+2z=0，不妨令z=-1，可得n0=(1,0,-1)；又MN=1,-32,1，所以MN⋅n0=0，得MN⊥n0，又∵直线MN⊄平面CDE，∴MN//平面CDE．
（2）依题意，可得BC=(-1,0,0)，BE=(1,-2,2)，CF=(0,-1,2)，
设n=(x1,y1,z1)为平面BCE的法向量，则n⋅BC=-x1=0n⋅BE=x1-2y1+2z1=0，不妨令z1=1，可得n=(0,1,1)，设m=(x2,y2,z2)为平面BCF的法向量，则m⋅BC=-x2=0m⋅CF=-y2+2z2=0，不妨令z2=1，可得m=(0,2,1)，若二面角E-BC-F的大小为θ，则|csθ|=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=31010，因此sinθ=1-cs2θ=1-310102=1010，∴二面角E-BC-F的正弦值为1010．
（3）设P点坐标为0,0,h0≤h≤2，则BP=-1,-2,h，平面ADGE的一个法向量为DC=0,2,0，
则csBP,DC=BP⋅DCBPDC=425+h2=cs30∘=32，解得h=33，有DP=0,0,33，平面CDE的法向量n0=(1,0,-1)，
点P到平面CDE的距离d=DP⋅n0n0=332=66.