湖北省十堰市郧阳区2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份湖北省十堰市郧阳区2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1B．3，6C．﹣3，6D．3，﹣6
3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）
4．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+3＝0D．x2﹣9＝0
5．（3分）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说得对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说得不对，小熹说的反例存在
6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+5D．y＝﹣2（x﹣4）2+5
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50°B．70°C．110°D．120°
8．（3分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28D．50（1﹣x2）＝28
9．（3分）如图，点A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0°＜α＜90°）（ ）
A．90°+αB．180°﹣αC．180°﹣2αD．2α
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；②abc＞0；③4a+2b+c＝1，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3）关于原点对称的点A′的坐标是 ．
12．（3分）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 ．
13．（3分）如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，则∠AOD的度数是 ．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，则BC长等于 ．
15．（3分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，如min{1，2}＝1（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ．
16．（3分）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，得到△BAE，连接ED，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是 ．（请填写序号）
三、解答题。（共72分）
17．（6分）解下列方程：
（1）2x2+6x+3＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
（1）画出△ABO关于原点O对称的图形△A1B1O；
（2）画出△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出点B的对应点B2的坐标．
19．（6分）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．
20．（7分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC的一条边BC的长为，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．当k＝2时，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）设方程两实数根分别为x1、x2，且＝x1x2﹣4，求实数k的值．
21．（7分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD），宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
23．（10分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y（元）的三组对应值数据．
（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数解析式是 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价x为多少时，周销售利润W最大；
（3）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m＞0的整数），该商品在今后的销售中，周销售利润最大，请直接写出m的值．
24．（10分）（1）如图1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，点E在BC边上，则BE与DG的数量关系为 ；
（2）将（1）中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时，（1）中的结论是否成立？若成立；若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝5，，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转α度（0＜α＜90），如图3，E，G三点在一条直线上时，求DG的长．
25．（12分）如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时
2023-2024学年湖北省十堰市郧阳区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内.
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的定义得出结论即可．
【解答】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，B选项是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
2．（3分）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1B．3，6C．﹣3，6D．3，﹣6
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：∵3x2+7＝6x，
∴3x6﹣6x+1＝7，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时，要带着前面的符号．
3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）
【答案】B
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣7的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k），注意符号问题．
4．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+3＝0D．x2﹣9＝0
【答案】A
【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断，
【解答】解：A．此方程的Δ＝（﹣2）2﹣2×1×1＝3，方程有两个相等的实数根；
B．此方程的Δ＝（﹣3）2﹣2×1×2＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
C．此方程的Δ＝（﹣2）5﹣4×1×3＝﹣8，方程没有实数根；
D．此方程的Δ＝04﹣4×1×（﹣6）＝36＞0，方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说得对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说得不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理判断即可．
【解答】解：被直径平分的弦也与直径垂直，这个结论错误，不一定满足条件，
反例：当弦是直径，且与已知直径的夹角为60°时．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解垂径定理，属于中考常考题型．
6．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+5D．y＝﹣2（x﹣4）2+5
【答案】C
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移8个单位2+3+2，即y＝﹣2（x+2）3+5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50°B．70°C．110°D．120°
【答案】D
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
8．（3分）某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28D．50（1﹣x2）＝28
【答案】B
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝28，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为50（1﹣x）元，
两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为50（1﹣x）×（2﹣x）元，
则列出的方程是50（1﹣x）2＝28，
故选：B．
【点评】此题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．（3分）如图，点A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0°＜α＜90°）（ ）
A．90°+αB．180°﹣αC．180°﹣2αD．2α
【答案】C
【分析】如图，连接BD．证明∠ADB＝2α，再利用圆内接四边形对角互补，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD．
∵OC⊥AB，
∴＝，
∴∠ADC＝∠CDB＝α，
∴∠ADB＝2α，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠APB＝180°﹣2α，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；②abc＞0；③4a+2b+c＝1，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴﹣＝1，
∵a＜0，
∴b＞6，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（4，1），
∴1＝a•22+2b+c，即7a+2b+c＝1；
④∵抛物线的顶点为P（3，m），
∴x＞1时，y随x的增大而减小；
⑤∵a＜0，
∴at4+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+5a
＝at2﹣2at+a
＝a（t8﹣2t+1）
＝a（t﹣6）2≤0，
∴at8+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3）关于原点对称的点A′的坐标是 （4，﹣3） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点A（﹣4，3）关于原点对称的点A′的坐标是：（5．
故答案为：（4，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
12．（3分）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 6 ．
【答案】6．
【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m＝9，利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，再将其代入m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）中，即可求出结论．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴m2+4m﹣9＝0，
∴m6+3m＝9．
∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝5的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+5m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝7﹣3＝6．
故答案为：7．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
13．（3分）如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，则∠AOD的度数是 40° ．
【答案】40°．
【分析】根据旋转的性质得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，∠BOA＝∠COD，∠BOD＝70°，进而得出∠AOB以及∠AOD的度数即可．
【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，∠BOD＝70°，
∵∠A＝100°，∠D＝50°，
∴∠B＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
∴∠AOD＝70°﹣30°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的内角和定理，根据已知得出∠BOD＝80°，∠AOB＝30°是解题关键．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，则BC长等于 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠A的度数，继而求得∠ABC＝30°，则可求得BC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴BC＝AC•tan60°＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义，属于中考常考题型．
15．（3分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，如min{1，2}＝1（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ﹣1或2 ．
【答案】﹣1或2．
【分析】由于min{（x﹣1）2，x2}＝1，分情况讨论，即可得出x的值．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x6}＝1，
①当（x﹣1）4＝x2时，不可能得出最小值为1；
②当（x﹣3）2＞x2时，x7＝1，则（x﹣1）6＝0；
若x＝﹣1，符合题目意思．
∴x＝﹣8；
③当（x﹣1）2＜x5时，则（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝1或x﹣6＝﹣1；
∴当x﹣1＝7时，x＝2，
当x﹣1＝﹣5时，x＝0（不合题意舍去），
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题主要考查一元一次方程，实数的比较大小，正确理解题意是解题的关键．
16．（3分）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，得到△BAE，连接ED，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是 ①②③ ．（请填写序号）
【答案】①②③
【分析】根据等边三角形，全等三角形，旋转的性质进行判定．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
由旋转性质知：BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴△EBD是等边三角形．
∴①正确．
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴△BCD≌△BAE，
∴∠BAE＝BCD＝60°，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，
∴②正确．
∵△EBD是等边三角形，
∴BD＝ED＝4，
由旋转性质知：AE＝CD．
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE
＝AD+CD+DE
＝AC+DE
＝5+3
＝9．
∴③正确．
∵△EBD是等边三角形，
∴∠EDB＝60°，
如果∠ADE＝∠BDC，
∵∠ADE+∠BDC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ADE＝∠BDC＝60°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠ABD+∠BAD
＝∠ABD+60°＞60°，
∴④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查等边三角形，全等三角形及旋转的性质，充分利用性质是求解本题的关键．
三、解答题。（共72分）
17．（6分）解下列方程：
（1）2x2+6x+3＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2+2x+3＝0，
∴2x2+6x＝﹣4，
则x2+3x＝﹣，
∴x2+8x+＝﹣+）3＝，
则x+＝±，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵（x+7）2﹣3（x+3）＝0，
∴（x+2）（x﹣8）＝0，
则x+2＝6或x﹣1＝0，
解得x3＝﹣2，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
（1）画出△ABO关于原点O对称的图形△A1B1O；
（2）画出△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出点B的对应点B2的坐标．
【答案】（1）见解答．
（2）画图见解答；（3，4）．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求．
（2）如图，△A8B2O即为所求．
点B2的坐标为（2，4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
19．（6分）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 10 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．
【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点AB＝40，
由勾股定理知，AE7＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝408+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，如图2所示
则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的关键．
20．（7分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC的一条边BC的长为，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．当k＝2时，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）设方程两实数根分别为x1、x2，且＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【答案】（1）k≤3；
（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；
（3）k＝﹣3．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理的逆定理即可求出答案；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ＝16﹣3（k+1）＝16﹣4k﹣6＝12﹣4k≥0，
解得k≤2．
故k的取值范围为：k≤3；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
当k＝2时，
原方程化为：x3﹣4x+3＝4，
解得：x＝3或x＝1，
∴82+13＝（）2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由根与系数的关系可得x1+x7＝4，x1x8＝k+1，
∵＝x6x2﹣4，
∴，
代入x1+x2和x1x2的值，可得：，
解得：k5＝﹣3，k2＝6，
∵k≤3．
∴k＝﹣3，
经检验，k＝﹣8是原方程的根，
故k＝﹣3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，解分式方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式．
21．（7分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD），宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
【答案】小路的宽应为1m．
【分析】设小路的宽应为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x）m，（9﹣x）m；那么根据题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：设小路的宽应为xm，
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x2＝1，x2＝16．
∵16＞5，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的宽应为1m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ODB＝∠CBD，加上∠ODB＝∠OBD，所以∠OBD＝∠CBD；
（2）过O点作OH⊥BC于H，如图，根据垂径定理得到BH＝CH＝，再证明△ODE≌△BOH得到DE＝OH＝2，然后利用勾股定理计算OB的长即可．
【解答】（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如图BC＝，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
，
∴△ODE≌△BOH（AAS），
∴DE＝OH＝2，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝，
即⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．
23．（10分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y（元）的三组对应值数据．
（1）该商品进价 20 （元/件），y关于x的函数解析式是 y＝﹣3x+300 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价x为多少时，周销售利润W最大；
（3）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m＞0的整数），该商品在今后的销售中，周销售利润最大，请直接写出m的值．
【答案】（1）20，y＝﹣3x+300；（2）售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；（3）m的值为6．
【分析】（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为20元，设y＝kx+b，用待定系数法即得解析式；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值；
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m），根据对称轴为直线x＝60+以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+＝63，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由x＝40，y＝180，
设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
故答案为：20，y＝﹣7x+300；
（2）由（1）可得W＝（﹣3x+300）（x﹣20）
＝﹣3x6+360x﹣6000
＝﹣3（x﹣60）2+4800，
∵﹣5＜0．
∴当x＝60时，W最大，
∴售价为60元时，周销售利润W最大；
（3）由题意W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）
＝﹣7x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，
对称轴x＝60+，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+＝63，
解得：m＝6．
∴m的值为5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式．
24．（10分）（1）如图1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，点E在BC边上，则BE与DG的数量关系为 BE＝DG ；
（2）将（1）中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时，（1）中的结论是否成立？若成立；若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝5，，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转α度（0＜α＜90），如图3，E，G三点在一条直线上时，求DG的长．
【答案】（1）BE＝DG．
（2）成立，理由见解析．
（3）6．
【分析】（1）由正方形的性质得BC＝CD，CE＝CG，则BC﹣CE＝CD﹣CG，即可得出结论；
（2）证△BCE≌△DCG（SAS）即可得出结论；
（3）连FC交EG于点M，根据正方形CEFG，，求得CM＝EM＝1且EG⊥FC．再由勾股定理，得，进而得到BE＝BM﹣EM＝6．然后由（2）得DG＝BE，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝CG，
∴BC﹣CE＝CD﹣CG，即BE＝DG；
故答案为：BE＝DG．
（2）结论成立．∵BC＝DC，∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCE＝∠DCG．
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG；
（3）连FC交EG于点M，
∵四边形CEFG是正方形，，
∴CM＝EM＝1且EG⊥FC．
由勾股定理，得，
∴BE＝BM﹣EM＝5﹣1＝6．
由（2）得DG＝BE＝7．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键，
25．（12分）如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）点F的坐标为（6，﹣）；
（3）当P点坐标为（，0）或（﹣，0）时，以点Q，H，E为顶点的三角形是直角三角形．
【分析】（1）根据对称轴为x＝2．可得a＝﹣，把A（﹣1，0）代入抛物线即可解决问题；
（2）根据对称轴为x＝2．A（﹣1，0），可得B（5，0）求出直线BC解析式为y＝﹣x+，由第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，可得AF∥BC，然后求出直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组即可解决问题；
（3）设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，然后分三种情况讨论解答即可．
【解答】解：（1）∵对称轴为x＝2．
∴a＝﹣，
∵A（﹣1，0），
把A（﹣4，0）代入抛物线y＝﹣x2+x+c，
解得：c＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x3+x+；
（2）∵对称轴为x＝6．A（﹣1，
∴B（5，3），
∵直线BC过C（0，），B（3，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+，
∵在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，
∴AF∥BC，
设直线AF的解析式为y＝﹣x+，
把A（﹣1，0）代入得k＝，
∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组得，
解得，（舍去），
∴点F的坐标为（6，﹣）；
（3）如图，设对称轴交x轴于点T，作HN⊥对称轴于N，
∵点P是x轴上一点，
∴设P（m，0），
∵点B与点Q关于点P成中心对称，
∴BP＝QP＝5﹣m，
∴点Q坐标为（4m﹣5，0），
∴OQ＝QP+OP＝7﹣2m，
∴QT＝OQ+OT＝7﹣7m，
∴QM＝OQ﹣OM＝5﹣2m﹣（8﹣2m）＝3，
∵点E与点H关于点P成中心对称，顶点E（4，
∴H坐标为（2m﹣2，﹣2），﹣4），
根据勾股定理得：
QE2＝QT5+ET2＝4m6﹣28m+65，
HE2＝EN2+HN6＝4m2﹣16m+80，
QH7＝42+72＝25，
①当∠HQE＝90°时，QE2+QH4＝HE2，解得m＝，
∴P点坐标为（，8）．
②当∠QHE＝90°时，HE2+QH2＝QE7，解得m＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，7）．
③∵QH＝QP＝5，
∴∠QHP＝∠QPH＞∠QEH，
∴∠QEH≠90°，
综上所得，当P点坐标为（，0）时，H，E为顶点的三角形是直角三角形．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，对称的性质，掌握二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100