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华师大版数学七年级上册 第4章 图形的初步认识 教学设计
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这是一份华师大版数学七年级上册 第4章 图形的初步认识 教学设计，共20页。
第4章 图形的初步认识
4．1 生活中的立体图形
1．能从现实背景中抽象出立体图形；
2．认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球；
3．认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征．
重点
1．感受图形世界的丰富多彩；
2．认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球．
难点
认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征．
一、创设情境
一幅幅精美的图片带领同学们一起神游大地，去领略祖国的美景．
出示图片：北京天坛、故宫、鸟巢、水立方．
千姿百态的建筑物美化了我们的生活，展示了建筑师的聪明才智，在这些实物中有没有大家熟悉的立体图形？
二、探究新知
1．我们生活中的很多物体都是立体的，而这些物体中有一部分是较有规则的，如：
生活物体
苹果、球
天坛顶端
塔顶
粉笔盒
笔筒
类似图形
球体
圆锥
棱锥
棱柱
圆柱
2.常见的立体图形如下图：
在上面的图形中：
(1)图1所表示的立体图形是柱体(圆柱体)；
(2)图2所表示的立体图形是柱体(棱柱体)；
(3)图3所表示的立体图形是锥体(圆锥体)；
(4)图4所表示的立体图形是球体；
(5)图5所表示的立体图形是锥体(棱锥体)．
3．多面体的概念：
观察上图2，5与图1，3，4，它们有什么区别？
小结：如上图2，5，围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体．
4．归纳总结：你能将这些立体图形进行分类吗？
简单立体图形分类：
立体图形
5．另外，棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……
棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……
三、练习巩固
1．在下面四个物体中，最接近圆柱的是( )
2．下列图形中上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与上面立体图形对应的实物．
四、小结与作业
小结
1．简单立体图形分类：
立体图形
2．多面体的概念：围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体．
作业
教材习题4.1第1～3题．
本节课的教学应从具体的图像入手，引导学生从中抽象出立体图形，使学生经历从具体到抽象的思维过程．初步培养学生的抽象思维能力，通过对简单立体图形的分类，渗透分类思想，提高学生的识图能力，通过比较掌握图形的特征．
4．2 立体图形的视图
1．经历“从不同方向观察物体”的活动过程，发展空间观念；
2．在观察的过程中，初步体会从不同方向观察同一个物体可能看到不一样的结果；
3．能画出简单立体图形的三视图；
4．使学生能利用三视图来描述出实际的立体图形．
重点
如何确定物体的三视图和如何根据三视图画出正确的立体图．
难点
如何根据三视图描述具体的立体图形．
一、创设情境
1．工人在建造房子之前，首先要看房子的图纸，但在平面上画立体的物体不是一件简单的事，因为必须把它画得从各个方向看都很清楚．为了解决这个问题，创造了三视图法．建筑工程师和工人为了描绘和制造各种物体常常使用这种方法．
2．视图来自于投影．下面请同学们利用手型的变化做一个手影游戏，比一比谁的手影最具有创意．
3．灯光的光线可以看作是从一点发出的，我们称这种投影为中心投影；太阳的光线可以看作是平行的，我们称这种投影为平行投影，视图是一种特殊的平行投影．
二、探究新知
1．由立体图形到视图
(1)观察下列物体，你从正面、上面和左面(或右面)看到的图形是一样的吗？你能将看到的图形画出来吗？
(2)学生尝试完成．
(3)小结：从不同的方向看同一个物体，所看到的结果可能是不同的，从正面看到的图形称为主视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看方向不同，有左视图、右视图．
2．由视图到立体图形
观察思考：下图中所示的是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称，并画出相应的实际立体图形．
(1)
(2)
教师根据学生的回答小结：
(1)该立体图形是长方体，如图所示：
(2)该立体图形是圆锥，如图所示：
三、练习巩固
1．画出下列物体的三视图．
2．如图是由几个小立方体所搭成的立体图形的俯视图．小正方形中的数字表示在该位置上小立方体的个数．请画出这个立体图形的主视图和左视图．
四、小结与作业
小结
1．从不同的方向看同一个物体，所看到的结果可能是不同的．从正面看到的图形，称为主视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看方向不同，有左视图、右视图．
2．我们可以通过一个物体的三视图，描述这个物体的形状．
作业
教材第129页习题4.2第1，2题．
本节课对学生的抽象思维能力的发展很重要，是学生由具体到抽象的过渡．由两个内容构成，一是由立体图形到视图，要使学生明确从不同的方向看，可能会看到不同的图形，通过观察与归纳，能画出从不同方向看到的图形，发展观察思考能力；二是由视图到立体图形，这是本节课的难点，开始可以由简单的、学生熟悉的图形入手，让学生通过观察和想象，描述具体的立体图形，对于比较复杂的图形，可以适当让学生用实物演示，得出结论，然后总结方法和规律，逐步过渡到直接抽象出相应的立体图形．
4．3 立体图形的表面展开图
1．让学生通过直观感知、操作等实践活动，丰富立体图形的认知和感受，进一步认识立体图形与平面图形的关系；
2．会判断所给定的平面图形能否折成立体图形；
3．给出一些立体图形的展开图，能说出相应立体图形的名称；
4．会判断给定的平面图形是否为某立体图形的展开图，并会把一个简单的立体图形展开成平面图形．
重点
根据立体图形研究其展开图和根据展开图判别立体图形．
难点
研究一个简单立体图形展开图．
一、创设情境
1．观察生活的周围，就会发现物体的形状千姿百态……，这其中蕴含着许多图形的知识．
2．当我们进行包装时，它们的展开图是怎样的呢？下面让我们一起来探究．
二、探究新知
1．圆柱体是我们所熟悉的图形，那么圆柱体的侧面展开图是什么图形呢？请你画出来．
2．“折一折”：如下图是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？
3．正方体有哪几种展开图，你能画出来吗？
学生以小组为单位展开探究，将结果画在黑板上，教师及时予以总结．正方体展开图如下图：
根据图形做出归纳小结：第一行是1－4－1组合；第二行第1～3个是2－3－1组合；第二行最后两个分别是2－2－2和3－3组合．
三、练习巩固
1．如图，( )不是正方体的展开图．
2．如图，下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称．
3．在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有( )
A．7种
B．4种
C．3种
D．2种
四、小结与作业
小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？
作业
教材第131～132页练习第1，2，3题．
本节课主要内容是立体图形的平面展开图，学习本节课内容需要学生有一定的空间想象能力，所以在实际教学中，应多从具体的实物入手，让学生通过动手操作来发现规律并及时进行总结，然后再通过抽象的想象来解决问题，给学生一个适应的过程．
4．4 平面图形
1．知识目标：让学生经历观察——画图——认知——设计的过程，了解生活中的圆和多边形；通过画图——分析——归纳，了解多边形与三角形之间的关系，将一个多边形分割成三角形．
2．能力目标：从具体图形中，通过抽象、概括，画出它的表面形状，把一个多边形进行分割转化成三角形，从中渗透数学转化思想，并锻炼学生的动手操作能力．
重点
让学生发现生活中的圆、多边形及其给生活带来的美和享受，进而认识多边形，会将一个多边形分割成三角形．
难点
多边形分割成三角形的方法．
一、创设情境
1．观察下面所示的各物体，你能画出它们表面轮廓线的形状吗？
2．虽然我们所处的世界是一个立体的世界，是一个三维的世界，但通过前面的学习，我们也知道，立体图形是由平面图形所组成的，我们也知道，其实有时我们观察物体，都是从其表面开始的：
生活物体
硬币
镜框
塔的横截面
三角旗
扇子
表面图形
圆
长方形
六边形
三角形
扇形
二、探究新知
1．其实，生活中的物体，它们的表面都是有一定形状的平面图形，如：
2．观察这些图形，你能发现它们是怎样构成的吗？
概括：(1)圆是由曲线围成的封闭图形；
(2)多边形是由线段围成的封闭图形．
按照组成多边形的边数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……另外，多边形也可分为凹多边形与凸多边形．
3．我们都知道，每个多边形都可以看成是由三角形组成的，即三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．如：
从上图中，可以发现三角形的个数刚好与边数有一定的规律：
三角形的个数＝边数－2
三、练习巩固
1．下列图形中，是四边形的是( )
A．①③ B．②③④
C．③④ D．①②④⑤
2．如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形．
按如图所示的方法，十五边形可以分成________个三角形．
四、小结与作业
小结
1．(1)圆是由曲线围成的封闭图形；
(2)多边形是由线段围成的封闭图形．
2．在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．
作业
教材第136页练习第1，2题．
1．在本节课的教学中，从数学的具体图形入手，让学生通过观察与思考，得出结论．将多边形分割成若干个三角形是本节课教学的难点，教师要引导学生动手操作，总结出规律，应该鼓励学生采用不同的分割方法．
2．本节课能抓住学生的爱好和心理需求，在轻松、愉快的气氛中让学生学到数学知识，并能把数学知识同生活实际联系起来．
3．本节课是在学生认识多边形和圆，并认识到它们可以组成各种优美的图案的基础上发散学生的思维能力，培养学生大胆想象的能力、创新能力和动手能力．让学生真正参与了教学，同时学生也得到了展示自己的机会和舞台．
4．5 最基本的图形——点和线
4．5.1 点和线
1．使学生理解任何图形都是由点和线组成的，体会线段、射线、直线的形象，正确区分这三个图形，掌握它们的表示方法．
2．感受、体会、理解“两点之间，线段最短”以及“两点确定一条直线”，掌握两点间距离的概念．
重点
线段、射线、直线的定义以及表示方法，熟悉简单的几何语言．
难点
线段、射线、直线的区别与联系．
一、创设情境
1．如果你站在一座足够高的楼上，望着楼底下的某一个人，那么你将能见到什么？
2．黑夜中用聚光灯照射远处的墙壁，我们会看到什么？
3．如果你把一条两头都打结的绳子拉直了，你将能发现什么？
二、探究新知
1．从情景中，我们可以知道，你能看到的将是一个点，而这个点就表示着这个人或聚光灯照射处的位置，因此，可以概括：点通常表示一个物体的位置．
点
图形：·A
表示：点A(A点)．
2．日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象．
线段
图形：
表示： 线段AB 线段d
3．利用线段的形象，我们顺利地引出了射线与直线．
概括：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线；把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．
射线
图形：
表示： 射线AB 射线d
直线图形：
表示： 直线AB 直线d
4．小结：对于线段、射线、直线，应该进行综合的比较：
线段
射线
直线
图形
表示
线段AB
射线AB
直线AB
几个端点
2个
1个
0个
能否延伸
不能
向一边无限延伸
向两边无限延伸
能否度量
能
不能
不能
5.试一试．
(1)线段公理
观察下图，从A地到B地有三条路径，你会选择哪一条？
从上边的图中，我们很容易发现：如果从A地到B地，走直路的路程是最短的，即在这些把A，B连结起来的线中，线段AB是最短的．
概括：两点之间，线段最短．
连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离．
(2)直线的公理
我们要把一根木条钉紧，只用一个钉子，行吗？那么至少需要钉几个钉子才能将木条钉紧？
由生活中的经验，我们都知道，一个是不够的，至少需要两个钉子才能将木条钉紧．
概括：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线．
三、练习巩固
1．四条直线两两相交，其交点个数最多有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图所示，共有线段________条；共有射线________条；共有直线________条．
3．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明______________________；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明________________________．
四、小结与作业
小结
1．线段、射线、直线之间的区别．
2．两点之间，线段最短．
连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离．
3．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线．
作业
教材习题4.5第1，2题．
本节课是学生学习几何的入门课，培养学生的几何意识对于本节课来讲就很重要，教师可以从具体形象的实际例子入手，使学生经历从具体到抽象的思维过程，从而培养学生的几何意识．抽象是数学的一种基本思想和基本方法，让学生从实际生活的物体、图形中抽象得到点、线、面、体等数学概念．概括事物的数学属性，引导学生从数学的角度去看待实际物体，提高学生的抽象思维能力，引导学生的思维习惯．
4．5.2 线段的长短比较
1．使学生分别掌握测量与重叠来比较线段大小的方法；
2．使学生充分理解两条线段大小比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化；
3．线段中点的性质及其简单运算．
重点
线段大小比较的方法及其原理．
难点
如何引导学生从“数量”的角度引入到从“形”的角度来分析两条线段的大小比较．
一、创设情境
1．如果有两个同学在比较高矮，你们一般是怎么做的？
解决方法：让两个人站在一起来比较；分别量出这两个同学的身高．
2．如何比较数学书长和宽的长度大小？你能够想到什么方法？
解决办法：可以拿两本相同的数学书，将长和宽重叠进行比较；分别测量长和宽的长度；用圆规截取书本的宽度，再和长相比较．
二、探究新知
1．从上面的探究总结，怎样比较下图中两条线段的长短？
小结：从上面的引例，我们很容易知道，比较两条线段的长短有两种方法：
(1)用刻度尺度量；(2)利用圆规进行移动．
如图有线段AB与线段CD，且进行了以上的有关比较方法．
如果通过比较可知：线段AB比线段CD短，则表示为：
ABAB)
2．如图，MN是已知线段，你能用直尺和圆规准确地画一条与MN相等的线段吗？
小结：我们可以先画射线AB，然后用圆规量出线段MN的长，再在射线AB上截取AC＝MN，那么，AC就是所要画的线段．
3．在一张半透明纸上画一条线段AB，将线段AB折叠，使点A和点B重合，折痕与线段AB的交点为C，测量AC、BC和AB的长度，你有什么发现？
小结：AC＝CB＝AB，AC＋CB＝AB
归纳：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．
如上图，点C是线段AB的中点．
三、练习巩固
1．如图①，AD＝AB－________＝AC＋________.
2．如图②，下列说法不能判断点C是线段的中点的是( )
A．AC＝CB B．AB＝2AC
C．AC＋CB＝AB D．CB＝AB
3．在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长．
四、小结与作业
小结
1．比较两条线段的长短有两种方法：
(1)用刻度尺度量；(2)利用圆规进行移动．
2．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．
如下图，点C是线段AB的中点．
则AC＝CB＝AB，AC＋CB＝AB.
作业
教材习题4.5第4，5题．
在本节课的安排上应逐渐在几何中渗透几何语言的描述，并应注意到其语言的规范性．在知识上应对本节课内容上有所拓展，而不能局限于教材，要引导学生来发现问题，并学会找到解决问题的方法．
4．6 角
4．6.1 角
1．使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义；
2．使学生掌握角的各种表示方法；
3．使学生掌握平角、周角和直角的概念；
4．掌握角的单位换算，会进行计算；
5．会用角准确地表示方向．
重点
角的概念及两个定义和角的表示方法．
难点
角的单位换算和用角准确地表示方向．
一、创设情境
观察下面的图形，你发现有什么共同的特点吗？
这些图形都给了我们角的形象．
二、探究新知
1．根据你对上面角的观察，你能说说什么样的图形叫做角？
小结：角的定义：
(1)角是由两条有公共端点的射线组成的图形．
(2)从运动变化的角度来看，角可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
2．如何表示一个角呢？
小结：角的表示方法：有以下几种表示方法(如图所示)：
3．平角和周角
在上面的旋转过程中，有两种特殊的情况：第一种是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；第二种是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角．
4．角的度量
如何使用量角器测量角的大小？
从量角器中我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°，但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位．把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1″.
这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：
1周角＝360° 1平角＝180°
1°＝60′ 1′＝60″
5．方位角
还记得下图的八个方向吗？但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向．如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式．
三、练习巩固
1．计算：
(1)180°－(35°18′5″＋62°56′15″)；
(2)180°－79°36′20″；
(3)73°45′55″＋61°41′37″.
2．写出图中所有小于平角的角．
四、小结与作业
小结
1．角的定义
(1)角是由两条有公共端点的射线组成的图形．
(2)从运动变化的角度来看，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
2．一条射线绕着端点旋转到角的终边和始边成一条直线，这时所成的角叫做平角；绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角．
3．角的单位换算
1周角＝360° 1平角＝180°
1°＝60′ 1′＝60″
4．我们可以借用角来表示方向．
作业
教材第148页练习第1，2题．
本节课的教学应该从学生所熟悉的图形入手，结合学生小学已经掌握的关于角的知识来逐步引入本节课内容，然后从静态和动态两个角度给角下定义．在讲解时，可利用相关的教具进行直观的演示，以利于学生理解．角的表示方法是本节课的重点，教师一定要讲清楚每种方法怎样表示以及应该注意的问题，使学生能够熟练掌握．角的度量单位的换算是本节课的难点，教师可提醒学生仿照时间的换算来进行记忆．在进行换算时，教师要先进行示范讲解，将每一步的过程演示清楚，然后可适当补充练习，使学生掌握．
4．6.2 角的比较和运算
1．了解角的大小比较的方法；
2．掌握角的度数的运算和角的运算；
3．掌握角的平分线及其应用；
4．会用圆规和直尺画一个角等于已知角．
重点
1．角的度数的运算和角的运算；
2．角的平分线及其应用．
难点
1．角的度数的运算；
2．角的平分线的应用．
一、创设情境
1．比较两条线段的长短有哪些方法？
小结：测量法；叠合法．
2．我们如何比较两个角的大小呢？
二、探究新知
1．角的大小比较
(1)出示教具，探索讨论：
观察以下三个角，你能说出它们的大小吗？
(2)学生提出方法，教师小结：
①叠合法(课件)
把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧．
②度量法
用量角器分别量出角的度数，再加以比较．
2．角的和差关系
(1)观察下图中有哪几个角，把它写下来：________________________________________．
(2)根据上图中角之间的关系填空：
∠AOB＝________＝________；
∠BOC＝________＝________；
∠AOC＝＝________＝________.
3．作一个角等于已知角
在前面的学习中，我们已经知道如何作一条线段等于已知线段，同样，我们也可以利用圆规来作一个角等于已知角．
4．角平分线
(1)请同学们把一个角的两边对折，让两边互相重合．这时，我们将看到这个角的中间有一条射线，请你测量所分成的两个角的大小，你有什么发现？
(2)小结：这条射线将这个角分成两个相等的角，这时，我们把这条射线称为这个角的角平分线．
归纳：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
如图，已知OC平分∠AOB，则有：∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.
三、练习巩固
1．如图，已知∠AOB＝50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.求∠EOD的度数．
2．如图，将长方形纸片沿AC折痕对折，使点B落在点B′处，CF是∠B′CE的平分线，求∠ACF的度数．
四、小结与作业
小结
1．角的大小比较方法：①叠合法；②度量法．
2．我们可以利用圆规来作一个角等于已知角．
3．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
作业
教材第151页练习第1，2，3题．
本节课主要学习角的大小比较和运算，是本章的重点和难点，所以在讲解的时候，要将每个知识点讲解透彻，要多举实例，使学生理解得更透彻．角的平分线是本节课的重点和难点内容，首先可以让学生通过折叠角得到角平分线，然后通过测量感知角平分线将一个角分成两个相等的角，使学生形成较深刻的印象，教师在学生探究的基础上，及时进行总结，形成完整的知识点，最后，通过具体的例子进行相关知识的应用，发展学生使用知识的能力．
4．6.3 余角和补角
1．理解互为余角和补角的概念；
2．掌握余角与补角的性质及其简单应用．
重点
正确求出一个角的余角和补角．
难点
余角和补角性质的应用．
一、创设情境
1．如图1，已知∠1＝149°，∠2＝31°，那么∠1＋∠2＝________.
2．如图2，已知∠COD＝90°，那么∠1＋∠2＝________.
二、探究新知
1．计算：
(1)如图3，已知∠1＝28°，∠2＝62°，那么∠1＋∠2＝________.
(2)如图4，已知∠1＝62°，∠2＝118°，那么∠1＋∠2＝________.
(3)如图5，A，O，B在同一直线上，∠1＋∠2＝________.
2．通过上面的计算，你发现∠1与∠2的和各满足什么条件？
小结：互为余角的定义：两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余；
互为补角的定义：两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补；
3．思考：
问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？
问题2：如果∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠1，∠2，∠3互为补角吗？
4．余角、补角的性质
(1)如图∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
余角性质：同角或等角的________相等．
(2)如图∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
补角性质：同角或等角的________相等．
三、练习巩固
1．如果∠α＝39°31′，∠α的余角∠β＝________，∠α的补角∠γ＝________，∠γ－∠β＝________.
2．若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，∠1＝40°，则∠3＝________，依据是________________．
3．一个角的补角比它少40°，求这个角的度数．
四、小结与作业
小结
1．两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余；
两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补；
2．余角性质：同角或等角的余角相等；
补角性质：同角或等角的补角相等．
作业
教材习题4.6第7，8题．
本节课主要学习了有关角的特殊关系：互为余角、互为补角，和它们相关的性质．对于它们之间的关系，一定要讲清“互为”的含义，对于余角和补角的性质必须在知识的应用中有一个初步掌握，并能理解应用．
第4章 图形的初步认识
4．1 生活中的立体图形
1．能从现实背景中抽象出立体图形；
2．认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球；
3．认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征．
重点
1．感受图形世界的丰富多彩；
2．认识现实背景中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球．
难点
认识立体图形中的圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们得到某种特征．
一、创设情境
一幅幅精美的图片带领同学们一起神游大地，去领略祖国的美景．
出示图片：北京天坛、故宫、鸟巢、水立方．
千姿百态的建筑物美化了我们的生活，展示了建筑师的聪明才智，在这些实物中有没有大家熟悉的立体图形？
二、探究新知
1．我们生活中的很多物体都是立体的，而这些物体中有一部分是较有规则的，如：
生活物体
苹果、球
天坛顶端
塔顶
粉笔盒
笔筒
类似图形
球体
圆锥
棱锥
棱柱
圆柱
2.常见的立体图形如下图：
在上面的图形中：
(1)图1所表示的立体图形是柱体(圆柱体)；
(2)图2所表示的立体图形是柱体(棱柱体)；
(3)图3所表示的立体图形是锥体(圆锥体)；
(4)图4所表示的立体图形是球体；
(5)图5所表示的立体图形是锥体(棱锥体)．
3．多面体的概念：
观察上图2，5与图1，3，4，它们有什么区别？
小结：如上图2，5，围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体．
4．归纳总结：你能将这些立体图形进行分类吗？
简单立体图形分类：
立体图形
5．另外，棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……
棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……
三、练习巩固
1．在下面四个物体中，最接近圆柱的是( )
2．下列图形中上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与上面立体图形对应的实物．
四、小结与作业
小结
1．简单立体图形分类：
立体图形
2．多面体的概念：围成立体图形的每一个面都是平的，像这样的立体图形又称为多面体．
作业
教材习题4.1第1～3题．
本节课的教学应从具体的图像入手，引导学生从中抽象出立体图形，使学生经历从具体到抽象的思维过程．初步培养学生的抽象思维能力，通过对简单立体图形的分类，渗透分类思想，提高学生的识图能力，通过比较掌握图形的特征．
4．2 立体图形的视图
1．经历“从不同方向观察物体”的活动过程，发展空间观念；
2．在观察的过程中，初步体会从不同方向观察同一个物体可能看到不一样的结果；
3．能画出简单立体图形的三视图；
4．使学生能利用三视图来描述出实际的立体图形．
重点
如何确定物体的三视图和如何根据三视图画出正确的立体图．
难点
如何根据三视图描述具体的立体图形．
一、创设情境
1．工人在建造房子之前，首先要看房子的图纸，但在平面上画立体的物体不是一件简单的事，因为必须把它画得从各个方向看都很清楚．为了解决这个问题，创造了三视图法．建筑工程师和工人为了描绘和制造各种物体常常使用这种方法．
2．视图来自于投影．下面请同学们利用手型的变化做一个手影游戏，比一比谁的手影最具有创意．
3．灯光的光线可以看作是从一点发出的，我们称这种投影为中心投影；太阳的光线可以看作是平行的，我们称这种投影为平行投影，视图是一种特殊的平行投影．
二、探究新知
1．由立体图形到视图
(1)观察下列物体，你从正面、上面和左面(或右面)看到的图形是一样的吗？你能将看到的图形画出来吗？
(2)学生尝试完成．
(3)小结：从不同的方向看同一个物体，所看到的结果可能是不同的，从正面看到的图形称为主视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看方向不同，有左视图、右视图．
2．由视图到立体图形
观察思考：下图中所示的是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称，并画出相应的实际立体图形．
(1)
(2)
教师根据学生的回答小结：
(1)该立体图形是长方体，如图所示：
(2)该立体图形是圆锥，如图所示：
三、练习巩固
1．画出下列物体的三视图．
2．如图是由几个小立方体所搭成的立体图形的俯视图．小正方形中的数字表示在该位置上小立方体的个数．请画出这个立体图形的主视图和左视图．
四、小结与作业
小结
1．从不同的方向看同一个物体，所看到的结果可能是不同的．从正面看到的图形，称为主视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看方向不同，有左视图、右视图．
2．我们可以通过一个物体的三视图，描述这个物体的形状．
作业
教材第129页习题4.2第1，2题．
本节课对学生的抽象思维能力的发展很重要，是学生由具体到抽象的过渡．由两个内容构成，一是由立体图形到视图，要使学生明确从不同的方向看，可能会看到不同的图形，通过观察与归纳，能画出从不同方向看到的图形，发展观察思考能力；二是由视图到立体图形，这是本节课的难点，开始可以由简单的、学生熟悉的图形入手，让学生通过观察和想象，描述具体的立体图形，对于比较复杂的图形，可以适当让学生用实物演示，得出结论，然后总结方法和规律，逐步过渡到直接抽象出相应的立体图形．
4．3 立体图形的表面展开图
1．让学生通过直观感知、操作等实践活动，丰富立体图形的认知和感受，进一步认识立体图形与平面图形的关系；
2．会判断所给定的平面图形能否折成立体图形；
3．给出一些立体图形的展开图，能说出相应立体图形的名称；
4．会判断给定的平面图形是否为某立体图形的展开图，并会把一个简单的立体图形展开成平面图形．
重点
根据立体图形研究其展开图和根据展开图判别立体图形．
难点
研究一个简单立体图形展开图．
一、创设情境
1．观察生活的周围，就会发现物体的形状千姿百态……，这其中蕴含着许多图形的知识．
2．当我们进行包装时，它们的展开图是怎样的呢？下面让我们一起来探究．
二、探究新知
1．圆柱体是我们所熟悉的图形，那么圆柱体的侧面展开图是什么图形呢？请你画出来．
2．“折一折”：如下图是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？
3．正方体有哪几种展开图，你能画出来吗？
学生以小组为单位展开探究，将结果画在黑板上，教师及时予以总结．正方体展开图如下图：
根据图形做出归纳小结：第一行是1－4－1组合；第二行第1～3个是2－3－1组合；第二行最后两个分别是2－2－2和3－3组合．
三、练习巩固
1．如图，( )不是正方体的展开图．
2．如图，下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称．
3．在图中添加一个小正方形，使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有( )
A．7种
B．4种
C．3种
D．2种
四、小结与作业
小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？
作业
教材第131～132页练习第1，2，3题．
本节课主要内容是立体图形的平面展开图，学习本节课内容需要学生有一定的空间想象能力，所以在实际教学中，应多从具体的实物入手，让学生通过动手操作来发现规律并及时进行总结，然后再通过抽象的想象来解决问题，给学生一个适应的过程．
4．4 平面图形
1．知识目标：让学生经历观察——画图——认知——设计的过程，了解生活中的圆和多边形；通过画图——分析——归纳，了解多边形与三角形之间的关系，将一个多边形分割成三角形．
2．能力目标：从具体图形中，通过抽象、概括，画出它的表面形状，把一个多边形进行分割转化成三角形，从中渗透数学转化思想，并锻炼学生的动手操作能力．
重点
让学生发现生活中的圆、多边形及其给生活带来的美和享受，进而认识多边形，会将一个多边形分割成三角形．
难点
多边形分割成三角形的方法．
一、创设情境
1．观察下面所示的各物体，你能画出它们表面轮廓线的形状吗？
2．虽然我们所处的世界是一个立体的世界，是一个三维的世界，但通过前面的学习，我们也知道，立体图形是由平面图形所组成的，我们也知道，其实有时我们观察物体，都是从其表面开始的：
生活物体
硬币
镜框
塔的横截面
三角旗
扇子
表面图形
圆
长方形
六边形
三角形
扇形
二、探究新知
1．其实，生活中的物体，它们的表面都是有一定形状的平面图形，如：
2．观察这些图形，你能发现它们是怎样构成的吗？
概括：(1)圆是由曲线围成的封闭图形；
(2)多边形是由线段围成的封闭图形．
按照组成多边形的边数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……另外，多边形也可分为凹多边形与凸多边形．
3．我们都知道，每个多边形都可以看成是由三角形组成的，即三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．如：
从上图中，可以发现三角形的个数刚好与边数有一定的规律：
三角形的个数＝边数－2
三、练习巩固
1．下列图形中，是四边形的是( )
A．①③ B．②③④
C．③④ D．①②④⑤
2．如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形．
按如图所示的方法，十五边形可以分成________个三角形．
四、小结与作业
小结
1．(1)圆是由曲线围成的封闭图形；
(2)多边形是由线段围成的封闭图形．
2．在多边形中，三角形是最基本的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．
作业
教材第136页练习第1，2题．
1．在本节课的教学中，从数学的具体图形入手，让学生通过观察与思考，得出结论．将多边形分割成若干个三角形是本节课教学的难点，教师要引导学生动手操作，总结出规律，应该鼓励学生采用不同的分割方法．
2．本节课能抓住学生的爱好和心理需求，在轻松、愉快的气氛中让学生学到数学知识，并能把数学知识同生活实际联系起来．
3．本节课是在学生认识多边形和圆，并认识到它们可以组成各种优美的图案的基础上发散学生的思维能力，培养学生大胆想象的能力、创新能力和动手能力．让学生真正参与了教学，同时学生也得到了展示自己的机会和舞台．
4．5 最基本的图形——点和线
4．5.1 点和线
1．使学生理解任何图形都是由点和线组成的，体会线段、射线、直线的形象，正确区分这三个图形，掌握它们的表示方法．
2．感受、体会、理解“两点之间，线段最短”以及“两点确定一条直线”，掌握两点间距离的概念．
重点
线段、射线、直线的定义以及表示方法，熟悉简单的几何语言．
难点
线段、射线、直线的区别与联系．
一、创设情境
1．如果你站在一座足够高的楼上，望着楼底下的某一个人，那么你将能见到什么？
2．黑夜中用聚光灯照射远处的墙壁，我们会看到什么？
3．如果你把一条两头都打结的绳子拉直了，你将能发现什么？
二、探究新知
1．从情景中，我们可以知道，你能看到的将是一个点，而这个点就表示着这个人或聚光灯照射处的位置，因此，可以概括：点通常表示一个物体的位置．
点
图形：·A
表示：点A(A点)．
2．日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象．
线段
图形：
表示： 线段AB 线段d
3．利用线段的形象，我们顺利地引出了射线与直线．
概括：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线；把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．
射线
图形：
表示： 射线AB 射线d
直线图形：
表示： 直线AB 直线d
4．小结：对于线段、射线、直线，应该进行综合的比较：
线段
射线
直线
图形
表示
线段AB
射线AB
直线AB
几个端点
2个
1个
0个
能否延伸
不能
向一边无限延伸
向两边无限延伸
能否度量
能
不能
不能
5.试一试．
(1)线段公理
观察下图，从A地到B地有三条路径，你会选择哪一条？
从上边的图中，我们很容易发现：如果从A地到B地，走直路的路程是最短的，即在这些把A，B连结起来的线中，线段AB是最短的．
概括：两点之间，线段最短．
连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离．
(2)直线的公理
我们要把一根木条钉紧，只用一个钉子，行吗？那么至少需要钉几个钉子才能将木条钉紧？
由生活中的经验，我们都知道，一个是不够的，至少需要两个钉子才能将木条钉紧．
概括：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线．
三、练习巩固
1．四条直线两两相交，其交点个数最多有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图所示，共有线段________条；共有射线________条；共有直线________条．
3．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明______________________；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明________________________．
四、小结与作业
小结
1．线段、射线、直线之间的区别．
2．两点之间，线段最短．
连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离．
3．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线．
作业
教材习题4.5第1，2题．
本节课是学生学习几何的入门课，培养学生的几何意识对于本节课来讲就很重要，教师可以从具体形象的实际例子入手，使学生经历从具体到抽象的思维过程，从而培养学生的几何意识．抽象是数学的一种基本思想和基本方法，让学生从实际生活的物体、图形中抽象得到点、线、面、体等数学概念．概括事物的数学属性，引导学生从数学的角度去看待实际物体，提高学生的抽象思维能力，引导学生的思维习惯．
4．5.2 线段的长短比较
1．使学生分别掌握测量与重叠来比较线段大小的方法；
2．使学生充分理解两条线段大小比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化；
3．线段中点的性质及其简单运算．
重点
线段大小比较的方法及其原理．
难点
如何引导学生从“数量”的角度引入到从“形”的角度来分析两条线段的大小比较．
一、创设情境
1．如果有两个同学在比较高矮，你们一般是怎么做的？
解决方法：让两个人站在一起来比较；分别量出这两个同学的身高．
2．如何比较数学书长和宽的长度大小？你能够想到什么方法？
解决办法：可以拿两本相同的数学书，将长和宽重叠进行比较；分别测量长和宽的长度；用圆规截取书本的宽度，再和长相比较．
二、探究新知
1．从上面的探究总结，怎样比较下图中两条线段的长短？
小结：从上面的引例，我们很容易知道，比较两条线段的长短有两种方法：
(1)用刻度尺度量；(2)利用圆规进行移动．
如图有线段AB与线段CD，且进行了以上的有关比较方法．
如果通过比较可知：线段AB比线段CD短，则表示为：
AB
2．如图，MN是已知线段，你能用直尺和圆规准确地画一条与MN相等的线段吗？
小结：我们可以先画射线AB，然后用圆规量出线段MN的长，再在射线AB上截取AC＝MN，那么，AC就是所要画的线段．
3．在一张半透明纸上画一条线段AB，将线段AB折叠，使点A和点B重合，折痕与线段AB的交点为C，测量AC、BC和AB的长度，你有什么发现？
小结：AC＝CB＝AB，AC＋CB＝AB
归纳：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．
如上图，点C是线段AB的中点．
三、练习巩固
1．如图①，AD＝AB－________＝AC＋________.
2．如图②，下列说法不能判断点C是线段的中点的是( )
A．AC＝CB B．AB＝2AC
C．AC＋CB＝AB D．CB＝AB
3．在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长．
四、小结与作业
小结
1．比较两条线段的长短有两种方法：
(1)用刻度尺度量；(2)利用圆规进行移动．
2．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．
如下图，点C是线段AB的中点．
则AC＝CB＝AB，AC＋CB＝AB.
作业
教材习题4.5第4，5题．
在本节课的安排上应逐渐在几何中渗透几何语言的描述，并应注意到其语言的规范性．在知识上应对本节课内容上有所拓展，而不能局限于教材，要引导学生来发现问题，并学会找到解决问题的方法．
4．6 角
4．6.1 角
1．使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义；
2．使学生掌握角的各种表示方法；
3．使学生掌握平角、周角和直角的概念；
4．掌握角的单位换算，会进行计算；
5．会用角准确地表示方向．
重点
角的概念及两个定义和角的表示方法．
难点
角的单位换算和用角准确地表示方向．
一、创设情境
观察下面的图形，你发现有什么共同的特点吗？
这些图形都给了我们角的形象．
二、探究新知
1．根据你对上面角的观察，你能说说什么样的图形叫做角？
小结：角的定义：
(1)角是由两条有公共端点的射线组成的图形．
(2)从运动变化的角度来看，角可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
2．如何表示一个角呢？
小结：角的表示方法：有以下几种表示方法(如图所示)：
3．平角和周角
在上面的旋转过程中，有两种特殊的情况：第一种是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；第二种是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角．
4．角的度量
如何使用量角器测量角的大小？
从量角器中我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°，但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位．把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1″.
这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：
1周角＝360° 1平角＝180°
1°＝60′ 1′＝60″
5．方位角
还记得下图的八个方向吗？但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向．如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式．
三、练习巩固
1．计算：
(1)180°－(35°18′5″＋62°56′15″)；
(2)180°－79°36′20″；
(3)73°45′55″＋61°41′37″.
2．写出图中所有小于平角的角．
四、小结与作业
小结
1．角的定义
(1)角是由两条有公共端点的射线组成的图形．
(2)从运动变化的角度来看，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
2．一条射线绕着端点旋转到角的终边和始边成一条直线，这时所成的角叫做平角；绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角．
3．角的单位换算
1周角＝360° 1平角＝180°
1°＝60′ 1′＝60″
4．我们可以借用角来表示方向．
作业
教材第148页练习第1，2题．
本节课的教学应该从学生所熟悉的图形入手，结合学生小学已经掌握的关于角的知识来逐步引入本节课内容，然后从静态和动态两个角度给角下定义．在讲解时，可利用相关的教具进行直观的演示，以利于学生理解．角的表示方法是本节课的重点，教师一定要讲清楚每种方法怎样表示以及应该注意的问题，使学生能够熟练掌握．角的度量单位的换算是本节课的难点，教师可提醒学生仿照时间的换算来进行记忆．在进行换算时，教师要先进行示范讲解，将每一步的过程演示清楚，然后可适当补充练习，使学生掌握．
4．6.2 角的比较和运算
1．了解角的大小比较的方法；
2．掌握角的度数的运算和角的运算；
3．掌握角的平分线及其应用；
4．会用圆规和直尺画一个角等于已知角．
重点
1．角的度数的运算和角的运算；
2．角的平分线及其应用．
难点
1．角的度数的运算；
2．角的平分线的应用．
一、创设情境
1．比较两条线段的长短有哪些方法？
小结：测量法；叠合法．
2．我们如何比较两个角的大小呢？
二、探究新知
1．角的大小比较
(1)出示教具，探索讨论：
观察以下三个角，你能说出它们的大小吗？
(2)学生提出方法，教师小结：
①叠合法(课件)
把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧．
②度量法
用量角器分别量出角的度数，再加以比较．
2．角的和差关系
(1)观察下图中有哪几个角，把它写下来：________________________________________．
(2)根据上图中角之间的关系填空：
∠AOB＝________＝________；
∠BOC＝________＝________；
∠AOC＝＝________＝________.
3．作一个角等于已知角
在前面的学习中，我们已经知道如何作一条线段等于已知线段，同样，我们也可以利用圆规来作一个角等于已知角．
4．角平分线
(1)请同学们把一个角的两边对折，让两边互相重合．这时，我们将看到这个角的中间有一条射线，请你测量所分成的两个角的大小，你有什么发现？
(2)小结：这条射线将这个角分成两个相等的角，这时，我们把这条射线称为这个角的角平分线．
归纳：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
如图，已知OC平分∠AOB，则有：∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.
三、练习巩固
1．如图，已知∠AOB＝50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.求∠EOD的度数．
2．如图，将长方形纸片沿AC折痕对折，使点B落在点B′处，CF是∠B′CE的平分线，求∠ACF的度数．
四、小结与作业
小结
1．角的大小比较方法：①叠合法；②度量法．
2．我们可以利用圆规来作一个角等于已知角．
3．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
作业
教材第151页练习第1，2，3题．
本节课主要学习角的大小比较和运算，是本章的重点和难点，所以在讲解的时候，要将每个知识点讲解透彻，要多举实例，使学生理解得更透彻．角的平分线是本节课的重点和难点内容，首先可以让学生通过折叠角得到角平分线，然后通过测量感知角平分线将一个角分成两个相等的角，使学生形成较深刻的印象，教师在学生探究的基础上，及时进行总结，形成完整的知识点，最后，通过具体的例子进行相关知识的应用，发展学生使用知识的能力．
4．6.3 余角和补角
1．理解互为余角和补角的概念；
2．掌握余角与补角的性质及其简单应用．
重点
正确求出一个角的余角和补角．
难点
余角和补角性质的应用．
一、创设情境
1．如图1，已知∠1＝149°，∠2＝31°，那么∠1＋∠2＝________.
2．如图2，已知∠COD＝90°，那么∠1＋∠2＝________.
二、探究新知
1．计算：
(1)如图3，已知∠1＝28°，∠2＝62°，那么∠1＋∠2＝________.
(2)如图4，已知∠1＝62°，∠2＝118°，那么∠1＋∠2＝________.
(3)如图5，A，O，B在同一直线上，∠1＋∠2＝________.
2．通过上面的计算，你发现∠1与∠2的和各满足什么条件？
小结：互为余角的定义：两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余；
互为补角的定义：两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补；
3．思考：
问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？
问题2：如果∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠1，∠2，∠3互为补角吗？
4．余角、补角的性质
(1)如图∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
余角性质：同角或等角的________相等．
(2)如图∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
补角性质：同角或等角的________相等．
三、练习巩固
1．如果∠α＝39°31′，∠α的余角∠β＝________，∠α的补角∠γ＝________，∠γ－∠β＝________.
2．若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，∠1＝40°，则∠3＝________，依据是________________．
3．一个角的补角比它少40°，求这个角的度数．
四、小结与作业
小结
1．两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称互余；
两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补；
2．余角性质：同角或等角的余角相等；
补角性质：同角或等角的补角相等．
作业
教材习题4.6第7，8题．
本节课主要学习了有关角的特殊关系：互为余角、互为补角，和它们相关的性质．对于它们之间的关系，一定要讲清“互为”的含义，对于余角和补角的性质必须在知识的应用中有一个初步掌握，并能理解应用．
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