初中数学苏科版八年级上册4.3 实数当堂达标检测题

这是一份初中数学苏科版八年级上册4.3 实数当堂达标检测题，共25页。

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【要点梳理】
要点一、平方根和立方根
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、与实数有关的基本概念
1、有下列各数:一，3.14，一，0，一，π，1.3030030003，，，（每两个3之间多一个0）.
(1)其中无理数有
(2)请将正实数按从小到大的顺序排列，并用“< ”连接。
【变式1】有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值.
【变式2】有6个实数：﹣32，﹣，，0.313131…，，﹣，请计算这列数中所有无理数的和．
2、（1）已知，，则____________．
（2）已知，则_________．
（3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向_________移动____________位．
（4）如果，则_________，____________．
【变式1】按要求填空：
（1）填表：
（2）根据你发现规律填空：
已知：=2.638，则=__，=__；
已知：=0.06164，=61.64，则x=__．
【变式2】(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律:
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知≈1.414，则 =________，=_______；
②= 0.274，记的整数部分为x,则=___________.
类型二、与实数有关的问题
3、讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么．”然后讲了下面的一个例题：比较和的大小．
方法一：．
又∵8＜12，∴．
方法二：200=8，4×3=12．
又∵8＜12，∴．
根据上面的例题解答下列各题：
（1）比较和的大小；
（2）比较1与的大小．
【变式 】比较与的大小．
4、阅读材料：
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索：
设(其中a、b、m、n均为整数),则有.
∴.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（a,b,m,n均为正整数）
(1)，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=___，b=___；
(2)当a=7,n=1时，填空：7+ =（ +）2
(3)若，求a的值.
【变式1】在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
（阅读理解）
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件解得：
原式
（启发应用）
（1）按照上面的解法，试化简：；
（类比迁移）
（2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简；
（3）已知，，为的三边长，
化简：
【变式2】阅读下列材料，并解答问题：
①；
②；
③；
④；……
(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；
(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；
(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．
类型三、二次根式的综合计算题
5、计算题
（1） （2）
【变式1】计算：(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
【变式2】计算
（1）（）2﹣（﹣）（） （2）（）﹣（﹣）
6、先化简，再求值：
，其中．
【变式1】先化简，再求值（+m﹣2）÷；其中m＝+1.
【变式2】计算下列各题：
(1) ＋－； (2) ＋－；
(3)(－2)×－6； (4)(5－6＋)÷.
类型四、与实数有关的综合题
7、阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
(一) ；
(二) ；
(三) .
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)请用不同的方法化简：
①参照(二)式化简＝__________.
②参照(三)式化简＝_____________
(2)化简：.
【变式 】阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； .
以上这种化简过程叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：.
（1）请用其中一种方法化简；
（2）化简：.
类型五、实数的应用
8、观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）_____________
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______________；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【变式1】观察下列一组等式，然后解答后面的问题
，
，
，
（1）观察以上规律，请写出第个等式： 为正整数）．
（2）利用上面的规律，计算：
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
【变式2】现定义一种新运算“⊕”：对于任意有理数 x，y，都有 x⊕y=3x+2y，例如5⊕1=3×5+2×1=17．
（1）求（﹣4）⊕（﹣3）的值；
（2）化简：a⊕（3﹣2a）．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
a
0.0004
0.04
4
400

a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100