人教版初中数学九下 27.2.3《相似三角形的应用举例第2课时》教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【情境引入】

如图,现在某工程师需要估算这条河的宽度,因为河流太宽，不方便直接测量，你能帮忙设计一个方案吗？

分析：

先构造相似三角形，

再利用对应边成比例，列方程求解

交流：

构造相似三角形时，要避免跨河测长度，请你尝试构造一下吧？

【教学建议】通过实际问题，引起学生的认知冲突，为新课的学习进行铺垫.

思考并分析问题

通过情景引入，引发学生的思考，为学习新课做铺垫， 培养学生善于思考的习惯，激发学生的学习兴趣

环节二

探究新知

【探究】

(1)在河对岸选定一个目标点P,

(2)在近岸取点Q和S,使点P、Q、S三点共线，且直线PS与河垂直,则PQ的长就是河的宽度

问题：你能构造出怎样的相似三角形，来计算河宽PQ的长呢？

依据相似三角形的判定定理，你能得到哪些构造方法呢？

方法一：8字型(1)

不合理，

因为测量EF、OE、OP、OQ时，需要跨河，困难较大

方法二：8字型(2)

不合理，

因为测量PM的长度时，需要过河，困难较大

方法三：8字型(3)(合理)

构造相似三角形的步骤：

(1)在直线b上选取一点O，连接PO并延长至B.

(2)过点B作垂线BA⊥b，垂足为A.

计算方法：

(1)先测量出QO、OA、AB的长,

(2)利用对应边成比例，列方程求解即可

方法四：平行线法(合理)

构造相似三角形的步骤：

(1)在过点S作直线a，使a⊥PS，

(2)在直线a上选择适当的点T,连接PT交直线b于点R.

计算方法：

(1)先测量出QS、ST、QR的长,

(2)利用对应边成比例，列方程求解

分组讨论，合作探究完成学习任务

经历知识的探究过程，使学生通过全程参与，掌握知识，培养数学核心素养和能力

【求解过程】

如图，已知QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河的宽度PQ.

解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，

∴△PQR∽△PST．

∴，

即，

∴，

∴PQ×90=（PQ＋45）×60．

解得，PQ=90（m）．

因此，河宽大约为90 m．

【教学建议】通过探究环节的设计，引导学生逐步完成本节课重难点的学习任务

学生对思考过程进行总结归纳

这个环节的目的是，让学生对过程学习的成果进行梳理

【反思】

构造方法：

保证包含“河宽”的三角形至少有一条边不需要跨河测量.

利用相似三角形，解决了不能直接测量的物体的宽度或高度问题.

思考：如何测量池塘的宽度PQ呢？

“全等三角形法” 与“中位线法”是“相似三角形法”的特殊情形.

你还有其他方法吗？

【教学建议】这个环节，教师引导学生将所学到的知识进行反思，加深理解

学生思考并总结

通过这个环节，让学生进一步理解上面学过的知识和方法

【总结】

利用相似三角形可以解决下面的2个问题

测高：不易到达顶部，不能直接使用测量工具；

测距：不易直接测量的两点间的距离．

【教学建议】教师引导学生再一次梳理重难点知识

独立总结并表达

帮助学生梳理重点知识的脉络和结构，进一步理解知识

环节三

应用新知

【典型例题】

例  如图，左、右并排的两棵树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树相距BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面的距离是EF=1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？

分析：如图1，设眼睛的位置为点F，水平视线FG分别交AB，CD于点H，K．

∠AFH是观察点A时的仰角．

由于树的遮挡，区域Ⅰ是盲区．

同样地，∠CFK是观察点C时的仰角，区域Ⅱ是盲区

如图2，当某人从左向右移动过程中，

(1)当走到O点时，点F、A、C三点刚好共线
(临界位置)，

(2)在点O的右边时，无法看到点C．

(3)在点O的左边时，可以看到点C．

解：如图，假设观察者从左向右走到点O时，她的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．

∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD．

∴△AFH∽△CFK．

∴，

∵AB=8 m、CD=12 m，

BD=5 m，OF=1.6 m

∴

解得FH=8（m）．

由此可知，当她与左边的树的距离小于8  m时，她看不到右边树的顶端C．

数学建模思想：

把生活中的实际问题通过建模的思想，转化为数学问题来解决

一般步骤：

(1)根据题设中的已知量与未知量画出数学示意图，
(2)抽象出几何位置关系

(3)根据几何图形的知识解决实际问题. 

【教学建议】教师适当引导，学生自主完成，并引导学生对解题过程中的方法进行总结

让学生积极思考并作答

通过例题的学习，让学生掌握本知识点的常见题型，提高解题能力

环节四

巩固新知

【随堂练习】

1. 如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为____m.

答案：4

解：设树的高度是x米，因为

2．小王同学，测树时发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7 m，留在墙上部分的影长为1 m，同时，小明测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m．请计算这棵树的高．

分析：利用相似三角形的知识解决.先构造出相似三角形，再列方程求解

由于太阳光线是平行线，所以，可以构成右图所示的相似三角形.

解：过点D作交AB于点F．

因此这棵树的高为4米．

思考：关于这道题你还有其他构造相似三角形的方法吗？

【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当答疑.

自主完成练习的解答过程，遇到问题随时请教教师

通过课堂练习巩固新知，巩固复习本节课内容

环节五

课堂小结

【课堂小结】

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

【教学建议】教师通过思维导图，将本节课的内容进行归纳，帮助学生梳理知识脉络和重难点

回顾本节课所讲重点内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

【课后作业】

教科书习题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.