人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数练习，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
5．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若为奇函数，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数则（ ）
A．B．2C．4D．8
8．下列函数在有意义且单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．以下说法正确的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
10．若函数的定义域与值域相同，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
11．设都是定义域为的单调函数，且对于任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知定义在上的函数满足，且是偶函数，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．是周期为4的函数.
C．若满足对任意的，都有，则在上单调递增
D．若在上的解析式为，则在上的解析式为
三、填空题
13．设函数是定义在上的单调函数，若对于任意的，都有成立，则不等式的解集为 .
14．已知函数，当时，，则 .
15．函数的定义域为 ．
16．（1）已知函数，，则 ．
（2）函数的单调区间为 ．
四、解答题
17．已知不等式的解集是集合A，函数的定义域是集合B．
(1)分别求集合A，B（集合B可用含实数a的式子表示）；
(2)若是成立的必要不充分条件，试求实数a的取值范围．
18．已知函数，且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
19．已知函数且．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)是否存在，，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
20．已知函数，是偶函数.
(1)求的值；
(2)若函数的图象在直线上方，求的取值范围；
(3)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】根据题意可得4为的周期，根据题意结合周期性运算求解.
【详解】因为，则，
可知4为的周期，
且，可得.
故选：C.
2．B
【分析】根据不等关系得到，通过跟特殊值比较得到.
【详解】由题意得，，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
综上所述，可得.
故选：B.
3．A
【分析】由是奇函数，逐步化简，计算可得，由此即可得到本题答案.
【详解】当时，，由得，则的定义域关于原点对称，
又，则是奇函数，故充分性成立；
若是奇函数，则，即，
所以，则，故，
所以，故，不一定推得，从而必要性不成立；
所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
4．A
【分析】利用对数函数的单调性对c,b进行估值，根据a式的形式，平方后进行估值，中值法比较大小.
【详解】因为，，
所以，排除BC，
因为，所以，
所以，排除D，
故选：A
5．C
【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.
【详解】函数（且）在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
6．D
【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间.
【详解】函数为奇函数，的定义域为，
由，∴，
函数的定义域为，
函数在定义域内单调递增，
当时，的单调递增区间为，
所以的单调递增区间为.
故选：D．
7．C
【分析】由函数解析式，将从内到外以次计算出的函数值即可.
【详解】因为，
则，
所以.
故选：C
8．B
【分析】根据基本初等函数的定义域和单调性即可得出答案.
【详解】选项A，的定义域为，且在为减函数，故A错误；
选项B，的定义域为，且在为增函数，所以在有意义且单调递增，故B正确；
选项C， 在有意义，且在是减函数，在是增函数，故C错误；
选项D， 在有意义，且在为减函数，故D错误.
故选：B.
9．CD
【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误.
B选项，因为由，得，即，
命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误.
C选项，；
所以，所以“”是“”的充分不必要条件，
所以C选项正确.
D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件，
所以D选项正确.
故选：CD
10．ABD
【分析】对于A：由指数和对数函数的性质判断；对于B：由结合对数函数的单调性判断；对于C：由反比例函数的单调性判断；对于D：由结合反比例函数的单调性判断.
【详解】对于A：因为，所以，所以的定义域与值域均为；
对于B：的定义域为，因为，所以，
即的定义域与值域均为；
对于C：的定义域为，值域为；
对于D：的定义域，，
即值域为．
故选：ABD
11．BC
【分析】根据函数性质以及题目所给条件等式可知，利用待定系数法分别求得的解析式，代入即可求得函数值并比较大小得出结论．
【详解】因为是上的单调函数，且对于任意，
设，其中为常数，即，；
又因为，所以，
可得，即，解得，所以；
由可得，即；
所以，，即，所以A错误，B正确；
由可知，恒成立；即C正确；
由函数的值域为可知，不一定成立，故D错误．
故选：BC．
12．ABC
【分析】根据已知条件，通过对抽象函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性等性质进行各个选项分析即可得出结论.
【详解】根据题意，因为，所以的图象关于点对称，故A正确；
又的图象关于轴对称，所以，则，，
从而，
所以，故B正确；
由可知在上单调递增，又的图象关于点对称，
所以在上单调递增，因为的周期为4，
所以在上单调递增，故C正确；
因为时，，所以，
因为的周期为时，，
所以，D错误.
综上，正确的是ABC.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：从题干中得出抽象函数关于点对称以及推算其周期性是解题关键.
13．
【分析】首先设，再根据，求得函数的解析式，即可求解不等式的解集.
【详解】设，则，
，，单调递增，
当，则，
所以，
若，则，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．2
【分析】由题意条件得到的图象关于直线对称，从而得到，再代入求值即可.
【详解】由可知，函数的图象关于直线对称，
而函数的图象关于直线对称，所以，
所以，
所以.
故答案为：2
15．
【分析】根据函数特征直接求定义域即可.
【详解】由函数可知，，所以定义域为.
故答案为：
16． －4 增区间为，减区间为
【分析】（1）证明函数为奇函数，；
（2）利用复合函数的单调性求函数单调区间.
【详解】（1）函数的定义域为R，
且.
∴，
∴.
（2）函数，设，由得，
∴函数定义域为 .
当时，是减函数；而为减函数，∴为增函数．
当时，为增函数，为减函数，∴为减函数．
∴的增区间为，减区间为.
17．(1)或，或；
(2)．
【分析】（1）不等式，可化为且，进而求出集合A，再结合对数函数的性质求解结合B；
（2）由是成立的必要不充分条件，可得，进而列出关于a的不等式组，求解a的取值范围即可．
【详解】（1）由，化简得，
即且，
解得或，
所以或，
由题意知，函数定义域满足，即，
解得或，
所以或；
（2）若是成立的必要不充分条件，则有，
因此，解得，
故所求实数a的取值范围是．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据得到，进而由真数大于0得到不等式，求出定义域；
（2）不等式变形得到，结合对数函数单调性和真数大于0得到不等式组，求出不等式的解集.
【详解】（1）因为，解得.
由题意可得，解得，故的定义域为.
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得.
故不等式的解集为.
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）先求得的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调增区间.
（2）对进行分类讨论，根据函数的单调性以及在区间上的值域，利用构造函数法，结合一元二次方程根的个数列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】（1）时，，
由解得或，
所以的定义域为，
函数图象开口向上，对称轴为，
在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知：的增区间为
（2）令，则在上单调递减，
当,且在区间上的值域是，即在区间上的值域是
故必须，即,是的在上的两个不等实根.
而与在上只有一个交点，不符合（舍）.
当，且在区间上的值域是，即在区间上的值域是
故必须，即，
得，得，代入得：
，同理，
令，
则在有两个零点，即，
，，
解得.
20．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据偶函数的定义求值.
（2）将问题转化为对任意的成立，求出的值域即可.
（3）将化简并换元得 ，，讨论对称轴与区间的位置关系确定是否能取到最小值0.
【详解】（1）∵，所以，
即，
即，
即，
即，
∴，对任意恒成立，所以，.
所以， .
（2）函数的图象在直线上方，
等价于对任意的成立，即.
即对任意的成立.
令，在上单调减，
而，所以，由此 .
（3），令，
则，.
①当，即时，在递增，从而，舍去；
②当，即时，在上递减，在递增，
从而，则；
③，即时，在递减，从而，则舍去.
综上： .