2024届新高考一轮复习函数与导数专练（7）导数及其应用

这是一份2024届新高考一轮复习函数与导数专练（7）导数及其应用，共15页。试卷主要包含了下列函数组中导函数相同的是，已知是的导函数，且，则等内容，欢迎下载使用。
1.函数在处的导数为-2，则曲线在点处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
2.下列函数组中导函数相同的是( )
A.与B.与
C.与D.与
3.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
5.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A.B.C.D.
6.已知函数的图象在点处的切线方程为.若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是( )
A.B.C.D.
7.已知是R上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.已知函数有2个零点a，b，且在区间上有且仅有2个正整数，则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
9.（多选）已知是的导函数，且，则( )
A.
B.
C.的图象在处的切线的斜率为0
D.在上的最小值为1
10.（多选）已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是( )
A.
B.曲线在点处的切线可能与直线垂直
C.
D.
11.函数在处的切线与直线垂直，则实数_________.
12.若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.
13.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________.
14.已知函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为_________.
15.已知函数.
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，所以，解得，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选C.
2.答案：C
解析：由常数函数的导数为0以及，排除A；，，排除B；，故C正确；，，排除D.
3.答案：B
解析：，.
因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，即，
所以.
设，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故选B.
4.答案：B
解析：，，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，，即，解得或.实数m的取值范围是，故选B.
5.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，
所以实数a的取值范围是.
故选A.
6.答案：B
解析：由题意，得，，，
.令，得，.当或时，，在，上单调递增；当时，，在上单调递减.当时，有极大值；当时，有极小值.若要使至少有两个不同的零点，只需解得.故选B.
7.答案：D
解析：依题意，在R上是增函数，，不等式恒成立，即恒成立，等价于恒成立，.令，则，易得，，，故选D.
8.答案：C
解析：由题意知函数有2个互异的零点a，b等价于函数与的图象有2个不同的交点.因为，所以.令，可得；令，可得.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.当时，，当时，，且，时，.由，知函数的图象为过定点的一条直线，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数与的图象如图所示，若满足，的图象有2个不同的交点，且在区间上有且仅有2个正整数，则即解得，故选C.
9.答案：BC
解析：，，令，则，故B正确；则，，
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.
10.答案：ACD
解析：对于A项，由题得，令，则，令得，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，由题意可知有两个变号零点，故，即，故A项正确；对于B项，曲线在点处的切线的斜率，若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，故B项不正确；对于C项，由题易知，即，则，由A项可知，所以利用二次函数的性质可得，故C项正确；对于D项，由题易知，即，则，即，要证，只需证，即证，设，则只需证，构造函数，则，所以在上单调递增，故，所以，故D项正确.故选ACD.
11.答案：-2
解析：由题可知，可得在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得.
12.答案：
解析：构造函数，则，
函数满足，
，故在R上单调递增.
又，，不等式，即，
由在R上单调递增，可知.
13.答案：
解析：由，得，则有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，
作出的图象，如图所示，
.
14.答案：
解析：由得
由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，设直线与相切，切点为，由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，所以切线斜率为，设与相切，则，即，解得舍去)，由图可得实数m的取值范围是或.
15.答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知函数的定义域为.
由，
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，所以，解得，
所以a的取值范围为.
（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.
令，
则.
令，
则，
所以当时，，
所以当时，，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
即在上.
又，所以，即.
由（1）可知，函数在上单调递增，
所以，即.
解法二（同构构造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.
由，得，
即.
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又，
所以在上单调递减，
所以，即.